注重數學建模思想培養 提升學生綜合素養

解小軍

江蘇省如皋市江安鎮濱江初級中學 226534

數學建模是數學學習的必備環節，通過從實際問題中抽象出數學模型，經過學習再應用到具體問題中去，實現數學學習的完整過程.數學建模的過程是講授數學知識的過程，更是滲透數學思想和方法的過程，引導學生通過觀察發現、分析猜想、理解驗證等進行探究學習，理解數學問題的本質，提升綜合素養.

在數學教學中建模思想的培養不到位，會讓學生陷入做題的題海戰術中，失去學習的樂趣，無法理解數學的本質.在數學學習過程中，部分學生感覺到數學艱澀難懂，即使學會了基礎概念，理解了教師講解的例題，似乎也難以應付試卷中的考題，更加難以解決生活中的具體問題，究其原因就在于他們沒有建立數學模型.數學模型的建立可以在學生解決問題的過程中，自覺地將數學模型與問題條件建立聯系，從而獲得解題路徑.

在“圓周角”一課的教學中，筆者從圓周角的定理出發，引導學生進行數學建模，構建“相同的弧所對的圓心角和圓周角度數之間的關系”，通過數學模型的建立使學生創造性地學習，將所學知識進行靈活運用，從而應用到實際問題中，并構建起自我的知識結構.

背景問題

如圖1所示，圓O中的兩個圓周角∠ACB和∠ADB，請測量兩個圓周角的大小，并比較它們的大小.通過變動點C的位置，這時圓周角在發生變化嗎？你發現了什么規律呢？

圖1

再量一量圓心角∠AOB的度數，你有什么新的發現嗎？

設計說明圓周角的數學建模過程，首先讓學生自主動手實踐，然后對實驗進行觀察和分析，通過已有的知識經驗進行猜想，最后進行驗證.

模型建立

（一）猜想模型

相同的弧所對的圓周角的度數相等，并且是這條弧所對的圓心角的度數的一半.

（二）驗證猜想

問題1：這個猜想里有兩個問題，你認為應該先證明相同的弧的圓周角相等，還是先證明相同的弧所對的圓周角與圓心角的數量關系，說一說你的理由.

生1：我認為應該先證明相同的弧所對的圓心角與圓周角之間的數量關系，因為變動C點將得到多個圓周角，但是圓心角只有一個.因此，如果圓周角與圓心角之間的數量關系不變，那么第一個猜想，相同的弧所對的圓周角的度數相等，自然就成立了.

設計說明通過設問讓學生進行邏輯的推理和判斷，明晰驗證的方向，解決主要矛盾并將問題進行分解，滲透了數學辯證法的思想.

問題2：變動C點將得到多個圓周角，為了能進行有效驗證，能否按照圓心與圓周角之間的位置關系進行分類，將圓周角分成幾種不同的情況？

生2：按照圓周角與圓心的關系可以分為三種情況，分別是圓心在圓周角的內部、外部和在圓周角的邊上.

設計說明通過問題2的設計，引導學生進行分類歸納，滲透數學分類思想.學生在分析歸納中確定研究的步驟和過程，知曉大概的研究路徑，會使驗證過程更加便捷.

問題3：圓心與圓周角的這三種情形，你打算先證明哪一種情形呢？說一說你的理由.

生3：我覺得先證明圓心在圓周角一條邊上的情形，因為這是一種特殊的情形，圓的直徑為AC，這種情形比較便于證明.

設計說明問題3的設計是確立首先研究的對象，從特殊的情況進行研究，進而再推廣到一般的情況，從而使驗證的目標更加清晰.

問題4：如圖2所示，若圓心在AC上（圓周角的一條邊），如何證明圓周角與圓心角的數量關系？

圖2

生4：圓周角的度數是圓心角的一半，那么我們可以利用等量轉化的思想，轉化為圓心角是圓周角的兩倍進行求證.

問題5：如圖3所示，當圓心在圓周角的里面，怎樣證明圓心角與圓周角的數量關系？

圖3

生5：剛才我們已經證明了圓心在圓周角的邊上時，相同的弧所對的圓心角與圓周角之間的關系，所以我們可以通過過圓周角的頂點作直徑CD，將圓心角在圓周角里面的情況轉化為圓心在圓周角邊上的情況進行證明.

