行人荷載作用下鋼木組合人行橋結構時變頻率識別及變化規律研究

彭佳敏，劉景良，2，陳飛宇，鄭文婷 ,盛 葉，2，駱勇鵬，2

（1.福建農林大學 交通與土木工程學院，福州 350108；2.福建農林大學“數字福建”智能交通技術物聯網實驗室，福州 350108；3.福建工程學院 土木工程學院，福州 350118）

近年來，鋼木組合結構由于良好的力學性能和綠色可持續性獲得了廣泛關注，且已應用于中等跨徑橋梁等領域。雖然針對組合結構已出現不少設計指南和規范，但是其關注焦點主要是靜態設計，即使涉及到動態設計也僅局限于結構基頻[1]。目前，針對該種結構開展的振動舒適度設計和動力特性(固有頻率、阻尼比、模態質量和模態振型)研究并不多見，故有必要對這一領域開展更深入研究。

在細長的輕質阻尼結構中，人-結構相互作用(Human-Structure Interaction，HSI)顯著影響結構的動力特性[2]。如朱前坤等[3]的試驗結果表明：考慮行人-結構豎向動力耦合效應，人行橋自振頻率略有減小，阻尼比顯著增加。因此，為避免由HSI引發的災難性事故，在人行橋的結構設計和安全性評估中考慮人對系統頻率和阻尼的影響是合理的。然而，許多現行設計規范都忽略了HSI現象。如某些設計規范采用的移動荷載(Moving Force，MF)模型沒有考慮行人和橋之間的相互作用，從而導致振動響應被高估[4]。實際上，僅將行人視為移動荷載而不是作為動力系統來考慮的做法無法解釋行人對結構動力特性的影響[5]。為此，Zhang 等[6]對實驗室中的人行橋進行了人橋相互作用測試，然后將人行橋步行試驗結果與彈簧-質量-阻尼器(Spring-Mass-Damper,SMD)模型模擬結果進行對比，最終計算出行人的質量、阻尼和剛度參數。Ahmadi 等[4,7]采用SMD 模型建立了行人質量、阻尼和剛度與橋之間的耦合模型。他們雖然得出了單自由度橋梁受行人影響的動力特性變化曲線，但是因其采用的SMD 模型是通過彈簧-阻尼器將人體質量與橋梁直接耦合，并未通過接觸模擬橋對人體質量的支撐，故無法模擬出HSI 真實性。為此，Jiménez-Alonso等[8]提出把人體質量分為簧載質量和非簧載質量兩個部分，并通過彈簧阻尼器進行連接，最終得到簡化的站姿人體動力學模型，而該模型足夠簡單也足以表征行人的生物力學特性?；诖?，本文中的行人有限元模型將采用Jiménez-Alonso提出的人體動力學模型來模擬。

當人在人行橋上勻速行走或者近似勻速行走時，結構的頻率是時變的，可以通過瞬時頻率(Instantaneous Frequency，IF)這一模態特性來追蹤HSI 系統的固有頻率變化情況。Daubechies 等[9]提出的同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing Wavelet Transform，SWT)將小波變換和時頻重分配方法相結合，雖然獲得了更好的頻率分辨率，但是并沒有提高時間分辨率。此外，成功應用SWT進行瞬時頻率識別的前提條件是：目標信號是漸近的且各分量信號模態頻率并不密集，而鋼木組合人行橋的振動響應信號極有可能是非漸近和模態密集信號，這使SWT對其并不適用[10]。為此，Liu等[11]提出一種識別結構瞬時頻率的聯合方法(Combined Method，CM)。該方法是拓展解析模態分解(Analytical Mode Decomposition，AMD)、遞歸希爾伯特變換(Recursive Hilbert Transform，RHT)和變焦同步擠壓小波變換 (Zoom Synchrosqueezing Wavelet Transform，ZSWT)的聯合。相比SWT，CM 方法能夠識別模態密集的非漸近信號，不僅突破了SWT的原有限制條件，而且能夠在研究人員感興趣的某個特定區域同時獲得良好的時間和頻率分辨率。

