集成分區耦合策略的物理信息神經網絡模擬共軛傳熱過程研究

陸至彬，李依夢，何暢，張冰劍，陳清林，潘明

（1 中山大學材料科學與工程學院，廣東 廣州 510006； 2 廣東省石化過程節能工程技術研究中心，廣東 廣州 510006；3工數科技（廣州）有限公司，廣東 廣州 510530）

引 言

熱傳遞過程是自然界和工業界中普遍存在的基本現象，精確地構建其傳熱模型是設計高效率、低成本換熱設備的關鍵步驟之一。在換熱設備內部，熱交換主要發生在氣/液-固交界面，這種流體傳熱與固體導熱相耦合的現象稱為共軛傳熱。共軛傳熱過程機理可以通過控制方程（包括質量、動量和能量守恒方程）進行數學描述，通常表現為高度非線性的偏微分方程組（partial differential equations, PDE）。在實際應用中，PDE 往往難以直接解析求解，通常需要利用基于網格離散化的數值計算（如有限元法、有限差分法和有限體積法等）將計算域分散為有限個以節點連接的網格單元，并借助計算流體動力學（computational fluid dynamics,CFD）工具來獲得節點處的數值解或近似解[1]。這時，網格的數量會同時影響數值計算結果的準確性和計算負荷，需要在保證計算準確性的前提下，對網格數量和計算負荷進行權衡。而實踐中，某些新型換熱設備具有復雜的幾何形狀，使共軛傳熱的數值模擬極為困難。同時，由于方程的高度耦合和非線性，數值模型很難與模塊化流程仿真模型或數學規劃模型直接集成，限制了數值模擬在實時預測、參數分析或優化設計等方向的應用。

隨著數據和計算資源的爆炸式增長，深度學習在計算機視覺和自然語言處理等方面取得顯著的成功[2]。人工智能領域學者將深度學習與科學計算結合，通過函數逼近理論的研究證明深度神經網絡（deep neural networks, DNN）可作為通用的函數逼近工具，用于逼近任何連續函數及其導數[3]。得益于自動微分[4-5]技術的進步，理論上可以利用DNN 來近似逼近任意PDE 的解析解[6]，最終替代傳統的基于網格離散化的數值計算。2019 年，Raissi 等[7]提出利用物理信息神經網絡（physics-informed neural network, PINN）來描述對底層物理定律進行數學編碼的新方法。為了通過深度學習獲得PDE 的近似解，PINN關鍵步驟是將PDE的殘差直接加入到神經網絡損失函數中來指導網絡的訓練[8]。PINN作為一種新興的內嵌物理知識的深度學習方法，在流體力學和傳熱領域得到了廣泛實踐[9-10]。以參數化的二維穩態導熱為例，Gao 等[11]開發的物理信息幾何自適應的卷積神經網絡PhyGeoNet 已成功用于預測不規則表面的溫度分布。與單純的熱傳導相比，流動傳熱涵蓋了速度場和溫度場，是典型的多物理場系統。陸至彬等[12]將軟邊界PINN 和硬邊界PINN 分別應用于兩個二維穩態傳熱問題——具有內熱源的熱傳導和平板間對流傳熱，結果表明由硬邊界PINN構建的參數化代理模型預測能力更優。Laubscher等[13]在穩態和瞬態不可壓縮層流下，利用PINN 分別模擬了成直線排列的雙加熱圓管的流動傳熱，與商業CFD 模擬結果的對比證明了PINN 求解多物理場的能力。與此同時，Laubscher[14]將其進一步推廣到物性參數可變的多組分流動和傳熱模擬問題，以矩形區域內的干空氣加濕問題為例，該工作的創新點在于使用三個獨立的神經網絡（PINN-3）來分別模擬對應的速度場、溫度場和濃度場。與傳統的使用單個神經網絡的PINN求解多物理場作比較，研究結果表明PINN-3不僅能達到更小的訓練殘差，而且其預測組分濃度分布的性能要遠優于傳統的PINN。

