感悟變式教學對數學思維能力的培養

李懷忠

【摘 要】 在數學教學過程中，針對概念、性質、定理、公式，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景改變問題的設置形式，事實證明，有效的變式訓練對于優化學生的知識結構、提升學生的思維能力有很重要的作用。

【關鍵詞】 變式;拓展;遷移

所謂變式教學，是指在數學教學過程中，對數學問題從不同角度、不同層次進行變式設計，采用題組形式，以點帶面，讓學生深層次理解問題的本質，從而掌握解決問題的基本方法。教學實際表明，利用變式教學，可以優化學生的知識結構，深化學生對數學思想和方法的理解，能有效提高學生靈活解決問題的能力，尤其是對培養學生創新思維能力有著重要作用。本文就一節高三復習課進行變式訓練的做法和感悟，談談自己的體會。

【題目】求函數f（x）=的最小值。

分析：設g（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，

當x=1時，g（x）min=2，所以f（x）min=。

【設計背景】此題的核心概念是二次函數型的復合函數值域問題，內層函數的最值影響整個函數的最值。

為了能夠讓學生準確把握習題背后所隱藏的核心概念和思想方法，設計如下的變式題組：

【變式1】（1）當x∈[-1，3]時，求f（x）的最小值;

（2）當x∈[-1，0] 時，求f（x）的最小值;

（3）當x∈[2，3]時，求f（x）的最小值。

【設計意圖】設計對稱軸不動，區間在動，函數最值的變化情況，在解決問題的過程中，讓學生體驗對稱軸、區間是影響二次函數的基本因素，這種“拉長”知識的形成過程的變式訓練，可以強化核心概念的生成。

【變式2】當x∈[a，a+1]時，求f（x）的最小值。

【設計意圖】將變式1中的三種確定的區間用變量a來代替，區間就有不確定性，根據a的變化求得f（x）的最小值H（a），從而得到新的函數H（a），使學生形成運動、變化的觀點，學會分類討論的方法，從而掌握數學思想方法。

【變式3】將函數f（x）=變為f（x）=，求函數f（x）的最小值。

【設計意圖】進行函數的變換，對稱軸變化致使函數的最值也在變化，從不同的方面進行變換，使學生認識二次函數或者二次型的函數最值是受開口方向、對稱軸、區間三個方面來影響的。

【變式4】原題是求最小值，若改為求變式3的最大值，則結果如何？

（1）當x∈[0，1]時，求f（x）的最大值;

（2）當x∈[-2，0]時，求f（x）的最大值;

（3）當x∈[-2，-1]時，求f（x）的最大值。

【設計意圖】對求解的結論進行變換，使學生對變換進行更高層次的理解和把握。

【變式5】求，x∈[-1，1]的最小值。

【設計意圖】對稱軸動，區間不動，數學形式在變化，但是解決問題的數學思想不變，使學生感受到變式的交互性。

【變式6 】求y=，x∈[m，n]的最小值。

【設計意圖】 將根式下的具體的二次函數變為一般的二次函數，區間也是不確定的，解決問題要回歸到一般化的結構形式，體現變式的最終目的：解決一般問題。

【變式7】（1）（2018·廣東惠州一模）函數y=cos2x+2sinx的最大值為（）。

A. B. 1C. D. 2

（2）（2014重慶）函數f（x）=的最小值為_。

【設計意圖】借助三角函數和對數函數的形式，讓學生把隱形的二次函數轉化為具體的二次函數，體現變式的最終目的：知識的遷移和轉化能力。

【感悟】

一、變式教學有利于培養學生觀察、聯想、轉化、探索的思維能力

教師要學會在平時的教學中幫助學生建構知識，了解知識的生成過程，但更重要的是在問題的解決過程中，潛移默化地理解數學本質，領悟數學方法，而不僅僅是以題講題，完成任務。從變式1到變式2，是師生進行知識同構的過程，即二次函數的最值問題與開口方向、對稱軸、定義域有關，變式2是區間的不確定，使得問題的解決需要分類討論，以確定函數圖像所在的位置，分類討論的數學思想悄然而至，問題的解決過程就是知識重建和數學思想的滲透過程。通過這樣的變式，對知識進行構建與領悟，將有利于學生聯想、轉化、探索思維能力的提高。

二、變式教學有利于培養學生發散思維和創新能力

變式教學就是基于需要解決的數學問題，從不同層次、不同角度設計變式題組，形成有一定梯度、一定層次的問題鏈，在解決相應題組的過程中，幫助學生尋找求解類似問題的數學思想和方法。變式3和變式4屬于思想方法的遷移、類比，通過這樣的訓練，可以大大加深學生對所學知識的理解和方法的應用，舉一反三，提高思維能力;從變式1到變式6，從不同的層次變式，難度在螺旋上升，思維的廣度在加深，學生對方法的理解更加透徹。

三、變式教學有利于培養學生歸納總結的思維能力

數學教學的一個主要目標就是解決問題，通過解決問題來引導學生形成自己的思維能力。因此，教學中要注重對學生思維分析能力的培養，讓學生對知識初步理解和掌握之后進一步升華和熟練，使學生學會舉一反三。運用變式教學，改變的是問題結構或者呈現形式，而不變的是理論、方法、思想和數學本質，使思維達到一定的高度，這就需要培養學生概括、歸納的思維能力。通過變式6，學生形成了解決問題的一般方法，切實地從題海中走出來，真正實現減負與增效。變式7的解決，深化了學生的思維結構，實現了知識的遷移和轉化，有效地提升了學生解決復雜問題的能力。

【參考文獻】

[1]趙華.變式訓練是提高學生數學思維能力的有效途徑[J]. 中學數學， 2017（1）：30-32.