本文通過ABAQUS 建立了行人與鋼木組合人行橋耦合的有限元模型，然后采用上述的聯合方法分別對單人和人群作用下的該人行橋進行瞬時頻率識別。研究結果表明：建立的人橋耦合模型實現了人-橋相互作用的模擬；相比AMD+SWT 方法，聯合方法能夠更精確識別行人導致的結構固有頻率變化趨勢。通過對不同跨徑的鋼木組合人行橋進行數值模擬，評估了各項人體參數對HSI 系統固有頻率的影響，最終分別擬合出在單人和人群激勵下HSI 系統的理論頻率變化公式，這為人行橋設計與維護工作提供了一定的參考。

1 基本理論

1.1 人-橋耦合模型

雖然人體的機械特性使得系統的動力特性發生了改變，但是SMD模型的提出很好地解釋了人體與結構質量、阻尼和剛度的耦合[8]。然而，Zhang等[6]指出：在人橋耦合系統中人體很可能不僅是附加的質量和阻尼，而是作為一個獨立的動力系統依附于結構。為此，Jiménez-Alonso等[8]提出了人-橋耦合系統模型。該模型是根據人體模型與橋梁之間的動力學平衡方程提出的，其中人體模型由簧載質量ma和非簧載質量ms組成，然后將其通過彈簧阻尼器連接，如圖1所示。

圖1 行人與橋相互作用模型

在僅關注垂直方向耦合作用的前提條件下，分別考慮HSI 系統、橋和人體模型的平衡，得到如式(1)、式(2)和式(3)所示的耦合方程。

式中：za和zs分別是簧載和非簧載質量的垂直絕對位移；kp是行人的剛度；cp是行人的阻尼；Fp,v是行走的垂直荷載；Fint是行人與橋之間的相互作用力；Mi、Ci和Ki分別代表i階振型的模態質量、模態阻尼和模態剛度；?i為i階振型的垂直分量；xp=vpt是行人沿縱橋向行進的距離，而vp則代表行人的縱橋向速度。

將式(3)代入式(1)可得：

然后，將結構與人體模型之間的位移、速度和加速度協調方程應用于人與橋的接觸點，得：

上述這些量可通過橋梁豎向位移zi(t)和振型函數的垂直分量?i(x)表示。在忽略行人速度隨時間變化(勻速運動)的情況下，w(xp,t)可表示為：

然后，將式(5)至式(10)代入式(1)至式(3)，并以矩陣形式表示人橋耦合模型，得：

式中：M、C和K分別代表HSI系統的質量、阻尼和剛度矩陣。

由式(11)可知：當行人在橋梁上行走時，HSI 系統的質量、剛度和阻尼矩陣均會隨行人位置的移動而發生變化。因此，對式(11)進行特征值分析可獲得HSI系統的頻率變化趨勢及規律。

1.2 聯合方法

聯合方法結合了拓展AMD定理、RHT和ZSWT技術。具體來說，首先采用拓展AMD定理將多分量信號分解成若干個單分量信號；然后，采用RHT 算法將分解后的單分量信號解調為漸近信號或純調頻信號。最后，采用ZSWT 算法對解調后的信號進行處理即可在特定區域內同時獲得較高的時間分辨率和頻率分辨率[11]。

準確識別行人荷載作用下的人行橋結構瞬時頻率等時變模態參數首要解決的一個問題就是如何將非平穩的多分量響應信號有效地分解成多個單分量信號。雖然AMD是一個行之有效的信號分解方法，但是其截止頻率是通過傅里葉頻譜圖的峰值人為選取，既是一個恒定值但也具有主觀特性[12]。相比AMD，拓展AMD 定理不再選取一個恒定的截止頻率，轉而采用SWT提取兩個相鄰分量信號的瞬時頻率，然后選取瞬時頻率的平均值作為拓展AMD的時變截止頻率，最終成功分離響應信號的各階分量[11]。

然而，通過拓展AMD分解得到的單分量信號屬于調幅調頻信號而非漸近信號或純調頻信號。當幅值變化率沒有遠小于相位變化率時，單分量信號幅值的變化將影響到瞬時頻率等模態參數的提取。因此，對分解后的分量信號進行解調的重要性凸顯出來。希爾伯特變換是一種常用的信號解調方法，但是在原始信號不滿足Bedrosian乘積定理時，通過該算法構造解析信號可能會產生較大的誤差，而RHT很好地解決了這一問題[11]。該方法是以上一步希爾伯特變換計算出的調幅調頻信號作為新的初始信號，然后遞歸地使用希爾伯特變換進行信號解調并逐步減少誤差，直至新的信號可近似為漸近信號或純調頻信號。

