利用數學習題教學提高學生自主解題能力

陳其樓

[摘? 要] 文章闡述了數學習題選配原則和習題教學的功能，以及充分利用習題教學的策略，并對培養學生的應變能力和理解能力，最終實現解題能力的提升提出進一步的建議.

[關鍵詞] 數學教學;習題;解題能力

數學習題教學，通常是指數學教學的過程中展開的例題講解、習題處理、作業題、試題評講等教學活動，于數學教學而言，它是教學過程中的重要組成部分，是概念、公式的延伸，是性質、原理的深化，是幫助學生獲得“三基”，培養數學能力的主要環節. 因此，培養學生的解題習慣，發揮數學習題的功效，是值得廣大數學教師深入探究的問題.下面，筆者談談一些教學體會.

精選習題，發揮習題的功效

1. 數學習題的選配原則

習題教學對數學教學的作用是不容忽視的，而一道習題的功效不能涉及知識的方方面面，這就要求教師在選配習題時需根據知識的需求精選習題，有針對性地根據不同的背景以及用途去精心選配習題，從而利于解題教學的實施. 數學習題的選配需遵循以下兩個原則：

一是啟發性原則. 現代教學論強調教學的主體是學生，那么教師需千方百計地從知識背景出發去啟發和引導學生積極主動地學習數學知識，只有啟而得法，才能使教學誘之有效. 二是鞏固性原則.教師在精選習題時，需選配具有鞏固作用的習題，從而實現新知識的轉化和深化理解.

2. 習題教學的功能

數學習題的選配在習題教學中并非隨性而選，需遵循兩大原則，與此同時，在數學習題教學中還需體現如下功能，方可達到提高解題能力的目的：一是知識功能.通過習題教學使學生所獲得的數學知識更系統、更完善，展現知識的發生和發展.二是教育功能. 使學生在求解數學問題的過程中，可以獲取和發展推理、化歸、應變和理解能力，處理問題和建構數學模型的能力以及運用數學觀念解決問題的能力.

策略的實施

1. 認真審題是提高解題實效性的關鍵

審題是解題第一關，“審”即閱讀、分析和推敲. 數學題由條件與結論兩個部分組合而成，審題的目的就是充分理解題目中兩部分的信息，從而明確問題的實質. 在審題時，學生需做到以下幾點：一是理清結構;二是抓住關鍵;三是查漏補缺. 葉圣陶老先生曾說：“教是為了不教”. 學生的審題能力提升到一定的程度后，教師就可以放手讓學生充分發揮主動性和創造性去解題，從而提升學生的解題能力.？搖

例1：已知tan（α-β）=■，tanβ=-■，且α，β∈（0，π），請求出2α-β的值.

首先，從解讀中理清本題的基本結構是從條件tan（α-β）=■，tanβ=-■延伸到求2α-β.

其次，從解讀中牢牢把握此題的關鍵條件tan（α-β）=■，tanβ=-■，明晰它所發揮的功效.

因為2α-β=α+（α-β），

所以tan（2α-β）=tan[α+（α-β）]=■（？鄢）.

又tanα=tan[（α-β）+β]=■=■，代入（？鄢），得出tan（2α-β）=1.

因為α，β∈（0，π），所以2α-β∈（-π，2π），所以2α-β=-■或■或■.

至此，算是解題完成了嗎？最后還需要進行查漏補缺，再次研讀條件，可得出α，β被唯一確定，那么它的值也是唯一的，從而需對α，β的取值范圍進一步探究.

因為tanα=■，tanβ=-■，且α，β∈（0，π），所以α∈0，■，β∈■，π，所以2α-β∈（-π，0），所以2α-β=-■.

好的審題習慣是正確解題的開端，高中數學問題都較為復雜，條件眾多，卻無直接聯系，有時還不乏多個隱含條件的存在，學生在面對這么錯綜復雜的條件關系時，首先需踢開粗心的“絆腳石”，并完成多項化歸工作，充分挖掘題設中的隱含條件，將其轉化為顯性條件，并牢牢把握題目中的關鍵元素，有效溝通題目的條件與結論，將問題轉化為簡單的、熟悉的問題，從而有的放矢地解答.

2. 解題思想是掌握解題方法的核心

波利亞在《怎樣解題》一書中曾說到：“學東西的最佳途徑就是親自發現它”. 這就充分說明了解題方法的掌握需要學生親自參與到探究的過程中去，完成對知識的理解，培養思維的優秀品質，實現提升學生應用數學知識去解決問題的能力. 學生解題能力的提升并不是依靠無盡的習題訓練得以實現的，而應有意識地探究解題的思路，提高解題質量.因此，在解題教學中需引導學生思考以下幾點：一是思考解題的通法，二是思考如何巧解，三是思考最優解法.

例2：已知△ABC中，有AB=2，AC=■BC，那么S△ABC的最大值是______.

學生充分審視條件與結論后，生成以下解法.

解1：設BC=x，那么AC=■x，則有S△ABC=■AB·BC·sinB=x■.

據余弦定理，可得cosB=■=■=■，代入以上式子可得S△ABC=x■=■. 據三角形三邊關系，可得■x+x>2，■x-x<2，可得2■-2

此解法為一般解法，大部分學生都可以想到，設邊BC的長為變量，并以此建構三角形面積的函數. 不過，本題中既然可以邊為變量進行探究，那么設角為變量進行探究是否可行呢？

解2：設BC=x，那么AC=■x，據余弦定理，可得4=3x2-2■x2cosC，則有x2=■，從而有S△ABC=■AC·BC·sinC=■，C∈（0，π）. 然后通過三角函數的有界性或求導得出結論. 此題既然可以從數的角度進行探究，那么何不再嘗試一下從形的角度著手解決.

解3：如圖1所示，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸創建平面直角坐標系，設點C（x，y）（y≠0）. 因為AB=2，AC=■BC，所以A（-1，0），B（1，0），■=■■，即（x-3）2+y2=8（y≠0），點C的軌跡為一個圓（除去與x軸交點）. 本題將求面積最大值成功轉換為求圓上的點到直線距離的最大值，從而直擊問題的內核，將一個較為復雜的三角問題消化殆盡，累積數學解題經驗，豐富解題策略.