數學深度教學的三個著力點

顧健，任建波

摘要：深度學習，在行為進程上，應呈現為研究知識關系與結構的理解性學習;在目標指向上，應表現為感悟數學思想和培育數學精神的層進式學習;在評價方式上，應展現為評價目標多元與評價任務多樣的融合性評價?；诖?，小學數學深度教學需要做到學習資源“結構化”、學習路徑“思想化”、學習評價“增值化”。

關鍵詞：小學數學；深度教學；結構化；思想化；增值化

“學”與“教”是相伴而行的，而幫助學生學會深度學習是深度教學的一個重要目標，所以，深度教學的研究與實踐離不開對深度學習理論的剖析。深度學習，在行為進程上，應呈現為研究知識關系與結構的理解性學習。這就要求教師為學生提供結構化資源，創造主動觀察、動手操作的機會，提供分析、思考和質疑的問題，以期實現深度卷入、沉浸式學習，此即學習資源“結構化”。在目標指向上，應表現為感悟數學思想和培育數學精神的層進式學習。這就需要教師呈現數學概念產生的本源，挖掘其背后的思想，基于數學思想，尋找課堂教學中的突破點和生長點，以期優化教學路徑，此即學習路徑“思想化”。在評價方式上，應展現為評價目標多元與評價任務多樣的融合性評價。這就要求教師準確定位評價目標，精心設置評價任務，精準反饋學生的學習進程，以期實現教學效益的最優化，此即學習評價“增值化”。

一、學習資源“結構化”

（一）串聯呈現

同一領域內的數學內容或多或少存在關聯，教師可以通過前置性學習和課前調查，將學生已有知識經驗和需要學習的新知識串聯呈現，以把握學生學習的起點。據此，確定教學的順序、比較學習前后的變化，對學生可能出錯的情況做到心中有數。進而，在教學設計中關注哪些教學環節需要花費較多時間，哪些知識經驗需要進一步擴展，哪些知識經驗還需要進一步建構。

例如，教學《小數乘整數》一課，為了解學生對這一內容的已有經驗，筆者設計了這樣一個問題：你會計算1.6×3嗎？目的是讓學生通過乘法的意義，將加法計算、口算、豎式計算經驗激活、串聯起來。課前，對班級的48名學生做了調查。學生雖然還沒有學習“小數乘整數”，計算結果卻是100%正確，具體情況見表1。

從呈現的計算過程來看，學生有的利用整數、小數加減的計算方法將數位對齊遷移到小數乘法，有的借助整數乘法計算結果進行推理，有的口算，有的根據乘法的意義利用加法計算。學生會計算了，接下去該如何教學？于是，課堂教學的結構就變成了：理解不同方法的表征形態及相同之處，深度建構知識，實現理法相融。

（二）并聯呈現

貼近生活的真實情境，有利于喚醒學生的經驗，但這樣的經驗可能是非正式的經驗。教學中，可以將結構相同的數學知識置于多角度的不同情境之中，通過并聯的方式將已有經驗與新經驗比較，在“變化”中覓得“不變”，即抽象出更為一般的方法、策略應用到新的情境中。

例如，蘇教版小學數學三年級下冊《乘數末尾有0的乘法》一課，練習中有一道題（如圖1所示）。教學中，可以引導學生在計算后比較每組兩題的特點，體會3個數相乘可以從左往右依次計算，也可以把后面兩個數相乘，再與第一個數相乘。

如果教學僅止于此，學生獲得的經驗有浮于淺表之嫌。以第二組為例，教學中可以增設兩個探究問題。第一個問題：根據發現，還可以寫成哪3個數相乘的積，使結果仍然相同？得出還可以寫成“32×5×6”和“32×3×10”。第二個問題：可以寫成4個數相乘的積，使結果仍然相同嗎？得出可以寫成“32×3×2×5”。學生在乘數個數的變化中，逐步抽象出乘法結合律的模型。

