靈活轉化 巧解梯形

西北大學附屬中學 曹建聯

在初中數學教學過程中，不僅要教會學生熟記概念、套用公式、做對題目，而且要引導學生準確理解數學概念，發展學生的數學思維，培養數學思想方法。在不同版本的初中數學教材中，多個章節內容都滲透了最基本的數學思想方法，而轉化思想在數學學習過程中可以說是貫穿始終，每每學習新知識的時候，通常采用化未知為已知、化復雜為簡單、化抽象為具體、化陌生為熟悉的思維方式。轉化思想會讓學生在探尋問題的相互聯系中，找到聯系的關鍵點，獲得解決問題的突破口，鍛煉數學思維方式，提高學生的數學思維品質。在初中數學教材的多個章節中，多處都應用到了轉化思想，本文就著重探討轉化思想在解決梯形問題中的應用。

作為特殊四邊形的梯形，是初中階段幾何部分學習的重要內容，解決梯形問題對于學生來說既有似曾相識的感覺，又有無從下手的困惑，因此，在教學過程中，引導學生將梯形轉化為已經學習過的三角形或平行四邊形就顯得尤為重要，通過轉化使問題得到簡化，從而有利于學生解決問題。在教學中常用的轉化方式有以下四種情形。

【情形一】當題目中出現底角的三角函數時，則需構造直角三角形，具體方法是通過作梯形的兩條高，將問題轉化為解直角三角形和矩形問題

例1：如圖1，梯形ADFE中，EF//AD，AE=DF，若AD=10，EF=4，tanA=2，求梯形的面積。

分析：由tanA=2 容易聯想到構造含∠A的直角三角形，過點E作EB⊥AD，過點F作FC⊥AD，此時將梯形轉化為矩形和三角形，問題得到解決。

解題思路：

①證明四邊形EBCF為矩形，得到BC=EF=4；②證明△ABE≌△DCF，得到AB=CD=3；

③在Rt △ABE中，由tanA=2，AB=3，可得BE=6；④由梯形面積公式可得梯形的面積為52。

【情形二】當題目中出現兩底角互余時，則需將互余的兩個角轉化到一個三角形中，這時會形成一個直角三角形。

方法一：通過作一條腰的平行線，將互余的兩個角轉化到一個三角形中，利用直角三角形的相關知識使問題得以解決。

例2：如圖2，梯形ABCD中，AB//CD，∠A＋∠B=90°，若AB=10，AD=4，DC=5，求梯形的面積。

圖2

分析：由條件∠A+∠B=90°會想到將∠A和∠B轉化到一個三角形中，因此，過點D作DE//BC，將梯形轉化為平行四邊形和直角三角形。

解題思路：

①由DE//BC得∠DEA=∠B，同時證得四邊形BCDE為平行四邊形，BE=CD=5，由AB=10 可得AE=5；

②由∠A+∠B=90°得△ADE為直角三角形，由AE=5，AD=4 得出DE=3 ，△ADE的面積為6；

③因為平行四邊形BCDE和△ADE等底同高，所以S四邊形BCDE=2S△ADE，則S四邊形BCDE=12；

④梯形的面積為6+12=18。

方法二：還可以通過將兩腰延長，構造成直角三角形，使問題易于解決。

例3：如圖3，在梯形ABCD中，AB//CD，∠B=30°，∠A=60°，CD=AD=6，計算AB的長度。

圖3

分析：由題目中的已知條件∠A=60°，∠B=30°，可以聯想到延長AD和BC，將會使問題轉化為大家熟悉的直角三角形問題。當然，該問題也可通過作兩條高解決。

解題思路：

①延長AD和BC交于點E，由∠A=60°，∠B=30°可得∠E=90°；

②由已知條件AB//CD，可得到兩個含有30°的直角三角形，隨后問題即可迎刃而解。

【情形三】當題目中的條件有對角線相互垂直時，則需將直角轉化到對角線的一個端點，具體方法是通過平移梯形的一條腰，容易計算三角形的面積，間接得到梯形面積。

例4： 如 圖4， 在 梯 形ABCD中，AD//BC，AB=CD， 對 角 線AC和BD相 互 垂 直， 若AD=4，BC=8，計算梯形ABCD的面積。

圖4

分析：由題目中所給條件AC⊥BD，可將AC平移到DE，過點D作DE與AC平行，且與BC的延長線交于點E，得到△BDE為直角三角形，可通過計算三角形面積計算梯形面積。

解題思路：

①作DE//AC，由AC⊥BD得到DE⊥BD；

②又由AD//BC可證四邊形ADEC為平行四邊形，得DE=AC，CE=AD=4，由等腰梯形可知BD=AC，因此BD=DE，則△BDE為等腰直角三角形，BE=8+4=12；

③在等腰直角三角形BDE中，BE=12，S△BDE=36；

④由面積轉化可得梯形ABCD的面積為36。

【情形四】當梯形為直角梯形時，可以通過延長兩腰，使圖形轉化為直角三角形，從而使問題得到解決，

例5：如圖5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=5，E為AB的中點，EF//DC交BC于F點，求EF的長。

圖5

分析：由題目中的條件∠B=90°，∠C=45°，可延長兩腰得到一個等腰直角三角形，將梯形問題轉化為熟知的等腰三角形問題。

解題思路：

①延長BA和CD交于點M，由∠B=90°，∠C=45°可得△MBC為等腰直角三角形，即BM=BC=5；

②由AD//BC得∠ADM=∠C=45°，∠MAD=∠B=90°，則△MAD為等腰直角三角形，即AM=AD=1；

③由BM=4，AM=1，可得AB=4，因為E為AB的中點，所以BE=2；

④因為EF//DC，所以∠BFE=∠C=45°，又因為∠B=90°，所以△BEF為等腰直角三角形，從而可計算EF的長度。

除了以上幾種常見的情形外，還有其他的輔助線添加方法，將梯形問題進行轉化。

例6：如圖6，已知梯形ABCD中，AD//BC，EF是梯形中位線，△DEF的面積為4，則梯形ABCD的面積為多少？

圖6

分析：由EF為梯形的中位線可知點E為AB的中點，可通過延長DE構造全等三角形，將梯形面積轉化為三角形面積，從而使問題得到解決。

解題思路：

①延長DE和CB交于點M，因為AD//BC，所以∠M=∠ADE， ∠MBE=∠A，又因為BE=AE，所以△MBE≌△DAE，則梯形ABCD的面積等于△MCD的面積；

②因為△MBE≌△DAE，所以DE=ME，則EF為△MCD的中位線，可得△DEF與△DMC相似；

③因為△DEF的面積為4，所以△DMC的面積為16，所以梯形ABCD的面積為16。

總之，解決梯形問題的方法多種多樣，不止這幾種情形，在具體操作的過程中，根據題目所給已知條件，結合條件中邊、角、對角線的不同特點，靈活應用添加輔助線、圖形旋轉或割補的方法進行圖形轉化，將梯形問題轉化為較為簡單、熟悉且容易解決的三角形問題或平行四邊形問題，使問題分解、難度降低，從而達到解決問題的目的。當然，復雜的梯形問題可能會綜合應用多種添加輔助線的方法，但其本質都是通過轉化的思想化繁為簡、化未知為已知，靈活遷移所學知識和方法解決新問題，創新思維方式，提高學生的數學素養和創新能力。