以數學史為載體滲透數學文化

奚飛

摘? ? 要：數學教學的最終目標是落實核心素養，而數學文化是核心素養成長的基石.HPM視角下的數學教學實踐有利于增強學生學習數學的內驅力，使學生在回溯知識產生過程的同時加深對數學的理解，在感受數學文化魅力的同時發展理性思維.在教學中，教師可采用如下策略：利用數學史創設情境，激發學生的學習興趣;向學生展示數學史，讓學生理解所學知識在數學發展史上的地位和作用，促進學生的數學理解;對比數學史，拓寬學生的思維，讓學生在一題多解中串聯知識，發展數學素養;結合數學史中的小故事進行課堂教學，培養學生的科學精神，實現學科育人.

關鍵詞：HPM;數學史;初中數學;核心素養

1972年，在第二屆國際數學教育大會上，數學史與數學教學關系國際研究小組（簡稱HPM，也常被用來代稱數學史與數學教育領域）成立.HPM誕生之后，西方學者對數學史的教育價值進行了更為廣泛深入的探討，英國數學史家福韋爾總結了數學教學中運用數學史的15條理由，如：增加學生的學習動機;改變學生的數學觀;有助于學生保持對數學的興趣;給予數學以人文的一面;有助于解釋數學在社會中的作用;介紹概念如何發展，有助于學生對概念的理解;通過古今方法對比，確立現代方法的價值等[1].

作為一門基礎性學科，初中數學對學生的成長有著重要的意義.但現實的數學教學往往重“技術”而輕“文化”.張奠宙等人指出：“數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中使得學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位和世俗的人情味.”[2]數學史是數學文化的重要組成部分，在數學教學中以數學史為載體滲透數學文化，能發揮學科育人價值，激發學生的學習興趣，拓展其思維，發展其數學素養.

一、激發學習興趣，實現樂學善學

興趣是最好的老師.學生一般都對歷史故事非常感興趣，因此，教師利用數學史創設情境，能調節課堂氣氛，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，使課堂生動有活力，實現樂學.此外，從知識到應用有時會比較突兀，這時，采用適合的數學歷史故事引入，就能將學生的思維與所學知識自然銜接，助力學生對所學知識的理解與掌握，實現善學.

案例1? ?浙教版義務教育教科書《數學》（以下簡稱“浙教版教材”）八年級上冊中《三角形全等的判定》的教學目標之一是“理解角平分線的性質定理”.這是三角形全等判定定理的運用.在學完判定定理后直接運用，是一種常見的處理方式.而在HPM視角下，判定定理的理解與運用之后，筆者講述歷史故事.

師：我們中國是文明古國.在非洲北部也有一個文明古國埃及，埃及的幾何學起源于尼羅河泛濫后土地的重新分配和測量.有這樣一件事：有兩個農戶分別有甲、乙兩塊地在尼羅河南岸（圖略），兩塊地與河岸之間有一塊淤積地，他們想把這塊淤積地給分了，但他們算不出這塊淤積地的面積，怎么樣都找不到一個讓兩個人都滿意的分法，最后只有去找當地的法官來評判，這名法官對數學很有研究，很快就想出了令兩個人都滿意的分法.

師：同學們，如果你是法官，你會怎么分？

課堂氣氛被點燃，學生積極討論，動手操作，給出4種分法.在前兩種分法中，邊界上的點都是中點，但不能保證面積平分;第三種看似平分，但也不能讓人信服;第四種采用角平分線，這樣分界線上的任意位置到甲、乙邊界的距離都是一樣的.

師：（對第四種分法學生）你太棒了！你和法官的判決一模一樣，兩人確實按照法官的方式分了，而且都滿意.那么，同學們，角平分線上的點到角兩邊的距離是真的都相等嗎？

筆者以提問引導學生對猜想進行證明，學生在探究、證明的過程中就自然地運用了所學的新知識.

教學建議：教師可在教學新知識點前，先去查閱與這個知識有關的史料，然后采用學生喜歡的形式與課堂有機結合.比如教學“二元一次方程組”時，可講述“雞兔同籠”或“康熙皇帝巧解牛馬價”等故事，讓學生學方程組變得有趣;又如教學“物體位置的確定”時，可制作微課介紹“解析幾何之父”笛卡爾夢見蚊蠅的移動，夢醒之后豁然開朗，發明了解析幾何.在數學教學的激趣環節融入HPM，能在更宏大更深刻的視野下引領學生走進數學殿堂.

