基于數學建模核心素養培養的中職函數教學研究

黎超 韋金愛 陸龍燕

摘要：數學建模是中職數學六大核心素養之一，是培養中職學生利用數學語言表達問題、用數學知識解決問題的重要思維方式.函數是描述客觀世界運動變化的是數學模型，函數是中職數學教學重要的內容，函數模型是培養學生數學建模素養的重要載體.通過三角函數模型的教學，使學生積累基本的數學活動經驗，理解模型，為利用模型解決專業學習或者生活中的問題打下堅實的基礎。

關鍵詞：任意角三角函數;中職數學;數學建模;核心素養

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程.數學建模思想是數學活動中的基本思維方式之一，也是解決生產、生活中的有關問題的有力武器.根據中職學生的知識水平，筆者認為數學建模的教學主要有兩個內容：一是數學模型的含義，掌握數學模型;二是數學模型在社會生活、專業課程學習中的簡單應用，培養學生的應用意識。

函數是描述客觀世界運動變化的數學模型，函數是中職學生數學課程學習的重要內容，函數模型是培養學生數學建模核心素養的載體，本節是中職《數學》基礎模塊上冊第五章第3節的內容.三角函數是重要基本的初等函數之一，也是描述周期性現象的重要數學模型。

一、教材地位與作用

本章的第1節和第2節分別是角的概念推廣和弧度制，這是為三角函數引入做鋪墊，為函數的三要素之一的定義域做好準備，將角度化為弧度，即為實數.第3節通過角終邊上的點的坐標“比值”來定義，構建三角函數模型。第4節、第5節都是基于三角函數的定義得出同角三角函數的基本關系和誘導公式;第6節研究三角函數的圖像和性質，第7節已知三角函數值求角。

二、學情分析

學生在初中已經學習過銳角三角函數模型，利用直角三角形的邊長比來刻畫的，角的范圍只限于銳角，模型的應用具有局限性.本節在初中已有認知的基礎上構建邏輯思維起點，通過類比推理、演繹論證得出任意角的正弦函數、余弦函數和正切函數的定義，得出應用范圍更廣的數學模型。

三、教學過程分析

（一）三角函數發展史引入教學內容，激發學習興趣

三角學這門學科是從研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系開始的，最初的目的是為了改善天文學中的計算.古代三角學的萌芽可以說是源于古希臘哲學家泰利斯的相似理論.古希臘天文學家帕恰斯，曾著有三角學12卷，可以說是古代三角學的創始人.到15世紀，德國的雷格蒙塔努斯的《論各種三角形》一書，書中提出了解三角形邊長的代數解法，討論了球面三角形的正余弦定理，標志著古代三角學正式成為獨立的學科，這是幾何的三角.到16世紀，哥白尼的學生雷蒂斯的《三角形準則》首次給出了六種三角函數表，重新定義了三角函數，即為三角形邊與邊的比，并指出此比與角度有關，不過僅限于銳角三角形，目的在于解三角形和三角計算，這是代數的三角.18世紀，歐拉建立了三角函數嚴格解析理論，三角函數從原先靜態研究三角形的解法解脫出來，成為反映現實世界中某些運動和變化的一門具有現代數學特征的學科，這是解析的三角。

【設計意圖】讓學生了解三角函數的發展史，感受概念形成的曲折經歷，滲透數學文化，激發學習興趣。

（二）問題導學，逐層探究

問題1 初中銳角三角函數是如何定義的？

教師利用GeoGebra軟件演示如圖三角形，學生回答，再展示答案：

，，.

即銳角三角函數是以銳角為自變量，以邊的比值為函數值的函數.

【設計意圖】任意三角函數函數定義以初中銳角三角函數為探究起點，讓新知識的構建打下基礎。

問題2? 為了討論方便怎樣將Rt△OMP中的∠POM放入直角坐標系？如何表示銳角α終邊上點P的坐標？

頂點O與原點重合，角的始邊OM與x軸的非負半軸重合，PM⊥x軸于點M，點P坐標為（a，b）。

問題3? 你能用直角坐標系中角α終邊上的點P的坐標來表示銳角三角函數嗎？

點P縱坐標b是角α對邊長，橫坐標a是角α鄰邊長，P到原點的距離|OP|為斜邊長，學生容易得出結論。

問題4? 改變角α中邊上點P的位置，銳角α的三角函數改變嗎？能否說明理由？

教師先讓學生思考，做出主觀判斷，教師使用動態幾何畫板GeoGebra演示，當點P的位置改變時，討論點P坐標的變化及對應的三角函數值.結論：當角α確定時，α的三角函數值不隨點P位置改變而變化。

教師引導學生看圖，點P改變時，得到兩個三角形相似，比值不變.

