連點成線，學法自然

胡婉瑛

一、問題發現

復習是數學教學中的一個重要環節。上好一堂復習課，能夠有效地幫助學生整合零散知識，吸收內化知識，熟練運用知識。然而，一次與學生偶然的溝通，讓筆者對以往復習課的設計產生了質疑。在他們的印象中，數學復習課就是“知識點整理+習題講解”。同時，他們也提出了自己的困惑：課上的習題都聽得明白，課后去做類似的題目又沒有頭緒了。難道真的是學生的能力有問題？還是老師沒有把題目講透？或者根本就是復習課的“初衷”出現了問題，變成了純粹的“習題堆砌課”？

二、現狀分析

常見的數學復習課有以下三類。

第一類：“先理后練”型

先對一章節的知識點進行整理，再拋出一系列相關習題讓學生訓練。這樣的課堂設計下，知識點梳理往往就變成了“走流程”，在學生的腦海中輕輕掠過，無法留下痕跡。后面設置的習題就像是一個個小碎片，學生撿起一塊是一塊。

第二類：“邊理邊練”型

一個知識點回顧完畢，搭配相關習題作為及時的鞏固，然后繼續下一個知識點，循環往復。這樣的課堂通常能帶給學生短暫的“成就感”，他們會以為自己掌握了。然而，此時學生的思維卻被這一個個問題割裂開了。就好似“大珠小珠落玉盤”，亟須尋找那根串聯的“線”。

第三類：“先練后理”型

一般以學生事先完成的一套單元綜合試題作為課堂背景，在習題講解中穿插知識點作為對本章節的復習。雖然通過訓練，學生能夠完成部分習題的解答，但是在他們的腦海中卻無法搭建出整一章節的知識框架。問及這一章學習了什么，他們總是支支吾吾，說不清楚。

透視這三類數學復習課堂的根本問題，主要是教學內容的散點化和復習模式的碎片化造成學生思維過程的割裂化。

三、思想引導

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。其核心思想是希望通過搭建整章或整本書的知識框架，聯系新舊知識，讓學生在不知不覺中掌握目標知識，獲得思維過程的體驗，從而進一步提升情感態度價值觀。

由此，筆者有了新的思考：是否可以通過數學復習課堂的整體化設計，將學生腦海中一個個零散的知識點有效地連接起來，從而讓學生自然地獲得學習的“效能感”，以此激發他們的學習興趣，進一步引發他們的數學思考。

四、教學實踐

筆者以整體化教學為思維導向，針對章節與章節之間的“連線”以及習題與習題之間的“連線”對這兩個復習課上的教學環節展開實踐研究。

（一）章節之間的“連點成線”

案例背景：“一元一次方程”復習課中“概念復習”環節。

1.教學設計原稿

溫故知新：

（1）什么是方程？

（2）什么是一元一次方程？

練一練：

下列各式中，哪一個是一元一次方程？（? ?）

【師生活動】

1.請學生根據兩個問題完成對方程和一元一次方程概念的復習。

2.以選擇題形式的概念辨析作為即時鞏固，請學生完成。個別回答時，請學生說出其他三個選項為什么不是一元一次方程。完成后，統計回答正確的人數。

【學習反饋】

對于兩個基本概念的回顧，大部分學生無法第一時間給出完整的答案。思考后，仍有一部分學生支支吾吾，說不清楚。鞏固練習的完成情況一般，尤其是具體問及其他三個選項不是一元一次方程的理由，學生表達情況參差不齊。

【成因分析】

作為復習課的一個重要環節，數學概念復習如果以直接拋出讓學生回憶的方式進行，實踐證明，效能很低。關鍵原因在于，會背不等于會用，能用了也不代表完全理解。對學生而言，原先的知識就像是散落在地的一塊塊碎片，那么有效的復習課就能幫助學生將這一個個碎片拾起、重構，在心中搭建出一個整體的框架。慢慢地，學生就會站在更高的位置上看待問題，解決問題。