以上對PINN 在傳熱應用方面的研究工作基本都是在流體或固體內部的傳熱，有待開發基于真實物性條件下共軛傳熱PDE 的求解策略和算法。但是，由于共軛傳熱內在的耦合性，若利用PINN 直接求解，將出現難以收斂的情況[15]。為了解決上述問題，NVIDIA 公司的SimNet 團隊[15-16]借鑒共軛傳熱耦合的經典處理方法做了初步嘗試。本工作則在此基礎上進一步完善計算流程和算法，將分區耦合策略與PINN 結合用于模擬真實場景下的共軛傳熱現象，并深入分析算法的收斂特性及模擬結果。

1 共軛傳熱理論

1.1 基本理論

共軛傳熱是描述固體和周圍流體之間熱交互關系的傳熱現象，整個換熱過程是固體導熱和流體傳熱的組合[17-18]。假設流體流動狀態為層流，對于穩態不可壓縮流體，流體流動通常由連續性方程和N-S方程控制，如式（1）、式（2）所示。

式中，u為流體速度，在三維空間x、y、z方向上的分量分別為u、v、w，即u=[u,v,w]；ρfluid為流體的密度；p為壓力；μ為流體的黏度。而流體傳熱則建立在流動的基礎上，無內熱源存在時，其控制方程描述如式（3）。

式中，Tfluid、Cp,fluid和κfluid分別為流體的溫度、比定壓熱容和熱導率。

在固體內部，僅存在熱傳導過程。對于無內熱源存在的穩態熱傳導，可通過求解拉普拉斯方程來獲得固體內部的溫度場。

式中，Tsolid為固體溫度；κsolid、ρsolid和Cp,solid分別代表固體的熱導率、密度和比定壓熱容。

共軛傳熱涉及固體和流體的熱交換。在流體和固體的界面處，溫度和熱通量傳遞的連續性[19]通過以下邊界條件約束來控制。

式中，下角標sw和fw分別表示流固公共界面處的流體域壁面和固體域壁面。而熱通量可通過溫度梯度直接計算得出。

式中，n為壁面上向外的單位法向量；?Tsw和?Tfw分別為固體域壁面和流體域壁面的溫度梯度。

1.2 分區耦合策略

分區耦合策略對流體域和固體域分別采用專門的求解器求解，并在兩個域的界面上交換邊界條件，通過迭代滿足界面的耦合條件[20]。這種方法的優點是可利用現有的最先進的求解器分別獨立求解流體域和固體域，但由于需要在兩個域之間不斷迭代，計算過程相對煩瑣，耗時較長。

根據交換的邊界條件（boundary condition, BC）的不同，分區耦合策略有不同的呈現形式。熱邊界條件可以分為以下三類：

式中，h"為虛擬傳熱系數，并非物理意義上真實的局部傳熱系數，其在算法中的作用是輔助共軛傳熱問題收斂，可取任意數值，但取值時需兼顧計算時間和邊界條件傳遞的穩定性[17]。

分區耦合策略的命名規則由Divo 等[21]提出，它規定流體域向固體域傳遞的方向為正向，固體域向流體域傳遞的方向則為反向。對于將流固界面處流體的熱通量和溫度作為固體域的Robin 邊界條件、固體的溫度作為流體域的Dirichlet 邊界條件的情況，對應的耦合方法被稱為傳熱系數正向溫度反向 法（heat transfer coefficient forward temperature backward, hFTB）。

圖1 hFTB方法的流程圖Fig.1 Flow chart of the hFTB method

2 物理信息神經網絡框架結構

上述共軛傳熱數值模型涉及的PDE 可用式（14）的通用形式表示。

式中，Г為非線性偏微分算子；f(x,λ)為原函數即PDE 的解；x和λ分別為域Ω上的空間坐標向量和參數向量（包括幾何參數和操作參數）。若計算域為三維空間Ω??3，則x=[x,y,z]；若為二維空間，則x=[x,y]。