通過解調過程得到漸近信號或純調頻信號之后，需進行瞬時模態參數的提取，而瞬時頻率識別是其中一個關鍵問題。雖然SWT 算法通過重組小波變換后的時頻圖能夠獲得較高頻率精度的時頻曲線，但是其只能處理信號頻率不變時尺度方向的擴散，對于時間維度上的擴散無能為力。相對而言，ZSWT 很好地解決了這一問題，因為其包含頻移變換和局部變焦同步擠壓操作兩個步驟。

首先，頻移變換是將純調頻信號的IF 從低頻區域移到高頻區域，以便具有更好的時間分辨率。以純調頻信號xN(t)為例，其頻移變換定義為：

式中：f0為預先設定的頻移頻率。

式 中：ω(a,b)為信號xN(t)的瞬時頻率，而ω0=2πf0。ω(a,b)可以由ω*(a,b)減去ω0獲得，而ω*(a,b)將通過下一步的變焦同步擠壓來估計。為獲得更好的時間分辨率，信號xN(t)的中心頻率將被移到更高的頻率區域，因此在這里僅考慮正向頻移變換(f0>0)。

其次，為了改善相關頻率范圍內的頻率分辨率，對經頻移變換變換后的信號進行局部變焦同步擠壓。針對關注的頻率區間[fm,fM]，定義兩個中間變量lfm和lfM為：

然后，將CM的離散頻率序列指定為：

式中：k代表關注區間[fm,fM]內離散頻率點的數量。

因此，對應的離散角頻率序列則表示為：

在得到ωis(l)序列后，采用ωis(l)代替SWT 中的連續變量ω(l)，可得離散形式的Tx，如式(17)所示。

通過計算Tx在時頻面上曲線能量泛函的最大值，即可提取上述純調頻單分量信號的瞬時頻率曲線。更多有關CM 和SWT 算法的詳細信息參見文獻[11]。

2 數值算例驗證

2.1 鋼木組合人行橋有限元模型

采用ABAQUS建立如圖2所示的鋼木組合人行橋有限元模型，其中，對于木面板采用8節點線性減縮積分單元(C3D8R)，對于鋼梁采用4節點曲殼單元(S4R)，并通過綁定約束使該二者間具有良好的接觸性能。

圖2 鋼木組合人行橋有限元模型

該組合人行橋由膠合木面板和兩根鋼梁構成，其中膠合木板采用正交各向異性材料，其橫截面尺寸為100 mm×800 mm，密度為5.143 ×102kg/m3，彈性模量E、剪切模量G以及泊松比μ等材料參數根據文獻[13]選取，詳見表1。其中，L、R、T分別代表木纖維方向、木材的徑向和弦向。H 型鋼梁型號為HN250×125，梁高度為250 mm，腹板厚度為6 mm，翼緣寬度和厚度分別為125 mm 和9 mm，其材料參數詳見表2。膠合木板與鋼梁之間采用螺栓連接，采用連接器單元對其進行有限元模擬。沿縱橋向每隔380 mm 設置一組螺栓，其預緊力設定為10 kN。鋼材與木材之間的摩擦系數設為0.3。

表1 膠合木面板材料參數

表2 鋼梁材料參數

2.2 連續行走荷載模型

采用傅里葉級數近似表示人行荷載[14]，即：

式中：Fp,v(t)表示行走過程中產生的豎向荷載(N)；W表示體重(N)；fp表示步頻(Hz)；αvi表示豎向荷載的第i階諧波的動載因子；φvi表示豎向荷載的第i階諧波的初始相位，在本文中均設為零。根據?ivanovi?等[15]統計的體重均值，本次模擬中選取行人的體重為750 N(質量為76.45 kg)，步頻設為1.96 Hz。其中，動載因子也是根據?ivanovi? 提出的5 階諧波的動載因子取值[14]，如式(19)所示。最終模擬的連續步行激勵荷載曲線如圖3所示。

