另解2017年全國物理競賽預賽第16題

費新良 沈 衛

(菱湖中學 浙江 湖州 313018)

1 試題回放與參考解析

2017年第34屆全國中學生物理競賽預賽的最后一題，原題如下.

【題目】如圖1所示，兩勁度系數均為κ的同樣的輕彈性繩的上端固定在一水平面上，下端懸掛一質量為m的小物塊.平衡時，輕彈性繩與水平面的夾角為α0，彈性繩長度為l0.現將小物塊向下拉一段微小的距離后從靜止釋放.

(1)證明小物塊做簡諧運動；

(2)若κ=0.50 N/m,m=50 g,α0=30°,l0=2.0 m, 重力加速度g=9.8 m/s2, 求小物塊做簡諧運動的周期T；

圖1 原題附圖

參考答案給出的解法如下.

解析:(1)取小物塊的平衡位置為原點O，y軸的方向豎直向下，如圖2所示.由牛頓第二定律可知

ma=mg-2κ(l-L)sinα

(1)

式中a為小物塊的加速度，L為彈性繩的原長，l和α分別為小物塊離開平衡位置的位移為y時彈性繩的長度和彈性繩與水平面的夾角.由幾何關系有

(2)

(3)

l=l0+ysinα0

(4)

l0sinα=l0sinα0+ycos2α0

(5)

圖2 原題解析用圖

當小物塊處在平衡位置時有

mg=2κ(l0-L)sinα0

(6)

即

(7)

將式(5)、(6)、(7)代入式(1)，略去y2項，可將式(1)化成

(8)

上式右端括號中的量是大于零的常量，式(8)可表示為

ma=-mω2y

(9)

式中

(10)

式(9)是簡諧振動的動力學方程.因此，當y很小時，小物塊做簡諧振動.

第(2)、(3)兩小題的解答從略.

點評：參考答案給出的解法是建立在微元思想和小量近似思想上的，可以避開高等數學的相關知識，而且有些學生在競賽輔導時學習過微元思想和小量近似的相關知識.但高中的小量近似和微元思想都學習得不系統，也不常用，所以很多學生在用它解題時很難掌握其準確的用法，導致這個題目的得分不高.

2 利用導數再解此題

現鑒于高中數學已經初步學習了導數的相關知識，我們完全可以避開微元與小量思想，從學生熟悉的導數入手來解這個題目.利用導數知識對這道題的解法如下.

解析:如圖3所示，小物塊平衡時，滿足方程

mg=2κ(l0-L)sinα0

其中L為彈性繩的原長，l0和α0分別為小物塊在平衡位置時彈性繩的長度和彈性繩與水平面的夾角.可解得原長為

圖3 利用導數求解用圖

現將小物塊向下拉一段微小位移dy至與水平面相距為y的位置，此時彈性繩的長度為l，繩與水平面的夾角為α，取豎直向下為正方向，此時小物塊的受力關于y的函數為

F(y)=mg-2κ(l-L)sinα

對F(y)求導可得

并求在y=l0sinα0時的導數值為

可以把上式寫成

即小物塊從平衡位置向下偏移dy時的力

此式可寫成

dF=-mω2dy

式中

此式為簡諧振動的動力學方程.因此，當dy很小時，小物塊做簡諧振動.

點評：此方法不再需要用到小量近似，而是用到導數的知識來解決問題，在方法上更清晰明確，而計算上也更方便.而且導數在高中已經有系統的學習和訓練，此題的這種解法不僅是對高中導數的應用，還可反過來進一步加深對物理的微元和導數的理解.筆者覺得此方法可在高中數學支持的基礎上多加以應用.