耿幸
在我校舉行的一次教育教學研討交流活動中,我聽了兩位數學老師的公開課,課題為“閉區間上的二次函數的最值問題”。
例1.函數f(x)=x2-2ax+2,x∈[1,3],a∈R記f(x)最大值為g(a),求g(a)的表達式。
老師甲解法:開口向上的二次函數最大值只能在所給出的區間端點上,對稱軸只需與區間中點比較即可。因此,當a≤2時,f(x)max=f(3)=11-6a;當a>2時,f(x)max=f(1)=3-2a.
∴g(a)=
甲老師的解法雖然簡潔明了,但是需要學生有較高的數學思維概括能力,從學生完成練習的情況來看也不是非常理想。
如何能讓學生更容易掌握相應的內容呢?
我們知道,|x-a|表示數軸上實數x和常數a所對應的兩個點之間的距離,根據這一幾何意義,我們只需借助數軸觀察動點的變化范圍,就能解決有關二次函數在閉區間上的最值問題。這種方法直觀性強,容易理解,易于掌握。解題如下:
解法2:配方得:f(x)=|x-a|2-a2+2,所以f(x)最大值取決于區間[1,3]上的動點x與a的距離的最大值。
讓點a在數軸上移動,如圖所示,
在區間[1,3]上到點a距離最大的點必然是區間的端點1或者3,而區間中點2到兩個端點的距離恰好相等,因此,當a≤2時,右端點3到點a的距離最大,所以當x=3時|x-a|的距離最大,因此f(x)max=f(3)=11-6a。
當a>2時,左端點1到點a的距離最大,所以x=1時|x-a|的距離最大f(x)max=f(1)=3-2a
∴g(a)=
上述方法處理更復雜的問題時,思路更加清晰,解題更加流暢。
例2.對任意實數t,求函數f(x)=-cos2x-tcosx-t2的最小值
解:因為f(x)=-|cosx-|2-t2,cosx∈[-1,1]
所以f(x)的最小值取決于區間[-1,1]上的動點cosx與的距離的最大值。
如圖,點在數軸上移動時,在區間[-1,1]上到的距離最大的點必然是區間端點-1或1,且區間中點為0,因此當≤0,即t≤0時,右端點1到點的距離最大,所以,當cosx=1時,|cosx-|的距離最大,因此f(x)min=-t2+t-1
當>0即t>0時,左端點-1到點的距離最大,所以當cosx=-1時|cosx-|的距離最大,因此f(x)min=-t2-t-1
所以,函數f(x)min=-t2-|t|-1
以上給出的幾種求導法各有利弊,需靈活運用,也可結合使用。
參考文獻:
劉瑞美,孫玉.求二次函數最值得幾種形式.中學數學教學參考,2009(23).
編輯 段麗君