二、掌握概念符號，促進數學理解

數學學習中，學生會接觸到許多概念、符號.很多教師不解釋這些概念和符號來源于哪里、其發展歷史是怎樣的，僅從特征去解釋教學，或者讓學生“死記硬背”.這樣學生就不能真正理解這些概念和符號，于是在解決問題的過程中就會出現困難，乃至演變成學習數學的困難.向學生展示數學史，不僅能解釋一些概念或符號產生的歷史，而且能讓學生理解所學知識在數學發展史上的地位和作用，促進學生對整個數學有宏觀的認識，幫助學生突破認知障礙，從而理解數學.

案例2? ?教學有理數的概念時，有學生問：“老師，為什么大多數的質數是奇數，大多數的偶數是合數，唯獨2這個質數是偶數？”筆者還未回答，同學們就紛紛發表自己的觀點了.

生1：這個是古代數學家們定好的，我們只要記住就行！

生2：這只是湊巧而已，不需要去理解它.

生3：因為2是最小的正偶數，因數只有1和本身，而其他的偶數除了1和本身之外一定還有其他因數，所以只有2這個質數是偶數.

……

學生有疑惑，教師就必須解決.消除疑惑有助于理解數學，學好數學.這是一個絕佳的向學生展示數學史的機會.

師：同學們，你們都發表了自己的想法，但你們的表述還不能解決他對這個問題的疑惑.今天就給大家講講質數和合數的由來.在古希臘時期，開始只有整數，而整數都可以用點來計數，而點又可以擺成各種圖案，聰明的古希臘數學家發現用整數點可以擺成直線和方形，由此可見古人有多么厲害.這很容易理解：數1不能擺成直線和方形，它只是一個點，所以1既不是質數也不是合數;像2，3，5，7等數字，只能擺成直線，叫作質數;其他的數既能擺成直線又能擺成方形，就叫作合數.

生：哇！原來是這樣，這太有趣了，我們對質數和合數又有了進一步的理解.

案例3? ?在七年級數學中，整數和分數統稱為有理數，無限不循環小數叫作無理數，對此學生表示很不理解.

生：老師，難道有理數就是有道理的數？為什么叫有道理的數？

教學中不能讓這些疑問留在學生心里，而打開心結則需要借助數學史，來理解有理數這個名詞的來源.

師：“有理數”這一概念源自歐幾里德的《幾何原本》，希臘文是“λογο?”，原意是“成比例的數”.英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構成形容詞，全名為rational number，直譯成漢語就是“可比數”.“無理數”就是“不可比的數”.在中國明朝時，《幾何原本》傳入中國，明朝數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》時，將這個詞譯為“理”，這個“理”指的是“比值”.

生：我們中國的翻譯沒有問題，那為什么會是現在這樣呢？

師：聽我接著講，日本在明治維新以前，歐美數學典籍的譯本多采用我們中國文言文的譯本，日本學者就將我們的翻譯直譯成了有道理的“理”了，沒有“比值”的意思了，后來慢慢地直接用錯誤的理解翻譯成了“有理數”和“無理數”.清朝末期，政府派留學生到日本，又將這兩個名詞帶回中國.一直就這樣延續錯誤，以至于現在中國和日本都采用“有理數”的說法.

生：這叫將錯就錯啊，但我們理解了什么是“有理數”.

教學建議：在教學中出現一些讓學生難以理解的名詞時，我們要允許學生質疑，不能讓他們死記硬背，而應該去查閱史料，弄清概念產生的歷史，將之與課堂有機融合.比如說，勾股定理中的勾和股是什么意思？三角函數為什么叫正弦、余弦（余弦其實是“余角的正弦”的簡稱）、正切？此外，有些符號也會讓學生感覺很奇怪，不符合學生的認知，比如“根號”，讓學生經歷“[]”的發展歷史，他們就能理解根號了.概念是思維的細胞.只有理解概念或符號，才能理解數學，發展數學素養.

三、拓寬思維空間，發展數學素養

數學教學的目標是培養學生的數學思維，發展數學素養.教學中運用素材加強對學生思維的培養，方法的對比與提煉尤為重要.

