謀定而后動 知止而有得

【摘要】初中數學起始課是小初數學教學銜接的重要環節，可以幫助學生從心理和行為上做好學好初中數學的準備.通過梳理初中數學起始課的研究成果，概括了初中數學起始課的基本樣態，并從“數學是什么、為什么學數學、初中數學學什么以及如何學好初中數學”等環節設計并實施了初中數學起始課案例，以此闡述初中數學起始課應該如何設計、如何實施，從而實現“認識數學學科本質，勾勒初中數學結構，激發數學學習熱情，提出數學學習要求”等方面的目的．

【關鍵詞】初中數學；起始課；小初銜接；教學設計

初中數學起始課是小初銜接的關鍵節點課，學生剛剛升入初中，身份發生了變化，知識難度、學習方法及要求也會發生很大的變化，學生心理特征和認知發展規律更是發生了顯著變化.雖然說初中數學能力的養成與每一節課的引導與積累息息相關，但是如果在起始課就能讓學生形成對數學的正確認識，了解數學的學習價值，知道數學學習的一般內容與要求，從而形成初步的初中數學整體觀，體會到初中數學學習有趣、自然、親切、有法．基于此，筆者對“初中數學起始課”進行了如下設計，以期拋磚引玉，與一線教師廣泛交流．

1初中數學起始課內容分析

本節課是學生初中階段第一節數學課，將開啟初中學習的新征程.既承載著師生見面的任務，使學生對數學教師的教學風格與要求形成初步認識，從這節課開始“親其師”；又需要通過教師的引薦使初中數學與學生見面，助學生對初中數學形成初步認識，對初中數學學習充滿期待從而“信其道”.

目標預設：

（1）初步形成對數學的一般認識，感受數學的應用價值，感受數學是人類文明傳承的重要載體，提升數學學習興趣，增強用數學思維解決問題的意識；

（2）從宏觀視角審視小初數學差異，類比小學數學，初步構建初中數學框架，初步形成數學學習的意愿及方法；

（3）經歷理性分析問題的過程，感受數學的嚴謹性，明確數學學習基本要求，積累數學學習經驗.

教學重點：理解數學本質，建構數學整體框架.

學習難點：數學本質的認識，數學應用的理解.

2初中數學起始課教學實踐

環節一數學是什么.

問題1一水池有甲、乙兩個進水管和丙一個出水管，單開甲管20小時可將水池注滿，單開乙管30小時可將水池注滿，單開丙管60小時可將池水放光.現三管同開，多少小時可將空水池注滿水？

追問1：你對這個問題有怎樣的認識與理解？

追問2：經歷了小學六年的數學學習，你認識的數學是什么樣的？有哪些示例支撐你的認識嗎？

師生活動學生獨立思考并回答問題.通過小組交流活動，將小組內的意見整合后選出代表在班級范圍進行分享.有大部分同學認為此問題毫無意義，認為數學就是做無聊的習題.教師將學生對數學的認識分類呈現，并在呈現的基礎上展示現代數學常見的十五個“定義”：萬物皆數、符號說、哲學說、科學說、邏輯說、集合說、結構說、關系說、模型說、工具說、直覺說、精神說、審美說、活動說、藝術說.教師闡述包括央視前著名主持人崔永元、清華大學教授王文湛在內的許多名人都認為此類問題無聊、無趣、無意義，究其原因恰恰是這些人沒有認識到數學是一種模型.這種模型使得無論學生身處何處，不論是政治中心的北京，還是經濟中心的上海，亦或是西部邊遠地區，每個人都能通過想象理解其含義.作為模型，其現實背景必定廣泛存在，比如很多學校校園內都有作為觀賞的養魚池，其養護往往是多排水少注水以保障魚活著的前提下清洗，再多注水少排水以沖掉污水；再如我們去一些場館參觀時，入口進人出口出人，入口的隊伍走著走著就停了，顯示場館已滿，過了一會隨著參觀人員走出出口，入口又繼續放行，有條件的場館會憑經驗或經過數學建模計算給出排隊時間提醒；又如在充電時使用手機，問手機何時充滿電等，如圖1.更為著名的是杭州西湖于2003年竣工的引配水工程，該工程每天將經過預處理的40萬立方米、透明度達1.2米的錢塘江水源源不斷地引向西湖，再將湖底沉積的泥沙和垃圾通過排水口處的清污設備處理后排放至錢塘江，以此大概21天西湖的水就換了一遍，從而為西湖“清腸洗肺”.如今，站在西湖岸邊，只見湖水清澈見底，樹影和魚影在其中橫斜、浮動，這都得歸功于多年來杭州人民在湖水治理方面的努力，每一次施工都是以大量實地測量勘探和數學計算為保障的.然而全國各地的學生們不一定都去過需要排隊的場館，也有相當部分的小學生還沒用過手機，更沒到過西湖.因此用數學的眼光觀察現實世界，將這些現象抽象成簡潔、直觀的蓄水池模型，從而只要能理解并解答模型也就能遷移解決各種現實問題.

