雙變量不等式證明的多角度思考

鐘國城

(廣東省梅縣東山中學，514017)

雙變量不等式證明是高考數學的難點內容,往往以解答題中壓軸題的形式出現.這類問題全面考查學生探究與解決問題的能力,重點考查學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養,以及化歸與轉化、分類討論等重要數學思想.這類問題難度較大,求解方法多樣,但解決問題的關鍵就是消元(換元),轉化為單變量不等式進行求解.本文通過分析相關高考試題,總結此類問題的求解策略,以期對大家有所幫助.

角度1利用雙變量之間的關系消元

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

解(1)略.

評注第(2)問由x1,x2是f′(x)的兩個零點,得x1,x2為一元二次方程的根,故利用根與系數的關系得x1x2=1,為消元轉化為單變量不等式的證明提供了便利,使問題順利獲解.

角度2利用雙變量函數值之間的關系消元

例2(2016年全國高考題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

解(1)f′(x)=(x-1)(ex+2a).

當a=0時,f(x)=(x-2)ex只有一個零點,不合題意.

當a<0時,令f′(x)=0,得x1=1,x2=ln(-2a).

當a>0時,易見f(x)在(-∞,1)單調減,在(1,+∞)單調增.又f(1)=-e<0,f(2)=a>0,故f(x)在(1,+∞)有一個零點.

綜上,a的取值范圍是(0,+∞).

(2)不妨設x1f(2-x2).

又f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2-x2)等價于f(x2)>f(2-x2),即f(x2)-f(2-x2)>0.

令g(x)=f(x)-f(2-x),x>1,則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=(x-1)(ex-e2-x)>0,g(x)在(1,+∞)單調增.又因為g(1)=0,故g(x)>0,可得f(x2)-f(2-x2)>0,從而x1+x2<2.

評注第(2)問是雙變量不等式證明問題,首先將要證的式子轉化為f(x1)>f(2-x2),再利用f(x1)=f(x2)轉化為證明f(x2)>f(2-x2),即可達到消元轉化為單變量不等式的證明,由此構造相應函數,降低問題的求解難度.

角度3對雙變量整體換元

例3同例1.

綜上,得證.

角度4利用同構消元

評注本題涉及雙變量的同時,還帶有另外的參數,看似求解困難,但將要證式子轉化為f(x1)+x1

角度5利用主元法消元

例5(2020年天津高考題)已知函數f(x)=x3+klnx,f′(x)為f(x)的導函數.當k≥-3時,求證:對任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有

評注本解答視x1為自變量x,構造以x為主元的函數g(x),且注意到g(x2)=0,因此只需證明g(x)>g(x2).由此將雙變量不等式轉化為單變量不等式,問題的難點得以突破.