2.教學設計修改稿

現請你選擇其中兩個整式用等號連接，并思考以下問題：

（1）共能組成______個方程。請你具體寫出來;

（2）一元一次方程有哪些？請你寫出來。

【師生活動】

（1）請學生回答第1小題。教師追問：為什么3=-1不是方程？

（回顧方程是含有未知數的等式）

（2）請學生回答第2小題。

（3）教師追問：為什么x2+x=3不是一元一次方程？

學生：因為這個方程中未知數的指數為2次。（投影：一元一次方程要求未知數的指數是一次）

教師進一步追問（投影展示）：好，既然要求是一次方程，那么我們將這個方程修改為：y+x=3，現在未知數的指數都是1次了，是一元一次方程嗎？

學生：不是。因為方程中出現了兩個未知數。（投影：一元一次方程要求只含有一個未知數）

教師再追問：那方程改為：+x=3，現在總該滿足一元一次方程了吧？

學生：不是。因為一元一次方程要求等號兩邊都是整式。（投影：一元一次方程要求兩邊都是整式）

3.教師引導學生小結：我們通過自己列式、辨析，再一次深刻地回顧了什么是方程，什么是一元一次方程。（需要滿足三個條件）

【學習反饋】

大部分學生非?？斓貙懗隽?個用等號連接的式子，并且通過問題有效地喚醒了腦海中關于方程的定義，排除了3=-1這個選項。同時，隨著問題的層層遞進，一元一次方程的定義也自然地出現在學生的口中。從學生的反應來看，問題設置的效果好，達到了復習相關概念的目的。

【設計意圖】

（1）承前啟后顯整體

在問題的一開始設置了四個整式，作為與上一章“代數式”的連接，強化章節與章節之間的聯系，凸顯課程內容設置的整體性。如果學生也能夠站在知識的整體性看待問題，那么這對于他們日后學習新的相關知識一定是具有指導意義的。

（2）環環相扣憶舊知

相比于傳統的模式，教師直接給出一系列等式讓學生來判斷哪些是方程，哪些是一元一次方程，這樣一種在探究中逐步得到方程、一元一次方程，并同步鞏固一元一次方程的概念的方式，更能起到喚醒記憶，加深理解的作用。

（二）習題之間的“連點成線”

案例背景：“反比例函數中比例系數的幾何意義”專題復習課中“模型應用”環節。

學生根據探究已經得到模型一（如圖1）：S陰影=k1+k2

以下是在應用模型時對同樣的兩道習題的不同設計想法。

1.教學設計原稿

【師生活動】

（1）請學生依次完成習題1和習題2。

（2）教師適當引導，并根據學生的回答進行講解。

【學習反饋】

根據模型，大部分學生能夠較好地解決習題1，但在思考習題2的過程中，學生普遍反映沒有解題思路，不知道怎么和模型聯系起來。只有極個別學生給出了結果。

【成因分析】

習題1是對模型一的直接應用，圖示明顯，變化少。此題設置的本意就是作為模型即時鞏固，讓學生獲得學習的效能感。而習題2是2015年寧波市中考填空題的壓軸題，圖示新穎，需要添加輔助線構造矩形或三角形，以此建立與模型之間的聯系，學生不易想到，造成解題過程阻滯。

2.教學設計修改稿

【師生活動】

（1）請學生完成習題1，并請一位學生為大家講述他的過程。

（2）教師在圖2的基礎上進行動畫修改，為學生進行如下演示。

①根據反比例函數圖象的對稱性，分別畫出兩個圖象的另一支曲線，如圖4。

②讓直線運動起來，向上平移與函數圖象交于點D和點C，向下平移與函數圖象交于點A和點B，如圖5。

③隱藏兩條平移直線，分別連接AB和CD，就得到了習題2中的圖形，如圖6。

（3）請學生根據圖2—圖4—圖5—圖6的動畫過程，感受兩道習題之間的聯系，完成習題2的解答。

【學習反饋】

相較于第一種教學設計，學生在思考習題2時，開始在圖中添加一些輔助線來幫助自己分析問題。在這個學習過程中，他們明顯有了更多的思路和想法，主要有以下兩種思考方向。

（1）構造三角形（如圖7）

（2）構造矩形（如圖8）

在巡視過程中，也有極個別學生在嘗試用代數法解答，教師也及時給予了鼓勵。通過學生的分享和講解，這道中考壓軸題得到了很好的解決。

【設計意圖】

（1）從“一頭霧水”到“逐漸明朗”