（三）立體呈現

數學活動經驗的發展是連續的，過去經驗是當下經驗生發的基礎，同時又指向未來經驗的改造。理想狀態下，根據教材螺旋上升式的設計，學生學習所獲取的經驗也呈現螺旋上升的樣態。而事實并非如此。例如，“積的變化規律”的學習，因蘇教版小學數學教材的編排跨度較大，留白較多，需要教師提供理解的支架，立體呈現學習資源進行補白。三年級下冊在“兩位數乘兩位數”的習題（見圖2）中進行滲透，五年級上冊從“小數乘法”例7的豎式計算過程（見圖3）開始運用，因此，四年級下冊的例4（見圖4）承上啟下，顯得尤為重要，有必要進行一定的延展。

教學中可以設計一組習題，彼此獨立又相互關聯，最后結構化展現（如圖5所示），便于學生從橫、縱兩個維度提煉其中的關系：縱向看，一個乘數不變，另一個乘數乘或除（0除外）幾，積也乘或除以幾；橫向看，一個乘數乘或除（0除外）幾，另一個乘數除（0除外）或乘幾，積不變。這樣，積的變化兩種情況（變、不變）得以抽象，學生獲取的經驗有了立體感。

二、學習路徑“思想化”

數學思想是學生發展數學核心素養的重要組成部分。教師可以從小學一年級開始，長期在教學中滲透數學思想。為了讓數學思想的教學目標落到實處，可以挖掘教材的留白處，重現知識的發生處，讓數學思想閃現理性的光芒。

（一）抽象概括，凸顯概念形成過程

數學抽象是對數量關系和空間形式進行加工和提煉，以揭示其本質屬性。在數學概念教學中，應盡可能多地讓學生親歷概念抽象與概括的思維過程，在體驗與領悟中將經驗與概念、直覺與邏輯整體融通，并形成抽象思維能力。

例如，“平行與垂直”概念教學的常規路徑是基于知識邏輯起點設計的：先理解“同一平面內”，再建構平行概念，最后形成垂直概念。反觀教學過程，這是追求對概念要素的理解。顯然，本課教學不應追求概念分化，而應在“求異”中實現“求聯”，抽象出三個概念之間的關系?；谶@樣的認識，筆者在教學中引入魔方，讓學生通過操作，判斷轉動前和第1次轉動后兩條直線的位置關系。學生在觀察、操作的基礎上，輕松概括出“同一平面內”這一難點。接著，通過第2次轉動，直觀感受同一平面內兩條直線的位置關系除了平行還有相交，為概括垂直概念做鋪墊。操作過程如下頁圖6所示。

而在本課的練習鞏固階段，筆者引導學生將魔方抽象成一個正方體：如圖7，尋找與線段a相互平行、垂直的線段，抽象構造一般意義上的“同一平面”。如此，幫助學生深入理解標準圖式模型，提升空間想象能力。

（二）數形結合，彰顯規律直觀簡潔

數形結合可以使抽象的概念直觀化、繁難的問題簡潔化。教學中，可以利用“形”作為直觀的工具實現“以形助數”，幫助學生在記住操作性程序的基礎上達到“熟而生慧”，協調抽象思維和形象思維的發展。

例如，學習“3的倍數的特征”，學生憑直覺很難理解為什么有這樣的規律。為了讓學生更好地探索規律，教學中，組織學生以數字“123”為例，通過擺放小方塊“切分”計數單位，直觀感受每個計數單位，分一次就多1個一，再抽象概括出每個數位上是幾，就多幾個一（過程如圖8所示）。學生在這樣邊操作、邊反思的過程中，能直觀地理解“各個數位上的和是3的倍數”。其實，用“位置值”的切分方法同樣能解釋“2和5的倍數的特征”。而這樣的理解體現了倍數特征內在的一致性，從而在知識的勾連中實現深度教學。

（三）類比推理，盡顯知識整體結構

同一領域的數學內容可能蘊含不同的數學思想，而類比推理可以根據這些內容某方面的相似性，捕獲知識具有的相同屬性，從而引發知識之間的遷移，使“聞一知十”成為可能。

例如，對“數”的相關知識，可以從系統性、結構性角度進行類比教學。學習“分數的意義”時，學生有了三年級的學習基礎，對“率”的意義理解較為容易，而對“量”的意義感悟不深，兩種意義的關系理解不夠透徹。對此，可在這部分內容之前增設一個課時內容——理解“分數是一個數”。目的是通過類

