初中數學教學中糾錯原則、時機與方法的探究

楊小璐

江蘇省南通西藏民族中學 226001

心理學家R.Bainbridge認為：差錯每個學生都有，教師若不加以利用是不可原諒的.錯誤是學習者攀上正確結論寶座的臺階，利用錯誤引導學生步入正軌是每個教師的基本職責［1］.實踐證明，數學糾錯教學需要遵循一定的原則與方法，學生在糾錯過程中能不斷優化思維，形成系統的認知結構，為培養自身的辯證思維能力奠定堅實的基礎.

糾錯教學應遵循的原則

（一）目的性原則

錯誤產生的原因有多種，分別有教師、學生方面的問題，還有教學環境對學習產生的影響等.其中，最主要的錯誤原因集中在學生層面，有智力與非智力兩大因素.從錯誤的認知結構角度來區分，存在知識性、策略性、心理性與邏輯性等錯誤；從錯誤的表現形式來看，錯誤發生的原因有審題、運算、方法、運算或表述欠規范等.

人們常說的糾錯，主要是針對學生認知結構方面的錯誤而言.作為教師，首先要明確學生錯誤發生的原因，并在此基礎上明確教學目標，此目標包括認知目標、情感目標以及智能目標等，且目標不宜過高或過多.

（二）針對性原則

每個學生受認知經驗的影響，所產生的錯誤類型各不一樣.糾錯之前，教師應根據錯誤類型，有針對性地對普遍性錯誤、抽象晦澀的錯誤以及解題方法錯誤等進行糾錯教學.同時還要搜集、整理學生的典型錯誤，重點明確地、有針對性地進行講解，以突出問題的本質.切不可嘗試面面俱到地講解，那只會浪費課堂寶貴的時間，降低學習效率.

（三）主體性原則

學生是課堂的主人，糾錯課亦如此.教師在糾錯教學時，應突出學生的主體地位，創設豐富的教學情境，運用學生感興趣的教學手段，引導全體學生積極地參與到糾錯中來.而教師應充當引導者的角色，在學生自主探究過程中，教師可在學生知識的生長點處加以啟發、引導與點撥，鼓勵學生自主發現錯誤的根源，從而找出解決問題的關鍵.或者鼓勵學生采用分組討論的方式，在取長補短中發現學生思維的偏差點，及時糾正錯誤，實現思維的突破.

（四）鞏固性原則

實踐證明，缺乏練習的糾錯效果很差，往往隔幾天學生同樣的錯誤又會死灰復燃.反饋練習是克服這個問題的主要手段，這里所說的反饋練習不僅僅是鞏固練習，還包括變式拓展，學生只有從根本上掌握數學思想方法與解題技巧，才能實現真正意義上的糾錯.

糾錯教學應遵循的時機

（一）及時

糾錯講究時效性.學生新知建構時所發生的錯誤，如概念、定理等的理解偏差或方法理解錯誤等問題，及時進行糾正，往往能起到良好的效果；學生的一些無意識錯誤，表現比較隱匿，常常不會自主發現，如運算過程中的格式不規范等問題，若教師能給予及時引導與糾正，往往能起到良好的效果［2］.

例1一部分學生，總是搞不清楚以下幾種說法所表達的真實意義：①x，y的平方差；②x，y的差的平方；③x，y的平方的差.

從字面來看，這三種表達方式非常接近，難怪學生會混淆不清.為了清除學生學習道路上的障礙，教師應及時引導學生對這幾種表達方式進行辨別，只有從根本上弄清其所表達的意思，才能保證解題時不出現差錯.

如平方差公式的應用，一些學生對這個知識點模糊不清，看到問題就生搬硬套，從而導致（-x+y）（x+y）=x2－y2錯誤的發生；還有學生將完全平方公式理解成（a+b）2=a2+b2.面對這些錯誤，教師應及時矯正學生的認知結構，避免學生將錯誤的內容建構到認知中，形成不良記憶，為后續解題帶來隱患.

（二）延后

面對下面兩類問題，教師可采取延后糾錯的方式：一是對學生整體數學思維與解題思路影響較小，對主體教學過程不會引起重大沖突的錯誤.若即時糾正，則會打斷學生的解題思路，影響學生對問題的全局性理解；二是典型錯誤，具有顯著的代表性，需要重點強調、系統講解的錯誤.

例2解方程（x+2）（x－1）=2+x.