在案例中，雖然有模型一作為奠基，但是中等及以下的學生還是很難直接聯系模型，作出相關輔助線來解決這道中考填空壓軸題。這個時候，他們往往會表現出迷茫、焦慮，不知所措。因此，筆者在講解習題2前，設置了與其相關，但相對基礎的習題1作為鋪墊。隨后，通過動畫，讓學生發現習題2的圖示就是由習題1演變而來，這一循序漸進的過程使得習題2的解法在學生的心中逐漸明朗。

（2）從“簡單堆砌”到“連點成線”

上復習課最怕上成“習題堆砌課”！習題之間沒有串聯，生硬地呈現在學生的眼前。這樣導致的結果就是哪怕經過教師非常辛苦的講解，學生也只會“就題論題”，無法從整體的角度來完成一系列問題的解答。所以在案例中，筆者通過動畫演示將兩道習題巧妙地連接起來，讓學生在不知不覺中感知兩道習題之間存在的關聯，自然地聯想到解題的方向。

五、幾點思考

（一）“只在此山中，云深不知處”需連點成線

許多時候，學生在解題過程中表現出來的“云里霧里”、不明所以，并不是真的因為他的能力不夠或是他不努力，根本原因還是在于知識的“碎片化”。在這些學生的腦海中，一個個知識點就像是散落在地的小珠子。當他們需要這些珠子來幫助解題時，因為零散、無規律，就無法盡快從中找到有效的信息。那么，在一節復習課上，一根或多根串聯知識點的細線就顯得尤為必要。例如，在筆者的教學實踐中，案例1的四個整式以及案例2的動畫演示就分別充當了“連接線”的角色。

（二）“隨題潛入心，潤物細無聲”讓學法自然

心理學家皮亞杰認為：學習是主動建構的過程。因此，數學教學拒絕以割裂的方式將一個個習題強行“灌注”到學生的腦海里。在教學中，筆者建議讓知識點或解題想法循序漸進地滲透到學生的內心深處，從而他們就能夠在不知不覺中獲得知識的洗禮，學習方法自然生成。例如，在案例1中，學生通過自己列式、辨析方程，構建了整式、方程、一元一次方程之間的聯系，而筆者以問題串的形式，加以適當引導，在這樣的一個互動過程中，相關概念就得到了很好的復習。案例2中，由習題1的圖示通過動畫演示逐步變形為習題2的圖示，此時解題想法猶如涓涓細流，一點一滴地沁入學生的心扉，獲得了復習的效果最大化。

（三）“欲窮千里目，更上一層樓”以整體視角俯視數學教學

作為奮斗在一線的數學教師，在教學過程中拘泥于眼前的章節或局限于某一個習題的解答是大忌！所以，無論是新授課還是復習課，筆者認為“大局觀”非常重要。只有教師自己站在了知識鏈的頂端，才能以整體視角完成一堂課的教學。本文作為筆者對整體化教學的初步探索，著眼于復習課的課堂教學策略探究，仍然存在非常多的“未知”等待筆者去挖掘。路漫漫其修遠兮，愿我們之后所做的一切教學研究都能夠為觸及金字塔頂端“添磚加瓦”！

參考文獻：

[1]周曉琳.整體建構：初中數學復習防止“碎片化”[J].教師教育，2017（23）：94，126.

[2]周曉華.整體建構下的初中數學課堂教學策略[J].新課程（上），2011（2）：110.

編輯 王彥清