求解上述PDE 需要指定邊界條件，其通用表達如式（15）。

式中，B為涵蓋Dirichlet、Neumann和Robin等邊界條件的約束算子[6];?Ω代表域Ω的邊界;xb為邊界?Ω上的坐標點。

PINN 是建立在傳統深度神經網絡基礎上的新型結構化神經網絡，其基礎框架見圖2。根據框架結構和神經元連接方式的不同，神經網絡可以分為全連接神經網絡（FC-NN）、卷積神經網絡、循環神經網絡等[22]。由于FC-NN 能解決大多數的PDE 問題[23-26]，本工作將利用其構建PINN。在FC-NN 結構中，每一層神經元的輸出都作為下一層神經元的輸入，這一前向傳播過程的數學表達[12]為

圖2中PDE的具體求解過程如下[6]。首先，構造一個輸入為x和λ的神經網絡f?(x,λ;θ)，擬將其作為PDE 的解析解f(x,λ)的代理模型，并可生成與f(x,λ)維數相同的輸出向量。

圖2 PINN的經典框架示意圖Fig.2 Schematic of a typical PINN framework

式中，θ={w,b}表示神經網絡的權重矩陣和偏置向量；上角標L代表神經網絡的輸出層。

接下來，需要為神經網絡提供樣本量為|T|的訓練數據集T={x1,x2,…,x|T|}，它通常由兩個相互獨立的集合Tf?Ω和Tb??Ω組成，分別代表域內和邊界上的樣本集。為度量神經網絡和約束之間的差異，PINN的損失函數ΛPINN(θ;λ,T)定義為PDE殘差及邊界殘差的L2范數平方的加權求和，如式（19）所示。

式中，ωf和ωb為權重；xf為計算域內的坐標點；|Tf|和|Tb|分別為在域內和邊界上采集的樣本坐標點的個數。如式(19)所述，PINN 損失函數由兩部分組成：Λf(θ;λ,Tf)用于約束描述物理定律的PDE，可稱為“基于物理知識的損失”，Λb(θ;λ,Tb)則對應邊界條件的損失。

最后，利用基于梯度的優化器（如SGD、Adam和L-BFGS）最小化損失函數來訓練神經網絡的權重和偏置θ= {w,b}。在訓練過程中，PINN 還借助自動微分技術，可以方便地計算f?(x,λ;θ)相對于輸入x的梯度信息。當PINN 收斂到可接受的精度水平時，f?(x,λ;θ*)可認為是數值模型f(x,λ)的代理模型。

3 案例研究

3.1 二維模型和三維模型

本工作以散熱器系統作為研究對象，是基于一定假設的共軛傳熱模型[15,28]：帶底座的三翅片散熱器放置在橫截面為矩形的通道內，組成的三維模型如圖3 所示，圖中下角標c 和b 分別代表通道和底座。散熱器底座中央與芯片直接接觸，芯片產生的熱量傳導給散熱器。不可壓縮流體從通道入口進入，流經散熱器表面與其進行熱交換。在三維建模中，以通道中心為原點（O）建立笛卡兒坐標系，三維模型關于xy坐標軸平面對稱，二維模型的幾何結構則選取其中的xy切面。

圖3 共軛傳熱模型Fig.3 The conjugate heat transfer model

結合共軛傳熱基本理論，其數值模型由一系列PDE 共同控制，還需給定恰當的邊界條件才能利用PINN進行求解。對于流動，假設流動狀態為穩態層流，通道入口處流體速度已知（u=Uinlet,v= 0,w=0）；通道出口處壓力p= 0，通道和固體的壁面無滑移即u= 0。對于傳熱，假設通道入口處流體溫度保持恒定，Tinlet= 293.15 K，通道壁面及出口處均被視為絕熱，即[n· (κfluid·?Tfluid) = 0]。最后，假設芯片在散熱器底部產生均勻的熱通量，指定輸入系統的恒定熱通量qs作為熱邊界條件。熱邊界條件的設置方式為

共軛傳熱模型的幾何尺寸匯總在表1中。選取空氣和銅分別作為流體和固體材料，假定物性不受溫度影響且保持恒定不變，相應的物性數據在表2中列出[29]。需要指出的是，對于二維模型，相應的幾何尺寸為三維模型尺寸的10倍，且固體底部整個區域施加均勻熱源（即Ls=Lb），通道入口處的流體速度和輸入熱通量分別設為Uinlet= 0.1 m/s 和qs= 200 W/m2。而對于三維模型，通道入口處的流體速度和輸入熱通量分別指定為Uinlet= 1.0 m/s 和qs= 12000 W/m2。