圖3 連續步行激勵荷載曲線

在實際建模時，首先以采用彈簧阻尼器連接的兩個質量塊表示人體模型，然后通過修改密度的方式定義簧載質量與非簧載質量。根據文獻[8]，簧載質量和非簧載質量分別占整體質量的90%和10%。由于只考慮豎向力，將質量塊與橋面之間的摩擦系數設為0。同時，通過設置邊界條件設定人體模型以1 m/s沿縱橋方向勻速行進。

實際中，真實人行荷載應是人體質量在重力加速度作用下產生的豎向荷載。而以往的人行荷載有限元模型[5,16]是僅在結構上直接施加移動集中力而忽略了真實人行荷載。因此，本文通過改變施加于人體模型上的豎向加速度Ap而非直接施加移動集中力來對鋼木組合人行橋模型施加連續步行激勵。根據牛頓第二定律和式(18)，最終施加于人體模型的豎向加速度如式(20)和圖4所示。需要指出是：本文在定義ABAQUS 中的分析步時選用通用分析步中的隱式動力分析類型。然后，將隱式動力分析步中默認施加的重力加速度(9.81 m/s2)替換為式(20)中的豎向加速度Ap。最后，通過隱式動力分析來分析計算鋼木組合人行橋的加速度響應。

圖4 施加于人體模型的豎向加速度

2.3 單人-鋼木組合人行橋耦合模型

首先，建立7 m長的單跨鋼木組合人行橋模型，根據文獻[7]選取行人的剛度為14.11 kN/m，阻尼系數為612.5 N?s/m。一般來說，當行人在橋面行進時，行人與橋面之間會發生接觸但不會產生凹陷融合(穿刺)的現象。因此，本文采用硬接觸而非軟接觸的形式來定義行人與人行橋的法向屬性。在此之后，對上述人行橋進行模態分析，得其空載狀態下的1階豎向彎曲模態頻率為18.01 Hz，如圖5所示。

圖5 鋼木組合人行橋1階豎向彎曲模態

然后，設定時間間隔為2 ms，對組合人行橋進行隱式動力分析，提取人行橋跨中位置木面板邊緣的加速度響應信號(見圖6(a))。從圖6(a)可以發現：行人進入人行橋時產生了較大的沖擊，特別是當行人前進到跨中位置時達到峰值。接著以Morlet小波為母函數，選取參數σ=2 π，對響應信號進行連續小波變換得到小波量圖(見圖7)。由圖7 可知：豎向彎曲模態頻率在18.01 Hz 附近發生了明顯的變化，這說明各階模態中受行人影響變化最大的為豎向彎曲模態。此外，圖7 中3 Hz～10 Hz 范圍內出現了4 個高亮區域，對應4 個不同激勵頻率的振動分量。產生這種現象的原因是：通過傅里葉級數表示的連續步行荷載由5 階諧波疊加而成，并以步頻fp=1.96 Hz為間隔。因此，除了在1.96 Hz附近位置識別出行人的步頻外，在3 Hz～10 Hz的范圍內也識別出了4個諧波分量的時頻代表值。圖6(b)為加速度響應的幅值變化率。對比圖6(b)和圖7可知：振幅的變化率并不遠低于相位的變化率(頻率為15 Hz～20 Hz)，這表明單人加載工況下鋼木組合人行橋模型的響應信號是非漸近信號，并不滿足SWT 算法的前提條件，因此采用CM方法識別瞬時頻率是合適的。

圖6 單人加載下鋼木組合人行橋響應

圖7 單人加載工況下鋼木組合人行橋響應小波量圖

由于結構的頻率與質量的分布是關聯的[17]，為獲得人行橋的固有頻率曲線理論值，本文采用了附加移動質量法[18]，具體過程如圖8 所示。首先，在橋x1位置附加質量m，對人行橋進行模態分析，獲得豎向彎曲模態的頻率，記為ω1；然后將附加質量m移動到x2位置，對人行橋再次進行模態分析，將頻率記為ω2；以此類推，在橋xn位置附加質量m時，獲得對應的頻率ωn。本文設定每次移動的距離恒為700 mm，獲得一系列離散頻率值之后進行三次多項式插值，最終得到如圖9中紅色實線所示的理論固有頻率曲線，而圖中的黑色虛線為采用CM 方法識別的瞬時頻率結果。此外，本文也采用AMD 與SWT 相結合的方法(AMD+SWT)對人行橋結構進行瞬時頻率識別，其結果如圖9中的青色點劃線所示。