設計意圖用知名度廣、爭議大的小學經典問題引入，快速同步學生的認知，有利于從觀念上給學生直接的沖擊，使學生認識到數學是將生活中的問題抽象并簡化了的一種模型，有助于培養“用數學的眼光觀察現實世界”的觀念與素養．

環節二為什么學數學.

問題2什么樣的數能被3整除？

追問1：能窮盡所有數字嗎？不能的話怎么辦？

追問2：你還記得哪些數字的整除屬性？能證明這些規律嗎？

師生活動學生獨立回憶小學知識，班級交流展示；教師引導學生思考“知其然”后如何“知其所以然”，選擇三位數、四位數及字母運算對該規律進行數學說理，并引導學生從特殊到一般的歸納，繼而提出數學還要關注“何由以知其所以然”．通過追問2引導學生了解數學的研究與發現、推理與證明是沒有止盡的，既需要有“用數學的眼光觀察現實世界”的意識，也需要有“用數學的思維思考現實世界”能力.分析現象背后規律的過程不是一帆風順的，往往伴隨著各種艱難險阻，需要人們以堅韌不拔的毅力才能一一跨越這些困難.

設計意圖通過將小學時記住的規律，變為初中可以解釋說明的推理，提升學生對數學學習的認識：數學對人們的思維有積極影響，會使得人們的思維有序、思考有法，因此需要培養“用數學的思維思考現實世界”的能力.通過對真理的探索、推導，會使得人們具有更堅強的毅力、更迷人的魅力．另外，通過對規律的內在數學原理探究，使學生在明確代數化作用的同時，提升“用數學的語言表達現實世界”的核心素養.

環節三初中數學學什么.

問題3還記得小學數學學了哪些模塊嗎？

追問1：能估計出初中數學會學習哪些模塊嗎？

追問2：你對“綜合與實踐”模塊有什么認識？師生活動學生獨立回顧小學時數學學習內容，教師引導學生將具體內容分模塊歸類，從而歸納出小學數學的知識導圖，如圖2；通過追問1引導學生從模塊角度勾勒初中數學學習的幾大模塊并介紹各模塊的大致分布情況；教師通過追問2引導學生將數學學習的基本功落實到“計算”與“說理”上，展示數學家、數學教育家對這兩方面歸納的名言：推理是數學的“命根子”（伍鴻熙），運算是數學的“童子功”（陳建功）[1]，計算是具體的推理，推理是抽象的計算[2].最后教師利用表格呈現初中“綜合與實踐”領域數學項目化學習的規劃，如表1.教師指出學生通過初中的這些項目化學習，能力提高后能夠“用數學的語言表達現實世界”，并指導現實生活的抉擇、決策等大事.

設計意圖由于還未開始初中數學學習，如果老師直接將初中數學結構呈現給學生，無異于灌輸式教育，學生定難以理解，因此從對小學知識的回顧入手，建立模塊框架，借由小學框架展望初中學習內容從而勾勒出初中數學的大致結構，既有利于學生對初中數學學習內容的主動建構，又有利于減少對初中數學的恐懼感，從而提升學習信心．

環節四初中數學怎么學

問題4能介紹優秀的自己或優秀的同學小學時是如何將數學學好的嗎？

追問1：你對初中數學學習有什么目標預期？你計劃通過怎樣的努力實現這些目標？

追問2：如果能穿越到過去，就數學學習而言，你有哪些囑托給小學四年級的你？

師生活動學生回顧自己或同學學好數學的方法并分享，教師鼓勵學生表達，并將學生的表達歸類呈現.教師介紹費曼學習法、課堂聽課效率金字塔（如圖3）.教師分別對課前、課中、課后等環節提出要求，在課堂聽課要做到“聰”字（如圖4），眼睛看、耳朵聽、心里想，還要勇于說，在課后則要做到“勤”字.然后從教師、學生、家長、學習材料、資源介紹、網絡工具等維度闡述初中數學的學習要求．最后教師引導學生回顧整節課，歸納數學學習要努力做到“用數學的眼光觀察現實世界”“用數學的思維思考現實世界”“用數學的語言表達現實世界”.