表1 共軛傳熱三維模型的幾何尺寸Table 1 Geometric dimension of the 3-D conjugate heat transfer model

表2 流體和固體的物性Table 2 Fluid and solid properties used in the simulation

3.2 求解策略

綜合上述分析，除了公共界面的熱交互，傳熱過程在流體域和固體域都是相對獨立的。鑒于hFTB 方法可利用求解器分別獨立求解子域的特性[15]，本工作提出分區耦合PINN 策略，其框架示意圖如圖4(a)所示。其中，由于在本工作中流體為不可壓縮流體，流動和傳熱是單向耦合（one-way coupling），因此流體流動和傳熱可以分別單獨訓練。當流體流動網絡flow_net 達到收斂標準后，其結果u*將作為訓練流體傳熱網絡heat_net_fluid 溫度場的初始值。

圖4 PINN與hFTB方法集成的方法框架示意圖和優化程序Fig.4 The partitioned coupling PINN strategy methodological framework and optimization procedure

在固體導熱中，固體導熱方程可展開為以下形式。

式中，q為與?Tsolid維度相同的向量，在x,y,z方向上q= [qx,qy,qz]。與此同時，qx、qy、qz也滿足二階混合偏導數相等的定理約束，表達如式（24）。

基于上述推導，本案例構造兩個神經網絡heat_net_solid、heat_flux_net_solid 來滿足固體傳熱控制方程[式(22)～式(24)]的約束，其中heat_net_solid的輸出為Tsolid，而heat_flux_net_solid 的輸出為[qx,qy,qz]，如圖4(a)所示。值得注意的是，并不需要強制滿足q和?Tsolid之間等式約束，因此式(22)的處理方式打破了式(21)中固體溫度梯度和二階導數的強耦合關系。

為進一步提高PINN 求解物理模型的收斂性能，本工作采取Monte Carlo 積分（Monte Carlo integration）形式的損失函數來代替求和形式的損失[15]，這一方法的好處在于確保域內單位空間內的損失一致，提高訓練精度。

損失函數[式(19)]中權重ω的選擇對于收斂至關重要。通常ω為不隨空間位置變化的定值。然而，空間不同的位置梯度的變化程度不同，統一的權重顯然不夠合理。本工作通過引入幾何體的符號距離函數（signed distance function, SDF）[30]改變不同空間位置的權重，其權重定義[31]如式（26）、式（27）。

式中，d(x)代表空間任意點x到域邊界的最小歐幾里得距離。根據函數定義可知，靠近域邊界ω(x)會降低，而邊界往往是梯度急劇變化的地方，因此SDF 加權有利于降低急劇梯度對收斂的影響，加快收斂速度的同時還可能提高精度。引入Monte Carlo積分和空間加權ω(x)后最終的PINN 損失函數形式如式（28）。

式中，上角標*表示經過無量綱化后的參數和變量；Lscale、tscale、Mscale和Tscale分別表示長度、時間、質量、溫度四個與流體力學相關的基本物理量放縮的比例。類似地，所有物理量都是根據其對應的基本量綱的冪次表達進行處理。在本案例中選取的放縮比例在表3 中列出，其目的在于使得無量綱參數和變量范圍在0～1內更有效地訓練神經網絡[15]。

表3 無量綱放縮比例參數Table 3 Non-dimensional scaling parameters

本研究中設置PINN 隱藏層為6 層，每層256 個神經元，激活函數為swish 函數，流體流動網絡最大訓練步數設置為1×106步以保證收斂。此外，流體傳熱和固體傳熱網絡每次循環的最大訓練步數均為3×105步，二維模型和三維模型的虛擬傳熱系數h"分別設為500 和600。PINN 訓練過程基于NVIDIA Modulus 工具包所提供的深度學習集成平臺[31]，工作站配置為2塊GeForce RTX 3070 GPU。

