高中數學解題中整體思想的應用

徐澤宇

摘 要：本文將在簡單論述高中數學解題中運用整體思想的重要作用下，結合具體題目，對高中數學解題中整體思想的應用進行簡要分析研究。

關鍵詞：高中數學；數學解題；整體思想

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-295-01

一、在高中數學解題中運用整體思想的重要作用

所謂的整體思想，簡單來說就是通過將問題視作一個完整的整體，從全局高度上把握和分析問題，實現問題的化繁為簡、化整為零。由于高中數學題目類型多種多樣且具有一定的復雜性，因此使用傳統的解題方法與思路，雖然基本能夠完成數學題的求解，但需要對每一個元素進行計算，計算量巨大，解題步驟十分繁瑣[1]。

二、高中數學解題中整體思想的具體應用

1、數列解題

作為高中數學的一大常見題型，在解決數列題的過程中，通過運用整體思想，在化整為零的原則指導下，我們無需對每一個變量進行求解計算，而是通過用完整的代數式表示出各個變量之間的對應關系，并直接求解代數式的值即可完成數列題的求解。譬如說在等差數列 當中，當n等于16時，數列的值為16，則當n等于31時，S的值為多少這一題目當中，想要求解 ，首先需要明確首項和公差的值，即 的值和d的值。雖然題目當中已經給出了 這一條件，但僅憑這一條件我們并不能直接計算出數列首項與公差的具體值。因此通過運用整體思想，通過用 這一計算式整體代換 ，也就是說 可以轉換成 ，通過進一步推導可以得知：

= = =434

在解決這一數列問題的過程中，正是通過運用整體思想，在分析數列整體趨勢下，著眼于特殊項進而有效完成解題。

在等差數列 當中，用Sn表示其前n項和，并且已知當n的值為7時，S7便是等差數列 前n項和的最大值， 的值大于 ，則當等差數列 前n項和在大于0的情況下，試求n的最大值。對該數列題進行求解的過程中，我們根據已知條件可以推算出 的值大于等于0，而 ，且S8等于S7+a8，因此可以得知 為負數。也就是說 與 的和為負數，通過采用整體思想，可以求得 = = ，且值為負數，則 = = ，因此 =13 ，且值大于等于0。故而在 的值為0的情況下，如果等差數列 的前n項和的值大于0，則n的最大值為12，如果 的值為正數，則在等差數列 的前n項和的值大于0的條件下，n的最大值為13。

2、函數解題

一般在解決三角函數題的過程中，靈活套用固定的公式即可，但由于題目類型變化多端，因此采用單純的套用固定公式的解題方法，往往會增加三角函數解題的繁瑣度和計算量，同時也有可能增加解題的錯誤率[2]。而通過運用整體思想則可以有效解決這一問題。譬如說在解決如下三角函數問題時：

可以運用整體換元的思想，通過用A直接等效代替原式，并結合三角函數的具體性質，將 用B進行等效代換，此時原式和 相加可以直接用A+B表示，即：

+ =A+B=3

而此時通過令B-A，即可得到 ，通過對其進行進一步轉換，可知 ，也就是說A與B的值完全相等，均等于 ，則原式 的值為 。

4、復數解題

通常我們在解決復數問題時習慣設 并令x和y的取值范圍為全體實數，而此種方式將在無形中把完整的復數拆分成實部和虛部兩個部分，由此增加了解題的復雜性。此時通過運用整體思想則可以化繁為簡，如在設a的值為正數，z的取值范圍為全體實數，求解 的復數問題時，在對整體問題進行分析之下可知z或為實數或為純虛數。因此通過分別在z為實數和z為純虛數的條件下，求解 ，可知當z為實數時，z= ；當z為純虛數時，z= ，且a的取值范圍為[0，1]。

事實證明，通過在高中數學解題中運用整體思想，可以在對問題進行整體把握的高度上實現化繁為簡，進而有效幫助我們降低解題難度、提升解題的精確性和速度。因此在日后解決高中數學問題時，我們還應當根據實際情況，靈活使用整體思想，通過化整為零的方式解決數學問題，并有效鍛煉自身的數學思維能力。

參考文獻：

[1] 廖靜怡. 高中數學解題中的整體思想[J]. 科技展望，2017，08（11）：23-24.

[2] 胡 靜. “整體思想”在高中數學解題中的實踐和運用[J]. 中學數學，2017，33（05）：27.endprint