圖8 附加移動質量示意圖

圖9 單人加載工況下鋼木組合人行橋響應瞬時頻率識別結果

由圖9 可知：鋼木組合人行橋固有頻率隨著行人前進而逐漸減小，當行人位于跨中處時固有頻率降至最低點，隨后固有頻率逐漸增加直至行人離開人行橋時達到空橋時的頻率值。這一趨勢與Ahmadi 等通過結構動力學模型計算獲得的趨勢相符[4,7]。因此，本文建立的有限元模型能夠很好地考慮人對鋼木組合人行橋系統固有頻率的影響，而且采用的CM方法能夠有效追蹤人致橋梁振動響應信號的瞬時頻率。相比AMD+SWT 方法，采用CM 方法識別的結果不僅更接近理論值而且也更光滑，其識別效果明顯更佳。這一結果也驗證了Liu 等[11]的觀點，即針對非漸近信號，CM 方法不僅可以突破AMD+SWT 方法的限制，而且在特定范圍內可獲得更高的時頻分辨率。然而，CM 方法和AMD+SWT組合方法所識別的瞬時頻率曲線在兩端均出現了一定的偏差，究其原因是上述2 種方法本身存在端點效應。但從圖9 可以看出：除端點處識別值與理論值存在偏差，其他時刻識別值均接近理論值，故端點效應對鋼木組合人行橋的瞬時頻率識別有影響但影響效果有限，并不會從根本上改變其固有頻率的變化趨勢。

2.4 人群-鋼木組合人行橋耦合模型

為模擬人群-鋼木組合人行橋耦合模型，首先根據前文描述建立7 m 的單跨鋼木組合人行橋，并在橋兩端建立引橋且將其設置為剛體，然后在引橋上布置8 個人體模型來模擬人群，如圖10 所示。人體參數與前述的單人模型相同，假設每兩個相鄰行人間隙恒定為1 m，則人群完全通過人行橋需14 s。每個人體模型施加的豎向加速度的初始相位在0～2π區間范圍內隨機均勻分布。

圖10 人群加載工況下鋼木組合人行橋有限元模型

在人行橋跨中處的木面板邊緣處提取加速度響應信號，結果如圖11(a)所示。由圖11(a)可知：每個行人進入人行橋時都產生了較大的沖擊，直至大部分行人都位于橋上后才趨于穩定。選取Morlet小波為母函數，σ=2 π，對響應信號進行連續小波變換得到如圖12所示的小波量圖。

由圖12 可知：人行橋的1 階豎向彎曲模態同樣發生了顯著的變化，而且在1.96 Hz的位置識別出了行人的步頻。加速度響應信號的振幅變化率如圖11(b)所示。通過圖11(b)可知：人群荷載激勵下的鋼木組合人行橋的響應信號是非漸近的，因此采用CM是合適的。

圖11 人群加載工況下鋼木組合人行橋響應

圖12 人群加載工況下鋼木組合人行橋響應小波量圖

與單人-鋼木組合人行橋耦合模型類似，通過附加多個移動質量來獲得理論固有頻率曲線(圖13 紅色實線)。除此之外，圖13中的黑色虛線和青色點劃線分別是采用CM和AMD+SWT方法所識別的人行橋瞬時頻率結果。由圖13可知：由于人群進入人行橋時的沖擊作用，頻率識別值在相應位置會出現一定的失真。與AMD+SWT方法相比，人群激勵工況下采用CM方法識別的瞬時頻率值雖然更接近理論值，但是優勢并不明顯，這也是CM方法的局限性所在和未來需要改進的地方。對比圖9 與圖13 可知，相較于單人荷載，人群對鋼木組合人行橋結構系統的頻率影響更大，而且人群加載工況下頻率的變化趨勢與單人工況不同，表現為瞬時頻率曲線中部存在平緩段，其原因將在下一節進行闡述。

