淺談幾何證明

才讓吉

摘 要：幾何證明，就是用理論演繹的方式，來斷定圖形的真實性質的記敘。證明的主要任務是在于說明為什么在一定條件之下必然產生一定的結論，即要提出根據，證實結論的真確性，揭發它們之間的內在聯系。幾何證明的步驟包括分析、證明、整理三大部分，必要時在證明期間可以用到舉例法證實證明的成立性。在實際生活中，我們也要利用幾何證明來解決實際問題。大到建筑工程的設計，小到一個汽車金屬配件都會用到幾何證明。用已知的一些知識體系來談幾何文化，雖然我對幾何知識的學習也有很多不足和了解不深入、不透徹之處，但是隨著我學習的深入和閱讀大量的文獻及對本文更加深刻的理解，已有的這些不足、不深入、不透徹之處我將認真的彌補。

關鍵詞：幾何證明 綜合法 分析法 解圖

1.幾何證明概述

1.1定義

幾何證明的定義是首先從某幾何的中已知條件、概念和定義出發，用公式來證明命題。所以我們必須把握定義和公理及定理中設題、結論和圖像“三個要素”。如：

例1 設直角三角形ABC的直角頂點為C，斜邊AB的中點為D，則CD=AB.

證明：如圖1-1所示，延長CD，使CD=ED，則有DA=DB，DC=DE，∠C=∠B。

所以ACBE是矩形?！郈E=AB，∴CD=AB

在例題1中我們利用已知條件來推到證明的過程，然后尋求未知條件。在已知條件中我們還可以考慮按照題目來畫幾何圖（圖1-1），顯然容易證明題目的要求。

1.2經典證明

數學是一門嚴謹的科學，得出的結論都要經過嚴格的證明。在中學數學中，除了代數運算或幾何運算之外最多的是幾何證明。幾何證明的經典方法可分為三個方面。

第一、在已知情況的條件下，我們可以很輕松的通過推理理論，結出證明。

第二、通過求證，分析出證明依據的論點，找到已知條件。

第三、通過以上兩個方面，找出他們之間的聯系，將思維過程完整化。

2.幾何證明的基本方法

2.1綜合法和分析法

在幾何證明過程中我們常會利用兩種方法來證明，比如；直接方法和簡介方法，其中簡介有兩種，反證法和同一法，反證法也有兩種，歸謬法和窮舉法?？偟膩碚f就是綜合法和分析法。

一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公里等，經過一系列的推理證明，最后推到出所需要證明結論成立。這種證明方法叫做綜合法。

一般地，從證明的結論出發，追步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公里等）為止，這種證明方法叫做分析法。

3.幾何證明的基本步驟

3.1分析

分析是幾何證明的第一條件，當然也要了解題目的內容，要清楚題目給了什么條件，用什么方法，然后要詳細分析，一般情況下，分析題目時應該找出相關的定理、定義、概念、公式等等。另一方面，要根據命題畫圖，在畫圖時要尋找圖的特點來解圖證明，但有些圖沒法直接證明，所以經常會用到中線、切線、平分線、等輔助線來解決。一般情況下，幾何證明過程中不寫分析的過程，除非是特殊情況，但在腦海里一定要有詳細的分析，否則容易證錯。

3.2證明

一般情況下，證明是要把某個題目的內容了解清楚，然后詳細的分析后，利用已知條件或者未知條件來一件一件證明，證明時一定要把心路歷程寫清楚有邏輯又不繁瑣冗長，證明的推理過程是最重要，也可以說在幾何證明的命是證明的過程，所以證明的過程是必須要的，在證明時可以找出很多輔助線來簡化證明。

3.3整理

整理是根據已知對求證進行證明的結果。如：

例5如圖3-1所示，已知在△ABC中平分外角∠EAC，∠B=∠C。

求證：AD∥BC

分析：要證AD∥BC.∠EAD=∠B.由∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）EAC=2∠B又由AD平分外角∠EAC∠EAC=2∠EAD2∠EAD=2EAD=2∠B∠EAD=∠B

注：分析中使用符號“”是表示“需證”的意思。根據上述分析以及分析法與綜合法之間的關系，不難寫出本體的證明過程。

證明：∵∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∴∠EAC=2∠B（等量代換）

又∵AD平分外角∠EAC（已知條件）

∴∠EAD=2∠B（角平分線定義）

∴AD∥BC

總之舉例法是在學幾何證明中最通用、最基礎的、不可缺少的方法。我們經常利用舉例法進行證明，當然這三個證明的方法也要熟悉了解。無論幾何證明還是現實生活中有都會有與這個相似的例題。

結束語

從我小學升入初中再到高中的數學學習過程中，幾何成為了我學習中最大的障礙，幾何證明的難度也很大。因為幾何基本都是抽象的概念，需要較強的邏輯思維能力和空間想象能力，所以很多學生都不愿學。

我們生活中最熟悉最常見的例子來分析，先從幾何證明的概念和定義作經典的證明，再從幾何的基本思路及方法和幾何證明的基本的步驟。一般來說正確的數學結論的形成需要“發現”和“證明”兩個主要階段，在這兩個階段中都包含著“過程”。

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