問題6：如圖4所示，圓心O在圓周角的外面，如何證明相同的弧所對的圓心角與圓周角之間的關系？

圖4

生6：剛才圓心在圓周角的里面，我們通過一條輔助線進行了證明，當圓心在圓周角的外面時，我們還是通過這樣的方法，作一條過圓心的直徑CD，就將圓心與圓周角的位置轉換成了上述的情況，驗證方法自然就找到了.

設計說明從問題4到問題6，教師引導學生進行分類驗證，在推理驗證的過程中，滲透數學轉化的方法，通過轉化與化歸思想化繁為簡，進行數學驗證.

（三）建立模型

1.結論：根據剛才的驗證我們發現無論圓心在圓周角的邊上、內部還是外部，相同的弧所對的圓周角的度數都是圓心角的一半，因此相同的弧所對的圓周角相等.

2.問題：若兩個相同的圓或者兩個圓相等時，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角之間有什么樣的關系呢？兩個相同的圓或者兩個圓相等時，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓周角之間又有什么樣的關系呢？

3.圓周角定理：在相同的圓或者相等的圓中，相同的弧或者相等的弧所對的圓周角相等，圓周角的度數是相同的弧所對的圓心角的一半.

模型應用

數學模型建立之后，還要通過具體的問題進行模型的應用，才能真正實現數學建模思想的內化.

案例1請問半圓所對的圓周角的度數是多少？你是怎么知道的？

案例2圓周角為90°時，它所對的弦一定是直徑嗎？說一說你的理由.

案例3如圖5，圓O上有A，B，C三點，若∠BAC為60°，那么∠BOC是多少度？若∠AOB為直角，那么∠ACB是多少度？

圖5

案例4如圖6，在圓O中，弦AB與CD相交于點E，∠BAC等于40°，∠AED等于75°，那么∠ABD是多少度？

圖6

案例5如圖7，圓O上有A，B，C，D四點，∠ADC與∠BDC都等于60°，請判斷ΔABC的形狀，并說明理由.

圖7

問題串的設計從圓周角定理的推論，到數學模型的應用，全面鞏固了學生上課所學的內容，并從探究過程中抽象出模型，體會建立數學模型的思想，并進行有效的運用.通過問題的轉化教學，構建出相同的弧所對的圓周角與圓心角之間的關系.

教學反思

本課圓周角定理的數學從引導學生進行觀察、實驗、分析和猜想，到驗證以及鞏固應用的過程，使學生在數學活動中領會了數學建模思想.數學建模的過程在教學中是潛移默化、逐漸深入的過程，不是一朝一夕完成的，筆者認為數學建模的教學應關注以下幾個方面：

（一）堅持以學生為主體

數學建模的教學需要建立在學生已有知識經驗的基礎上，按照學生的認知規律進行教學設計，不能脫離學生實際.教師要從學生熟悉的情境中設計問題，在探究活動中建立數學模型，進而調動學生的學習能動性，激發學生的創新意識，提高學生數學知識的運用能力.

（二）精心設計數學活動

數學建模思想是在數學活動的探究中形成的，教師要通過精心設計的數學活動，使學生在自主探究中體會知識的發生過程，構建數學建模的意識，在實踐操作中增長動手實踐能力.數學活動的設計要圍繞教學目標，從教學目標出發對學生進行引導和探究，讓學生在觀察、分析和思考中鍛煉自身的思維能力，建構知識網絡，形成數學建模的意識.

（三）重視升華認識

數學建模的過程是學生將知識內化并輸出的過程，通過探究建立數學模型，再將數學模型進行實際運用，完成知識輸入和輸出的循環，真正實現知識的升華.教師在教學中要避免知識的直接呈現，要從學生熟悉的場景出發創設情境，引導學生探究、發現問題，進而驗證猜想建立模型.學生在活動的體驗中會積累對數學知識的認識，深刻理解數學的本質，發現數學學習的樂趣.

總之，在教學中教師要搭建數學活動的平臺，以學生為主體，以教師為主導，開展探究活動，讓學生在實踐中獲得認識，領會數學建模的思想，不斷提升學科核心素養.