圖13 人群加載工況下鋼木組合人行橋響應瞬時頻率識別結果

3 參數分析

本節采用參數分析和傅里葉級數擬合兩種方法對在行人移動工況下HSI 系統頻率變化規律進行分析。

首先，建立7 m～12 m 跨徑的鋼木組合人行橋模型。將跨徑范圍定在7 m～12 m的主要原因是人行橋的豎向基頻要高于5 Hz 才不大可能出現人橋共振問題[19]。當豎向振動頻率小于5 Hz 時，需要驗算人行橋的人致振動舒適性[20]。因此，為滿足頻率限制和振動舒適度要求，僅對7 m～12 m 跨徑的鋼木組合人行橋進行參數分析。其次，通過更改人體參數來施加隨機人行荷載。其中，隨機人體參數根據參考文獻[21]選取，采用對數正態分布作為行人質量分布，均值和標準差分別設為76.45 kg 和15.68 kg，行人質量變化范圍為45.57 kg～145.34 kg。人行荷載的初相位在0～2π的區間內隨機均勻分布。行人的剛度和阻尼比也呈均勻分布，其中剛度變化范圍為9.436 kN/m～36 kN/m，而阻尼比變化范圍為0.2～0.6，即阻尼系數范圍為408.32 N ?s/m～1 224.95 N?s/m。

根據前文所述的隨機人體參數選取方法，對7 m～12 m 的鋼木組合人行橋施加10 組隨機單人步行荷載，其頻率識別結果如圖14所示。

其中，不同跨徑人行橋的頻率變化曲線通過不同的顏色表示，細虛線為通過CM 方法識別的10 組頻率變化曲線，藍色星形實線為10組識別結果的平均值，黑色圓形實線是對平均值曲線進行3 階傅里葉級數擬合得到的頻率變化曲線。由圖14(a)至圖14(f)可得：不同跨徑人行橋的頻率變化趨勢基本相同。任何周期函數均可以采用傅里葉級數進行擬合且階數越高則精度越高，因此初次擬合采用3 階傅里葉級數以獲得高精度的擬合效果。其中，1階幅值系數記為，而2 階及更高階的幅值系數趨近于零且遠小于，因此可以忽略。由于忽略了2 階及以上幅值系數，本文最終采用1 階傅里葉級數擬合單人激勵下的HSI系統瞬時頻率fs(t)，即：

圖14 隨機單人行走激勵下各跨徑鋼木組合人行橋響應頻率識別結果

式中：f1為1階豎彎模態頻率，Lb為橋梁長度，a1為頻率變化幅值系數，而頻率變化幅值定義為頻率變化曲線的最小值與f1之差的絕對值。

為確定式(21)中a1這一擬合參數，本文通過改變7 m跨徑的HSI 模型人體參數進行分析。標準工況下人體質量、剛度和阻尼系數分別為76.45 kg、14.11 kN/m、612.5 N?s/m，而其余工況則是根據上述人體參數分布區間單獨改變某一個變量(質量、剛度或阻尼)來實現。對各工況采用CM 方法進行頻率識別并擬合得到頻率變化曲線，然后據此求出其頻率變化幅值，結果詳見表3。

由表3可知：在人體參數分布的區間內，質量是影響頻率變化幅值的主要因素，這與文獻[22]的結論基本一致?；诖?，本文最終選擇質量作為擬合參數。根據各跨徑橋對應的幅值系數與人橋質量比這兩組數據，選取指數函數進行曲線擬合，得：

表3 頻率變化幅值表

式中：rm為人橋質量比，即rm=mp/mb，mp為行人質量，mb為橋梁的模態質量。

在確定a1的計算公式之后，根據式(21)計算得到的頻率變化曲線如圖14中的紅色菱形實線所示。由圖14 可知：對于不同跨徑的鋼木組合人行橋，根據式(21)計算得到的曲線與初次擬合的曲線十分接近。因此，本文提出的單人激勵下HSI 系統頻率變化公式足夠簡潔且準確性較高。