（一）古今對比，拓寬思維

數學發展到現在，很多方法經過提煉，具有一定的模式和步驟，但有些時候現代的方法學生反而不太容易掌握，這時候我們就需要去思考為什么會這樣，是不是可以追本溯源，看看古時候是怎么做的.通過古今對比，學生可以對不同的方法進行比較，從而選擇適合自己的方法.此外，通過一題多解也能拓寬學生的思維，不會把學生按固定的方法教“死”.可見，以史為泉，能澆灌學生思維之花.

案例4? ?HPM視角下的浙教版教材七年級下冊中《分式方程》的教學片段.

在引入分式方程的概念之后是分式方程的解法教學，筆者出示例題“解方程：①[x+32x-4=34];②[2x-2-4xx2-4=0]”.旨在通過解題歸納出解分式方程的一般步驟及注意點.解分式方程的關鍵是通過去分母轉化為整式方程來解，這兩個方程的區別是：第一個方程有解;第二個方程有增根，是無解的.

學生存在的問題有兩個：一個是解分式方程比較復雜，去分母時易漏乘，解不對方程;另一個是分式方程易產生增根，學生會忘記檢驗，導致出錯.

生：老師，解分式方程時經常會不小心出錯，怎么辦？

師：解分式方程需要按照步驟仔細求解，要明確有哪些步驟，每一步會出現什么樣的錯誤，都要做到心中有數，這樣才能保證正確.

生：老師，我會忘記驗根的！

師：為了幫助同學們解決這個問題，我再教你們一個解方程的方法，這不是我的原創，是古時候的解法，以第二個方程為例，我來展示一下，大家可以比較一下方法的優劣.

[2（x+2）（x-2）（x+2） -4x（x-2）（x+2） = 0]，

即[-2（x-2）（x+2）（x-2）=0]，也即[-2x+2=0]，這不成立，所以原方程無解.

生：哇，這方法太好了，解分式方程只要掌握了分式的加減運算就可以了，不用擔心漏乘，不用擔心增根問題.

（二）另類方法，促進思考

一題多解向來都是數學教學的常見形式.一題多解屬于發散性思維，教師要鼓勵學生嘗試一題多解，促進學生多角度思考問題.通過一題多解，學生能夠串聯知識，發展并提升創新思維能力.HPM視角下的課堂，不只是知識的探究與運用，而是將所學知識與歷史相結合，讓學生與古人一起探討.學生經歷知識的產生過程后，就會賦予數學知識生機，促成思維能力的發展.

案例5? ?《三角形的中位線》在浙教版教材中安排在八年級學完“平行四邊形的性質與判定”之后.教材這樣安排，是因為中位線性質定理的證明需要用平行四邊形的性質.但對于學生而言，學完平行四邊形之后突然轉到三角形的中位線就很突兀，因此，筆者追溯中位線的歷史，以HPM視角來設計教學.

情境引入：幾何來源于生活中的土地分割，古代巴比倫有四兄弟要平分一塊三角形土地，你有哪些分法？

學生有如圖1-1，1-2的分法，主要利用了三角形中線的性質，符合學生的認知特點.筆者出示圖1-3，剪下四個小三角形，通過疊合法會發現這四個小三角形全等，不難猜想得出[EF//BC]，[EF=12BC]，從而給出中位線的定義.

分析：對性質的證明，學生基本是構造平行四邊形，如圖1-4，延長[DE]至點[F]，使[EF=DE]，連結[CF]，證得[?BDFC]，繼而證得[DE//BC]，[DE=12BC].證明的方法有很多，這是因為學生剛學過平行四邊形，正處于最近發展區.

為了拓展學生思維，筆者介紹歷史上的三角形中位線定理的證明方法，其一是根據《幾何原本》中的一個命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行于三角形的底邊.”[3]

如圖2，[△ABC]中[D]、[E]分別是[AB]、[AC]的中點，連接[BE]、[CD]，

∵[AD=BD， AE=CE]，

∴[S△ADE=S△BDE， S△ADE=S△CDE]，

即[S△BDE=S△CDE].

∴[DE//BC]（由兩個三角形同底，得到等高）.

∵[S△BDE=12S△ABE=12S△BCE]，

又∵[△BDE]和[△BCE]的高相等.

∴[DE=12BC].

這個方法從三角形自己的中線角度出發，更容易讓學生接受.

另一個方法是我國古代數學家劉徽利用割補法推導三角形的面積公式：連接三角形兩邊中點，得到中位線，過頂點作中位線的垂線段，將中位線上方的兩個直角三角形旋轉至原三角形兩側，可以證明得到的是長方形，長方形的面積等于原三角形的面積，長方形的高等于原三角形高的一半，所以三角形的面積等于底乘以高的一半;由得到的是長方形可知對邊平行且相等，很快就可得出中位線平行于底邊且等于底邊的一半.