比萃取出自然數、小數、分數的本質都是單位個數的累積，感受分數與自然數、小數的認識是一脈相承的；同時，為理解分數的大小比較與小數、整數的大小比較以及計算意義之間的一致性奠定基礎，在歸納、抽象、類比中抓住“不變”，幫助學生降低記憶負荷，提升遷移解決問題的能力。

三、學習評價“增值化”

教學評價設計是一個整體，其目標、內容、形式、方法均在考慮之中。深度教學的評價，應基于學生的學習證據，作出及時的反饋，促進深度學習，實現“教—學—評”的整體一致性。這就需要考慮以下問題：如何制訂深度教學的評價目標？如何設計評價任務？如何在評價中優化策略，實現教學增值？

（一）抓住數學本質，制訂評價目標

深度教學評價目標是基于小學數學知識的本質和發展動態制訂的，以判斷學生通過主動參與和自主探究能否達成基礎知識的理解和基本技能的掌握為準繩，以促進學生進一步學習和發展核心素養為要務。

例如，“面積單位”的教學，從小學階段“測量”教學的知識結構體系出發，聚焦度量本質，溝通“長、寬”與“面積”的聯系，關聯圖形度量的學習方法，結合SOLO分類理論，筆者制訂了如表2所示的評價目標。

（二）外顯思維過程，設計評價任務

不同的評價目標需要匹配不同的評價任務。學生通過語言、文字、符號等不同方式完成不同的任務，展現學習的證據，將內隱目標外顯化。當學生將核心知識和技能應用于各種情境的挑戰任務時，就顯示了他們的理解和掌握。教師通過觀察和分析學生完成任務的過程和結果，評價學生對知識內容的理解和掌握程度，同時，實現對評價目標的監控。

例如，《平年和閏年》一課的評價任務設計如下：

（1）說一說：什么是平年和閏年？

（2）算一算：舉例說明，怎樣判斷某一年份是平年還是閏年？

（3）想一想：公歷年份數除以4沒有余數的一般是閏年，有沒有更簡便的方法進行計算？

（4）查一查：為什么公歷年份是整百數時，必須除以400沒有余數才是閏年？

四項評價任務的開放性和復雜性逐步提升。第（1）項屬于陳述性知識的淺層理解；第（2）項是程序性知識的理解；第（3）項要結合數的位置值理解，探究出判斷公歷年份是否為閏年，可以用末兩位除以4；第（4）項需要通過查閱資料，結合天文知識，實現深度理解。

（三）拉近始末距離，實現評價增值

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出：評價結果的呈現應更多地關注學生圖9

的進步，關注學生已有的學業水平與提升空間，為后續的教學提供參考。這樣的評價，可以理解為基于學生的“學習起點”與“學習結果”之差，將學習過程融合到結果之中，實現評價的增值。

例如，《認識公頃》一課，基于相鄰長度、面積單位的進率這一“學習起點”，學生很難理解“學習結果”——1公頃=10000平方米。

為化解這一難點，筆者設計了這樣一個問題：“為什么之前所了解的相鄰面積單位的進率都是100，學習公頃時就不適用了？”通過這一問題評價學生對面積單位的理解程度，實際指向三種水平：水平1，熟知平方厘米、平方分米、平方米這三種常見的面積單位及進率；水平2，對1公頃等于多少平方米的推導過程有清晰的認知；水平3，能判斷公頃和平方米不是相鄰的兩個面積單位，還應有“平方十米”。水平1、水平2的評價目標指向概念理解，體現了學生的理解和掌握；水平3的評價目標涵蓋理解和掌握、感悟和運用，甚至是內化和創生。

基于以上認識，通過問題設疑，在平方米和平方百米之間增加“平方十米”（如圖9所示），由平方十米過渡到平方百米（也就是公頃），通過面積單位系統的構建，呈現長度單位與面積單位的關系，回歸到相鄰長度單位進率為10、相鄰面積單位進率是100的經驗性理解，促進學生對面積單位系統的深度認識，拉近“學習起點”與“學習結果”之間的距離。這樣，通過教學內容的補充，實現學業評價的增值。

參考文獻：

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