直線運動中追及相遇問題四法評析
——用“一題多解”構建“共享式”物理課堂示例

劉宗濤

(南京師范大學附屬中學江寧分校 江蘇 南京 211102)

高中物理中追及相遇問題實質是兩體的空間相對位置隨時間變化的問題.其中，直線追及相遇問題是運動學中的基礎問題，學生通常會出現一題多解，以下對此類問題做分析討論，并根據課堂實施情況做評析.

1 情況分析

表1 兩體追及問題的各種情況

2 教學實施策略

在實際教學實踐中，學生會呈現出4種方法——函數法、臨界法、圖像法和轉換參考系法.課堂上，教師作為“導演”，讓學生以“羅生門”的形式(源于黑澤明導演的《羅生門》，意思是“從多種角度把握一個事實”)[1]，各自呈現解法，在一題多解中演繹各自對運動學概念和規律的理解，教師精當評析，從而拼出整個運動學思想方法，學生參與表達，互相爭鳴，效果很好，追及相遇問題一題多解非常適宜構建一種“共享”式物理課堂[2].

3 四法評析

追及相遇問題很多，下面以一道典型問題分別例證并評析之.

【例題】在一條平直的公路上，甲車在前以54 km/h的速度勻速行駛，乙車在后以90 km/h的速度同向行駛．某時刻兩車司機同時聽到前方有事故發生的警笛提示，同時開始剎車．已知甲、乙兩車與路面的動摩擦因數分別是μ1=0.05和μ2=0.1，g取10 m/s2.請問：

(1)若兩車恰好不相碰，則兩車剎車所用時間是多少？

(2)若想避免事故發生，開始剎車時兩輛車的最小間距是多少？

本題是一道典型的追及相遇問題，情境也比較容易建立，為了方便敘述，先求出兩車剎車過程中加速度大小分別是：a1=μ1g=0.5 m/s2，a2=μ2g=1 m/s2，另外由題知v1=15 m/s，v2=25 m/s.下面就學生出現的4種常見解法進行點評.

3.1 函數法

假設甲、乙兩車的距離為x0,畫出運動情景圖如圖1所示.

圖1 甲、乙兩車運動情景圖

設兩車開始剎車后經過時間t兩車的距離為x，則

(1)

其中

(2)

(3)

聯立式(1)、(2)、(3)并代入數據，建立兩車距離與時間的函數關系

x0=100 m

t=20 s

教師評析:此法首先需畫出情景圖，建立位移關系，難度在于建立函數關系，并對函數進行討論，熟練掌握二次函數根的分布情況，判別式與實際物理意義要相對應.(1)>0時，可能有兩次相遇(根據求解出來的時間進行驗證)；(2)=0時剛好有一次相遇；(3)<0時，不會相遇.本質是把較難的物理問題降解到數學上來.

3.2 臨界法

后車靠近前車的過程中，當后車的速度等于前車的速度時，兩車距離最近，求出兩車達到共同速度需要的時間.由運動學公式可得

v2-a2t=v1-a1t

得

t=20 s

不相撞的最小距離就是在前20 s的距離差,代入時間求出兩車位移，可得

x0=x2-x1=100 m

教師評析:此法關鍵于理解物理過程中的“追”，“追”的速度本質要求v后>v前，只有后方速度大于前方，才有“追”的事實成立，否則是前物甩開后物.以此尋找臨界條件，就是通常所說“一個條件，兩種關系”，即追及相遇問題的速度條件、位移關系和時間關系.學生多會呈現此法，9種情況就可以直接分解為兩種，速度大追速度小和速度小追速度大，最終分析的要點就是速度條件了.

3.3 圖像法

畫出兩車運動過程的v-t圖如圖2所示，同解法2容易計算出經過時間20 s甲、乙兩車速度相等.

圖2 兩車運動過程的v-t圖

如圖2所示,剛好不相碰時，兩車的速度達到相等，乙車比甲車多行駛距離為陰影部分面積，此面積容易求得即為相距的最小距離

教師評析:v-t圖是解決追及相遇問題的一把“利器”，其妙處在于形象地將兩物體運動歸納到一幅圖上來，利用圖像可以很直觀看出速度關系，進而定出位移關系.但是運動圖像法前提需要對兩物體運動的物理過程有透徹的認識，這樣解法才便捷可靠，圖像法解決追及相遇問題可以說是數形結合的一個典范.

3.4 轉換參考系法

以前面的甲車為參考系，那么乙車相對于甲車的相對速度為

v21=v2-v1=(25-15) m/s =10 m/s

乙車相對于甲車的相對加速度為

a21=a2-a1=(1-0.5) m/s2=0.5 m/s2

這樣，相當于甲車靜止，乙車以初速度v21=10 m/s，加速度大小a21= 0.5 m/s2做勻減速直線運動，要使兩車不相撞，最小距離為

剎車時間

教師評析:追及相遇問題使用轉換參考系的方法，本質上是將兩體問題轉化為單體問題.轉換參考系方法的核心是相對運動的計算，所謂相對運動除了相對速度之外，還需要考慮相對加速度和相對位移.運動學中3個重要的參量位移、速度和加速度均為矢量，均要用相對量來處理.相對運動思想還可以處理更復雜的曲線運動問題.

4 結束語

追及相遇問題通常使用的4種方法可以把運動學問題核心思想方法包含進去，領悟這些思想方法可以遷移到后續更復雜的問題, 如“傳送帶模型”問題、“滑塊木板模型”問題、帶電粒子在電磁場中的運動、電磁感應中的導體棒運動等.在教學上可以設計為層層演進，由學生來板書實施解法并對班級學生宣講，這是課堂里的“放”.教師作為“導演”和觀察者總結提升每種解法的物理內涵，特別注意4種解法蘊含的物理思想揭示：函數法是體現函數思想，臨界法是用臨界的思想，圖像法是數形結合的思想，轉換參考系是相對運動的思想——這是課堂里的“收”.學生探索，教師同步走并提升，在師生愉快的對話共享中領悟智慧，不失為利用“一題多解”構建“共享式”物理課堂的好例子.