教學建議：在學習一些重要知識的時候，我們可以古今對比，引發思考.比如乘法公式的圖形研究，一元二次方程的古代解法，勾股定理的證明，等等.通過對比，學生不僅會加深對知識的理解，還能發現不一樣的解法.多種解法能夠促進學生思維的靈活性，古今對比能讓學生感受思維的辯證性.

四、培養科學精神，實現學科育人

每個學科不僅具有自己的符號表達、知識體系和思維方式，也都有自己內含的價值性和道德意義，是世界觀、人生觀和價值觀的構成因素[4].因此，數學中也蘊含著巨大的德育資源，在育人方面有著重要的作用.數學的歷史發展當中有很多好的素材，可以幫助我們培養學生的優秀品質，比如明辨是非的能力、不畏挫折堅持真理的品質、不拋棄不放棄的精神、學會質疑、勇于創新等.從某種程度上說，這些品質比知識本身更重要.

案例6? ?HPM視角下浙教版教材七年級上冊中《實數》的教學實踐.

在引入[2]并探究[2]不是有理數后，筆者告知學生：同學們，數學的發展之路也是經歷了坎坷的，數學史上有三次危機，第一次危機就是“無理數的產生”.

生：這還會有危機??？老師給我們講講吧.

師：古希臘大數學家畢達哥拉斯的學生希帕索斯在研究直角三角形的邊長之間的關系時，發現直角邊為1和1的斜邊不是一個可以用整數比來衡量的數，他把它稱為不可比的數，但畢達哥拉斯不承認這種新數.畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物都是可以用整數和整數的比來衡量的，希帕索斯的發現無疑是一個驚天雷，人們都不相信他.為此，希帕索斯在當時受到了不公的待遇，但他還是堅持，后來還證明了無理數的存在.

師：同學們，希帕索斯這種不畏權威、敢于堅持真理的品質非常值得我們學習.

案例7? ?對浙教版教材七年級上冊中的《用字母表示數》，很多教師覺得奇怪，這么簡單的知識有些學生就是學不好.但如果我們去研究數學史，就會發現其實學生已經很厲害了.公元前1700年古巴比倫人開始用文字來表示方程，這可以說是“文字代數”.之后過了大約2000年，丟番圖在其《算術》中首次用“[?]”來表示未知數，他也只是表示一個數，并不知道用字母來表示任何數，這可稱為“縮略代數”，我們中國宋元時期的“天元術”也屬于這個范疇.又經過了大約1300年，韋達在《分析引論》中使用字母表示任何數，出現了“字母代數”，實現了歷史的突破.[5]字母表示數從無到有經歷了3000多年，這是多么漫長的一個過程，而學生要在一兩節課或一個星期掌握這個知識，出現困難是很正常的.

教學建議：在備課時，教師除了組織教學外，還需要思考這節課有沒有可以體現育人功能的素材及其如何與課堂教學有機結合，是否有跟所學知識有關的小故事及其能否融入課堂、發揮育人價值.中國有很多數學史故事，這不僅能讓學生感受到祖國的偉大，增強愛國情感，還能進而達成學科育人的宏愿.

數學史是數學教學不可多得的優質資源.HPM視角下的數學教學實踐的價值應該遠不止這些，值得我們繼續探索.在教學中，教師應該根據所教的知識選取合適的史料并加工，采用教師講述、學生閱讀、網絡搜索、制作微視頻等學生喜聞樂見的方式適時融入課堂，使數學史與數學教育有機結合.實踐HPM視角下的教學，一方面能夠創設有文化的課堂，提高課堂效率，激發學生的學習熱情，發展學生的數學核心素養，實現素質教育.另一方面，它也讓教師知識變得淵博，專業能力不斷成長.因此，HPM能讓教師和學生教學相長，實現共同進步，值得進一步探索. [□][◢]

參考文獻：

[1]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017：16-19.

[2]張奠宙，梁紹君，金家梁.數學文化的一些新視角[J].數學教育學報，2003（1）：37-40.

[3]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，2003：153-154.

[4]余文森.核心素養導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017：116.

[5]汪曉勤.數學文化透視[M].上海：上?？茖W技術出版社，2013：242-246.