設計意圖變學習方法的強加為學生的自發歸納，變被動的接受要求為學生先預設目標再為目標的實現而設計具體的行動方案，以突出學生的主體地位，明確家長、老師的輔助作用，并說明網絡工具的利與弊，為正式開展初中數學學習奠定良好的思想和行為準備．教師將“三會”具體化為用數學的眼光觀察現實生活中的現象，用數學的思維推導現象背后的規律，用數學的語言表達自己的推理過程，成功點題并開啟初中數學學習的序幕.

3初中數學起始課實踐反思

傳統教育下的初中數學起始課大多是簡單介紹內容、約束學習紀律、樹立規則意識，甚至有相當部分的老師不開設起始課直接講授初中內容，導致學生限于小學時對數學的認識，囿于小學時數學的學習方法與習慣，拉長初中數學學習適應期．本設計打破了初中數學起始課教師主講的形式，通過問題引導、學生先行、交流呈現、教師指導、學生歸納的方式，為初中數學學習打下良好的開局．

3.1修正一些認識

數學教育家波利亞曾在《怎樣解題》一書中說過：“掌握數學就意味著要善于解題.”這也使得小學畢業后很多學生認為數學課就是解題課，而忽視了對數學思想和方法的掌握和對數學知識在更高層次上的概括與抽象.通過本節課的認知沖突使學生認識到具體的數學題目往往是“用數學的眼光觀察現實世界”后抽象化的數學知識，對數學問題的認識和解決就是“用數學的思維思考現實世界”，這些知識可以用文字、符號或圖形等形式來記錄與交流，實現“用數學的語言表達現實世界”.所以數學學習的目的，不是掌握“數學知識和技能”，而是通過具體的問題解決歸納出“解決問題的一般方法”，即“數學地思考”，幫助學生形成對數學的正確認識，形成研究數學的基本觀念，積累研究數學的基本思路與基本方法．

3.2勾勒一些結構

新課標指出數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源[3]．布魯納曾指出，無論我們教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構．在初中數學起始課中，需要教師引導學生建構初中數學的基本結構，以此明晰數學學習的線索．因此本節初中數學起始課通過類比小學數學結構遷移勾勒初中數學應有結構，引導學生通過結構了解小初數學的內容關聯、差異，從而運用類比、化歸等方法繼續初中的學習．這樣的結構建設使得教師的引導有邏輯、不牽強，學生的學習有興趣、不被動，學生的探索有方向、不迷失．另一方面，本節初中數學起始課的設計也將數學核心素養作為暗線，通過問題的環環相扣，使學生經歷“用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界的過程”，形成數學探究的基本結構，促進學生數學核心素養的發展[4]．

3.3提出一些建議

初中數學起始課需要對初中數學學習提出一些要求與建議，但如果是老師宣布規矩，學生被動執行則會使學生產生抵觸情緒而使數學學習效率大打折扣，因此采取讓學生講，通過學生大量的分享，老師分類整理、歸納凝練，并通過“學習金字塔”“費曼學習法”等學習理論的介紹使得學生不僅對這些學習方法有了深切認知，而且在這節起始課上就能真正實踐學生先行、交流呈現、教師斷后等環節，使學生體驗獨立思考、小組合作、實踐練習、教授他人等主動學習方式，教師則可以順勢提出課前、課中及課后等環節的具體學習建議．

3.4堅定一個信念

好的開始是成功的一半.開學第一課是師生見面的第一課，是建立融洽師生關系的第一場景，師生雙方能否“一見鐘情”，這一課的作用不可小覷[5].另一方面，教師在這節課又起到紅娘的作用，負責將初中數學引薦到初中學生面前，使得初中學生通過這節課大致了解初中數學的外貌及特點，初步感受初中數學的魅力與智慧，從這節課開始形成數學有用、數學有趣、數學優美的觀念.通過中小學的異同比較，樹立能夠通過正確的方法學好數學的決心和信心，為初中數學學習開個好頭.

參考文獻

[1]章建躍．核心素養統領下的立體幾何教材變革[J]．數學通報，2017，56（11）：1-6，18．

[2]張景中.感受小學數學思想的力量：寫給小學數學教師們[J].人民教育，2007（18）：32.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4]黃賢明.初中數學首課的研究現狀、基本樣態及啟示[J]．中學教研，2023（06）：16-18．

[5]卜以樓．“初中第一課”的教學設計[J]．中學數學（初中版），2016（11）：95-98．

作者簡介劉春江（1985—），男，黑龍江賓縣人，中學高級教師;主要從事初中數學課堂教學研究工作.

基金項目

2023年浙江省教研立項規劃課題“大單元視角下初中數學單元起始課范式研究”（G2023030）.