錯誤：學生將方程的兩邊同時除以“2+x”，解得x=2的結論.

這是一個典型的錯誤類型，很多學生在初次接觸此類運算時，都會犯這樣的錯.同時，本題對接下來的課堂講解不會造成不良影響.為此，筆者采取延后的方式，帶領學生針對此類問題進行啟發式的糾錯，以幫助學生形成正確的解題方式.

師：解本題時一些學生想到了用“約公因式”的解題方法，就在方程的兩邊同時除以“2+x”這個式子，并獲得了x=2的結論，你們覺得這種解題方法對嗎？

生1（語氣不夠肯定）：好像不對.

師：你們覺得哪里不對？大膽地說出你們的看法，錯了也沒有關系，讓我們一起來探討這個問題.

（學生沉思）

生2：“2+x”中含有未知數，我們還不知道它的取值，直接用來運算，好像不合理.

師：沒錯！在方程的兩邊同時除以一個包含未知數的代數式，運算后所得的方程和原方程不一定是同解.因此這樣的變形方式存在失根的情況.

（學生有所感悟）

生3：我是不是可以將本題的錯誤理解為：解題中因除掉了“x=－2”這個因子，致使失根的情況？

生4：對的.因此我們遇到解此類方程的問題，不能將一個代數式作為除的對象，還是要先移項，再進行因式分解，在降低方程次數的情況下解方程，才能避免出現失根的現象.

師：總結得非常好.本題出現錯誤的關鍵在于除以了代數式“2+x”，以后我們遇到此類問題要避免出現這樣的錯誤.本題除了以上解題方法之外，還存在其他的解題方法嗎？

（學生思考）

生5：如果我想堅持在等式的兩邊同時除以“2+x”，有沒有辦法解題？

學生們都覺得不可思議，這不是剛剛被否定掉的解題方法嗎？教室里傳來了竊竊私語.

生6：如果要從這條思路去解題的話，首先要確?！?+x”的值不為零.

生7：問題是題設條件中并沒有明確表示“2+x”不為零呀，而且當“2+x”的值為零時，該方程也是成立的.

在這兩位學生的交流中，不少學生恍然大悟，提出用分類討論的方式來解決.

師：應該怎么分類呢？

生8：自然是以2+x=0與2+x≠0兩種方式來分類.

……

通過教師的點撥與學生的自主探究，本題獲得了不同的解決方法.回過頭來看，延后糾錯從本質上來看，就是讓學生圍繞某個特定的錯誤，給予學生充足的探討與反思空間，讓學生在一定的范圍內進行探索研究的過程.延后糾錯的方式更符合學生的認知發展規律，可以讓學生的思維在探索中得到有效提升.同時，學生的思維之門被打開，常會得到意想不到的收獲.因此，延后糾錯法是初中數學糾錯教學的重要手段之一.

糾錯教學應遵循的方式

（一）自糾

學習過程中，有些錯誤是學生常會犯的.作為教師，要做到心中有數，對于學生常犯的一些典型錯誤，可鼓勵學生與同伴多交流，及時發現錯誤，從而自主糾正.如何培養學生的自主糾錯能力是筆者經常思考的問題.實踐證明，教學過程中將正確的檢查方法滲透給學生，對學生自主發現錯誤具有重要作用.不論遇到什么問題，教師要引導學生認真讀題、審題，及時發現問題中的關鍵信息，這樣能避免錯誤的發生.

例3已知關于x的方程（m2－4）x2+2（1+m）x+1=0有實根，求m的取值范圍.

本題是一道常規題，難度系數并不大，但學生在解題中總會出現錯誤.為此，筆者特邀請兩位成績中等的學生到黑板上演示解題過程，以供大家討論.

生1：題設條件明確提出此方程有實根，那么可確定Δ=［2（1+m）］2－4（m2－4）=20+8m≥0，可得m≥－，由此可知本一元二次方程中m的取值范圍為≥－

師：請同學們重新審題，看看本題有沒有什么隱含條件，或者被我們忽略的東西呢？

（學生重新審題）

生2：本題并未明確表示該方程是一個一元二次方程.

師：哦？遇到這種情況，我們該怎么處理呢？

生3：需要分類討論，才能回答完整.

師：本題該從什么角度進行分類討論呢？

生4：可分為m2－4=0與m2－4≠0兩種情況進行討論.