根據前面所述的隨機人體參數選取方法，對7 m～12 m 的鋼木組合人行橋施加10 組隨機人群步行荷載，其頻率識別結果如圖15所示。由圖15(a)至圖15(f)可知：隨著總長度為7 m的人群進入人行橋，HSI系統頻率總是在人群中心達到跨中位置時降低至最小值。不同于單人激勵下的HSI系統瞬時頻率曲線，人群激勵下的HSI 系統瞬時頻率曲線可能會存在一個平緩段。產生這種現象的主要原因是人群長度和橋梁跨徑之比在不斷變化。由于人群長度恒為7 m，當人行橋跨徑越小時，人群占據人行橋的范圍就越大，人橋耦合系統的瞬時頻率識別值就有越長的時間維持在最小值附近，即在頻率變化曲線上表現為平緩段，如圖15(a)至圖15(c)所示。相對而言，單個行人長度極短，行人長度和橋梁跨徑之比趨近于零，故單人行走激勵下的各跨徑鋼木組合人行橋頻率變化曲線基本不會出現平緩段。因此，本文在擬合人群荷載激勵下的HSI 系統的瞬時頻率時，不僅采用了反映人橋質量關系的1 階幅值系數a1，也采用了反映人群長度和橋梁跨徑關系的2階幅值系數a2，即人群激勵下的HSI 系統瞬時頻率fc(t)采用2階傅里葉級數來定義，如式(23)所示。

式中：a1=，rm為人橋質量比，即rm=mc/mb，mc為人群總質量；rl為人群與橋長度比，rl=lc/Lb，lc為人群總長，Lb為橋梁總長度。

根據式(23)計算得到的頻率變化曲線如圖15中的紅色菱形實線所示。

由圖15 可知：對于不同跨徑的鋼木組合人行橋，根據公式計算得到的曲線與根據平均值擬合得到的曲線很接近。本文提出的人群激勵下HSI系統頻率變化公式不僅簡潔而且準確性較高。然而，由于CM方法存在端點效應，圖14和圖15中隨機行人曲線和平均值曲線在端部出現不穩定現象。隨著鋼木組合人行橋跨徑增大，這種端部不穩定性也更加明顯。造成這種現象的原因是：隨著跨徑的增大，鋼木組合人行橋頻率及其變化范圍在變小，但是基于CM方法繪制的隨機行人激勵下鋼木組合人行橋的瞬時頻率識別值曲線和平均值曲線的端部偏差并未隨之減小，這就導致曲線端部的偏差范圍與鋼木組合人行橋頻率變化范圍的比值增大，從而凸顯了曲線端部的不穩定性。相對而言，本文提出的HSI 系統頻率變化公式一定程度上可以緩解端部不穩定現象。

圖15 隨機人群行走激勵下各跨徑鋼木組合人行橋響應頻率識別結果

根據圖14、圖15 和前述分析可知：隨著人行橋跨度增大，單人對HSI 系統固有頻率的影響逐漸變得微小，但人群作用的影響始終較大。因此，對行人流量較大的人行橋，需要在設計階段正確估計由于行人引起的動態特性變化，而本文提出的HSI 系統頻率變化公式能夠為人行橋的設計、維護等工作提供參考。需要指出的是：本文僅通過數值模擬手段對HSI 系統的頻率識別效果進行了驗證，有必要在后續研究中進行試驗和工程實例驗證。

4 結語

本文建立了行人與鋼木組合人行橋耦合的有限元模型，通過模擬單人和人群的行走分析了行人對HSI系統固有頻率產生的影響，主要結論如下：

(1)本文建立的HSI模型考慮了人體參數對HSI系統模態特性的影響，能夠很好地模擬行人與鋼木組合人行橋之間的相互作用。

(2) 采用CM 方法提取的時頻曲線能夠很好地表征行人引起的HSI 系統的頻率變化，并且比采用AMD+SWT 方法識別的瞬時頻率值更接近理論值，因而具有更高的時頻分辨率。

(3)人群作用對HSI系統的頻率變化影響較大，而在各項人體參數中，質量是最大的影響因素?；谌藰蛸|量比、人橋長度比擬合得到的HSI 系統頻率變化公式能夠為人行橋的設計與維護等工作提供參考。