淺談數形結合思想在高中教學的意義

楊維兵

【摘要】本文擬通過對高中數學中函數、平面解析幾何，立體幾何的教學分析，對數形結合思想方法的作用進行初步探究。

【關鍵詞】數形結合思想，函數、解析幾何，向量、立體幾何

【中圖分類號】G424 【文獻標識碼】A 【文章編號】1006-5962（2013）06（b）-0132-01

新課標對高中數學教學基本要求，突出基本思想方法的教育，數形結合的思想方法，始終貫穿在數學的教育教學中?！皵怠焙汀靶巍笔菙祵W中兩個最根本的概念，它們互立互補。一方面，每一個圖形中都潛含著豐富的數量關系，另一方面，數量關系又常?？梢酝ㄟ^圖形做出直觀地反映和描述。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，特別是引入直角坐標系，數形結合在教學中作用更是得到強化，成為高中數學教學的核心思想方法之一。在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路，或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。本文擬通過對高中數學中函數、平面解析幾何、立體幾何的教學分析，對數形結合思想方法的作用進行初步探究。

1、數形結合的思想方法是函數抽象概念理解的助推器

數形結合的思想方法在函數教學中的運用是對初中教學的發展和提高，是在初中的直角坐標系知識引入后得以實現的。高中教材中函數概念的重新定義和對函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質的研究，以及對具體函數性質及其相關問題的研究，知識的抽象性和復雜性空前提高，教與學的難度加大。而根據自變量x與因變量f（x）組成的有序實數對（x，f（x））與平面內的點的對應關系，畫出具體的函數圖形輔助教學會使相關問題的研究變得直觀而形象，再借助函數圖形又會使學生對函數及其性質的理解變得更加深刻。如在函數對稱性教學中：已知函數y=f（x），若f（a+x）=f（8-x），則函數y=f（x）圖像關于直線x=a對稱，對這一知識點的理解，學生感覺比較吃力，但在實際教學操作中，如果借助圖像指出：從函數定義域中任取兩個值x1、x2，若當x1、x2到直線x=a距離相等時，表現為xl=a+x、x2=a-x，對應的函數值有f（a+x）=f（a-x），即點（a+x，f（a+x））與點（a-x，f（amx））關于直線x=a對稱，這樣學生理解起來會簡單的多。當然數形結合的思想方法還在其它具體函數問題上也廣泛應用，如函數單調性的判斷，求函數最值，求方程解的個數等。這需要在操作過程中抓住潛存的幾何背景的數量關系，把數量關系轉化為圖形的性質問題來處理。

2、數形結合的思想方法是貫穿平面解析幾何知識的核心思想方法。

平面解析幾何的基本思想是用代數的方法來研究幾何，最根本的做法就是把平面的幾何結構有系統的代數化、數量化。即在平面中建立直角坐標系，使平面內的點與有序實數對建立一一對應的關系，從而使平面內的一個曲線可以用帶兩個變量的一個方程表示，也就實現了曲線的“代數化”。這樣，幾何問題就可以用代數形式表示，在求解析幾何問題時，就可以運用代數方法進行研究。因此，就可以在解析幾何教學過程中，把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體形式，把有關圖形性質的問題轉化為數量問題，或把有關數量的問題轉化為與圖形性質有關的問題，使復雜的問題簡單化，抽象問題具體化，直觀的問題深刻化，從而使問題得到迅速而正確有效的解決。在高中教材中的平面解析幾何初步和圓錐曲線與方程兩章的教學中，無不貫穿著數形結合思想方法。如對具體直線（或曲線），求軌跡方程及曲線性質的問題，就是實現了對圖形的數量化，而由直線（或曲線）的方程產生的問題，解決策略往往需要同學們快速理解，正確的畫出圖形，根據圖形來找出解決問題的方法。

3、向量解決立體幾何問題是數形結合思想方法的完美體現。

在高中立體幾何的教學中，對學生空間圖形的想象能力要求比較高，這給部分同學的學習造成了較大困難。通過向量與空間直角坐標系的結合，使向量及其運算實現了幾何結構的代數化，實現了幾何問題與向量問題的相互轉化。向量具有數的特征（大小或模），又有形的特點（方向）。其表達式既可以是字母（數），又可以是有向線段（形），特別是在解決有關立體幾何問題中，更是數與形的完美體現，倍受廣大高中師生的青睞，如空間的平行和垂直問題可以轉化為向量的坐標運算，各類求距離問題可以轉化為求一個向量在另一個向量上的射影的絕對值的運算，求夾角問題可以轉化為計算相應兩向量夾角來解決。實現了立體幾何的問題由空間想象向數量運算的轉化。

當然，在具體教學中數形結合的思想方法使用、滲透，需要教師逐步培養，但在數形轉化過程中，必須遵循等價轉換原則、數形互補原則，應注重以下幾點：1、能識圖，發掘圖形中的數量關系；2、會做圖，用圖形正確反映相應的數量關系；3、能切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖助數，以數釋形。