……

隨著教師的引導，學生在解題過程中不僅發現了錯誤的原因，還自主找到了解決問題的具體辦法.這種教學模式，不僅能有效地提升學生的糾錯能力，還能有效地發展學生的思維，為學生的辯證思維能力的形成奠定基礎.

（二）他糾

學生因年齡特征與生活經驗的相似性，對問題的看法常存在一定的共性.當學生對概念、定理或公式的理解出現偏差時，教師可引導學生觀察同伴的解題過程，并針對同伴所呈現的方法與結論談談自己的看法，這樣能讓學生從其他學生身上看到自己的影子，不僅能糾正別人的錯誤，還能有效地提高自己的洞察力［3］.同時，學生可取長補短、查漏補缺，避免別人的錯誤在自己身上發生.

例4如圖1，已知正方形ABCD的邊長是4，點P為BC邊上的一個動點，且QP與AP為垂直的關系，交CD于點Q，假設PB=x，△DQA的面積是y.

圖1

（1）求x，y之間存在怎樣的函數關系，列式表達；

（2）求點P位于何位置，△DQA的面積值最大？

在學生解完題后，教師并沒有馬上呈現正確答案，也沒有進行講評，而是要求同桌之間互相查看對方的答案與自己的答案是否有差異.在同學的交流過程中，不少學生發現同伴出現了以下的錯誤解題方式：

錯解：（1）y=x2－2x+8；（2）根據y=x2－2x+8，解得（x－2）2+6，因此在x=2時，△DQA的面積最大為6.

觀察發現，班上有好幾名學生都發生了類似的錯誤.為了讓學生記住正確的解題方法，教師鼓勵學生以小組合作的方式來討論本題，由小組長與同學一起分析錯因，小組成員一起探尋正確的解題方法.

巡視過程中，教師聽到如下交流：觀察圖1，如果點P的位置恰巧在點B處，點Q 的位置就位于點C 處，那么此時△DQA的面積與△ABC的面積則相等，為8.顯然大于以上所求得的6，因此這種解題方法肯定是不對的.

通過交流，學生得到以下結論：本題在解第二問時，特別容易出現兩個錯誤，分別是：①將最小值理解為最大值；②認為所求面積只存在最小值，沒有最大值.而出現這些問題的根本原因就在于解題過程中，點P的限制條件被忽略了.

隨著互相糾錯法的應用，學生對此知識點產生了深刻的認識，這比教師拼盡全力地講解效果來得直接、明顯.他糾的方式，一般適用于錯誤比較單一，學生容易理解的錯誤中.學生在互相糾錯的過程中，不僅體驗到學習帶來的樂趣，還有效地培養了學生的觀察能力與思維能力.

（三）師糾

有些錯誤的發生呈群體性，且錯誤的成因特別混亂、復雜，自糾與他糾無法達到良好的效果.遇到這種情況，就要發揮教師的作用了.教師首先要分析錯誤發生的原因、學生的認知水平以及預期的教學效果等，做到知此知彼，才能百戰不殆.有時，反例法的點撥，能開闊學生的視野，讓學生徹底告別混亂不清的思緒.

例5如圖2，已知∠ABD=∠BCA，∠ABC=∠D.不少學生根據這兩個條件，就確定△ABD≌△ACB.面對這個錯誤，教師首先應分析學生形成這個錯誤的原因，并根據學生的認知結構，在歸因后采取一定的教學手段進行糾錯.

圖2

學生所提到的這兩個三角形并非是全等的關系，因為△ABC中所涉及的AB邊與△ABD中的AB邊并非為對應的兩條邊.

與之類似的還有一些學生，將兩個三角形中兩條邊和一對角對應相等的情況，判斷為這兩個三角形為全等關系.以上錯誤都是學生對概念的理解不夠清晰引起的，在遇到解決實際問題時，就會出現知識的混亂，覺得差不多就給予判斷，從而導致錯誤的發生.遇到此類情況，教師應帶領學生回過頭來將基礎的概念、定理等重新分析、解讀，幫助學生實現知識的重構.

總之，錯誤并不可怕，只要教師用正確的態度去面對錯誤，充分挖掘與利用錯誤資源，那么錯誤就是寶貴的、有價值的教學資源.教師從心理學角度出發，利用錯誤在學生心中形成的落差效應，抓住契機，用適當的方式給學生帶來認知上的震撼與沖擊，往往能起到良好的糾錯效果.