問題5? 銳角α變化時，比值改變嗎？比值是角的函數嗎？

教師讓學生想象思考，做出判斷，教師再用動態幾何畫板GeoGebra演示，同時做出解釋.當α為銳角時，三個比值隨著α的變化而變化;當α確定時，三個比值是確定的.因此，三個比值是以α為自變量，以比值為函數值的函數。

【設計意圖】角是幾何圖形，將角放入坐標系，通過終邊上的點的坐標，搭建由行到數的橋梁，PM⊥x軸于點M，構造問題2中的RtΔOMP，將坐標系中銳角三角函數的表示化為初中直角三角形中的銳角三角函數的表示，類比實現了解析化.通過問題4與5，比值隨著角的改變而改變，角定則比值唯一，解釋了銳角三角函數表示的合理性。

（三）類比、歸納，建立模型

問題6? 能將銳角三角函數的比值情形推廣到任意角α的情況嗎？

對于任意角，它的終邊位置包括兩類：終邊分別在四個象限和終邊在四個半軸上，共8中情形，類比得出正弦、余弦、正切的表示，當（k∈Z）時，有x=0，則無意義。

追問：當α變化時，正弦、余弦、正切對應的比值變化嗎？當不變，情況又如何？

讓學生思考，做出判斷，再用動態幾何畫板GeoGebra演示，結論是各比值隨α變化而變化.再引導學生利用相似三角形的知識，探索發現：對于α的每一個確定的值，比值不變，再用動態幾何畫板演示。

【設計意圖】從銳角三角函數類比到任意角的兩類8中情況，再歸納共性，得到任意角三角函數定義，即三角函數模型。

綜上探究，我們得到任意角三角函數的定義：?? 設在任意角α終邊上取一點P（x，y），，

比值叫做α的正弦，記作sinα，即;

比值叫做α的余弦，記作cosα，即;

比值叫做α的正切，記作tanα，即.

在比值存在的情況下，對角α的每一個確定的值，按照相應的對應關系，角α的正弦、余弦、正切、都分別有唯一的比值與之對應，它們都是以角α為自變量的函數，分別叫做正弦函數、余弦函數、正切函數，統稱為三角函數。

（四）例題講解，模型應用

例 如圖，已知角α的終邊經過點P（-3，4），求角α的三角函數值.

分析：，，，需求x、y、r，由題意知，x=-3，y=4，把x、y帶人即可求r.

解：由x=-3，y=4得，

，，.

【設計意圖】通過具體實例的講解，使學生進一步對模型的理解。

（五）當堂檢測，鞏固提升

已知角θ的終邊經過點P（-5，12），求角θ的三角函數值。

數學模型是用數學知識解決實際問題的重要方法，如何將問題轉化為數學問題，再利用已有知識解決問題是有難度的.通過基礎數學模型的學習，積累一定的數學活動經驗，為數學建模打下堅實的基礎，所以在一些常用的數學模型的教學中要精心設計，充分在學生已有的知識基礎上構建模型，利用信息化手段理解模型。

參考文獻：

[1]郗坤洪.代建云.基于數學核心素養談高中數學抽象教學—以《任意的三角函數》為例[J].中學數學研究，2019年第2期.

[2]陶德軍.邏輯推理核心素養視角下的概念教學—以“任意角的三角函數”的教學為例[J].教學考試，2019年.

[3]李廣全.中職數學基礎模塊上冊.高等教育出版社[M]，2010年第三版.

[4]張桂菊.基于數學建模核心素養培養的基本初等函數教學研究[D].山東：山東師范大學碩士論文.2020.

項目基金：2021年度廣西桂林農業學校職業教育教學改革研究項目《基于數學建模核心素養培養的中職數學函數教學研究》立項文（桂林農校發【2021】3號）

3824500338243