4 結果與討論

二維模型的允許溫度最大誤差取ε＝0.10 K，采集每次循環結束后流固界面處的溫度用于監測收斂過程，收斂歷史如圖5 所示，其中|Ti+1-Ti|即為|T i+1fw-T ifw|avg，在經過20 次循環后，已滿足循環終止條件，且在循環過程中流固界面處空氣和銅的溫度差異逐漸變小，在循環終止時已趨于相等，再次證明溫度場已收斂。

圖5 二維模型流固界面處溫度收斂歷史Fig.5 Temperature convergence records at the fluid-solid interface of the 2-D model

訓練后的結果與COMSOL 模擬結果進行對比以驗證PINN 模型的精度。為進一步定量比較PINN預測值與CFD 模擬值的差異，采用歸一化平均絕對百分比誤差（normalized mean absolute percentage error, NMAPE）作為量化指標[14]，其計算公式如式（30）所示。

式中，?代表物理量；下角標CFD 代表COMSOL的模擬結果，其中溫度最小值統一取入口溫度。

二維模型速度場、壓力場和溫度場的PINN 預測結果如圖6 所示。從整體上看，多物理場的預測結果與COMSOL 模擬結果趨勢一致，這證明了分區耦合PINN 求解真實場景下二維共軛傳熱的有效性。進一步對比NMAPE 可知，NMAPE 值均小于4%，其中固體溫度的NMAPE 數值最小。盡管二維模型固體溫度云圖的對比觀察到較為明顯的差異，但需要注意到固體溫度分布的變化范圍很?。ú怀^0.06 K），且溫度的絕對誤差最大為0.19 K，因此PINN 仍相對準確地捕捉到了固體溫度的分布。此外，速度場云圖較大的差異主要集中在通道出口附近，除了速度分量v，速度分量u和壓力場的預測誤差都超過2%，最終造成流體溫度更大的預測誤差（約4%）。

圖6 二維模型結果對比Fig.6 Comparison of the results of the 2-D model

對于三維模型，考慮到計算精度可能會有所下降，故允許溫度最大誤差設置為ε＝0.20 K，其收斂歷史如圖7 所示，在經過17 次循環后，已滿足收斂準則。盡管循環開始時流固界面處空氣和銅的溫度差異很大，但在經過4次循環后兩者便快速接近，之后則緩慢趨于相等。

圖7 三維模型流固界面處溫度收斂歷史Fig.7 Temperature convergence records at the fluid-solid interface of the 3-D model

三維模型速度場、壓力場和溫度場的切面結果對比如圖8 所示，為便于比較，流體域取y* = 0 處平行于xz平面的切面，固體域取經過散熱器中心且平行于yz平面的切面。由圖可知三維模型PINN 預測的速度場出現更長更明顯的尾跡，但與二維模型相比NMAPE 的變化不大，這可能得益于壓力分布預測精度的改善（三維模型壓力的誤差明顯下降）。不同于二維模型，三維模型速度場預測精度的提高進一步降低了流體溫度的預測誤差，但是固體溫度的誤差則較為顯著。與此同時，固體溫度云圖直觀地表明了這一差異，其最大絕對誤差為2.12 K，這可能是三維結構更為復雜所導致的，但NMAPE 計算結果仍小于4%?？偟貋碚f，分區耦合PINN 求解真實場景下三維共軛傳熱已實現較好的精度，但還需深入的研究來進一步降低固體溫度的誤差。

圖8 三維模型結果對比Fig.8 Comparison of the results of the 3-D model

5 結 論

通過將分區耦合策略與PINN 相結合，本工作提出利用傳熱系數正向溫度反向法來構建共軛傳熱問題的分區耦合PINN 模型。同時，本工作基于真實物性體系，提出分區耦合PINN 模型的通用收斂準則和算法，克服了PINN 直接求解共軛傳熱的收斂難題。以共軛傳熱二維模型和三維模型分別探究了分區耦合PINN 的預測精度，模擬得出二維模型和三維模型的固體溫度最大絕對誤差分別為0.19 K和2.12 K，NMAPE值均小于4%。結果表明分區耦合PINN 是解決真實場景下共軛傳熱問題的有效方法，為共軛傳熱參數化代理模型的構建提供了理論指導。