磁懸浮轉子真空計混合磁懸浮建模與控制研究

李博文，李得天，*，習振華，郭美如，周明旭

（1.蘭州空間技術物理研究所 真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000；2.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819）

0 引言

磁懸浮轉子真空計（Spinning Rotor Gauge，SRG）具有優異的長期穩定性和重復性，在真空計量領域作為傳遞標準使用[1-2]。但是，受殘余阻尼、溫度、外部振動等因素影響，磁懸浮轉子真空計的量限拓展、準確度提高以及使用范圍受到了嚴重制約?；旌洗艖腋∞D子真空計利用永磁-電磁合力使轉子穩定懸浮在真空中，轉子與支撐件之間沒有任何機械接觸，僅憑借測量氣體分子對轉子旋轉阻尼作用的大小來測量真空壓力[3]。

混合磁懸浮轉子真空計是基于Beams等的純電磁磁懸浮真空計發展而來的[4]。上世紀80年代，Fremery等[5]完善了真空計的混合磁懸浮結構，解決了純電磁磁懸浮真空計的功耗大、發熱大、懸浮不穩定導致的測量失真等問題[6]。至今為止，鮮有人對于這種獨特的混合磁懸浮系統中永磁力與電磁力在磁懸浮過程中的影響與配比關系作出報道。為進一步探索提高磁懸浮轉子真空計的測量精度，本文將推導磁懸浮轉子真空計的混合磁懸浮的磁場關系，得到頻域模型；并將電磁線圈參數與永磁體參數引入模型，研究SRG獨特的混合磁懸浮系統物理模型的建立及其控制；最后利用數學模型中引入的參數指導實際磁懸浮系統的搭建，并進行壓力測量實驗。為磁懸浮轉子真空計懸浮穩定性的進一步提高和測量上下限的擴展提供理論基礎[7-13]。

1 永磁-電磁混合磁懸浮模型

1.1 純電磁懸浮模型

要實現轉子的無摩擦懸浮，通常首先考慮采用電磁懸浮系統。這是一種較為成熟的技術，在各個領域都有較為成熟的模型可以參考。在本文所研究的問題上，純電磁磁懸?。磧H僅使用電磁線圈使球形轉子懸?。┮彩且环N值得考慮的選擇。模型示意如圖1所示。

圖1 球形轉子電磁懸浮示意圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic levitation of rotor

實際工作中，要求真空計長期不停機工作，磁懸浮系統盡可能功耗低，因此會增加一個外力承載一部分轉子的質量，減輕電磁線圈的負載。為此，引入永磁體，形成電磁-永磁混合磁懸浮結構。

1.2 混合磁懸浮模型

磁懸浮轉子真空計的混合磁懸浮系統結構如圖2所示，球形轉子位于中間位置，上下各有一塊極性同向的永磁體，兩個串聯的電磁線圈在轉子上下對稱布置。在實際應用中，在這一對串聯的電磁線圈上加載直流信號用以產生電磁力。為準確估計閉環系統的固有特性，必須對轉子懸浮系統進行精準的建模，盡可能地考慮到影響軸向懸浮系統中的所有因素。為研究方便，在不影響模型建立與實驗的前提下，做如下假設：

圖2 混合磁懸浮系統結構圖Fig.2 Structure of hybrid magnetic levitation system

（1）永磁體均勻磁化，且軸向磁場的磁勢不隨時間或溫度發生衰減；

（2）鐵磁材料（即球形轉子與永磁體材料）的磁導率無限大；

（3）忽略線圈與永磁體在氣隙中的漏磁；

（4）假定球形轉子、線圈、永磁體剛度無限大，不發生任何彈性形變；

（5）忽略測量氣體對轉子的作用；

（6）忽略法蘭管對電磁場的影響。

圖2中紅框為實際系統中的法蘭管，連接至真空系統并限制轉子的運動。Fm與Fup（x，i）和Fdown（x，i）作用，轉子懸浮的動力學方程為：

首先對永磁體在中心軸線處的磁感應強度進行分析，建立如圖3所示的圓柱形永磁體中心軸線上的磁感應強度模型。

由假設（1），永磁體均勻磁化，磁化強度M為常矢量，因此體電流密度為零。由安培分子環流定律，可將圓柱形永磁體等效為一個沿圓柱側面切線方向流動的，電流大小為M且上下頂面無電流的圓筒形環流。取如圖3所示的圓柱面微分長度為dz0，圓柱面到底面距離為z0，a為永磁體半徑，θ0為環流電流通過的角度，在dz0上流動的面電流為Mdz0θ，則此面電流在P點產生的dBm為[14]：

圖3 圓柱形永磁體軸向磁感應強度模型Fig.3 Model of axial magnetic field strength of a cylindrical permanent magnet

沿圓柱高度積分，可以得到圓柱形永磁體在中心軸線上P點產生的磁感應強度Bm為：

即在P點處有：

式中：μ0為空氣磁導率；為由原點指向坐標軸z方向的單位矢量。

由式（3）可以看出，若兩塊永磁體以中心位置對稱，則永磁體在軸線中心位置產生的磁感應強度會相互抵消，不能起到平衡轉子的部分重力的作用。在實際設計中也考慮到了這個問題，因此上下永磁體為非對稱布置，如圖2所示，上下永磁體與線圈距離不同，上方永磁體更靠近線圈，提供更強的磁力。

根據以上推導，得到永磁體在中心軸線方向上產生的永磁力與磁感應強度方程組為：

式中：Bmup為下永磁體在轉子徑向平面處產生的磁感應強度；Bmdown來自上永磁體；S為轉子截面積。綜合上述方程組，可以得到在空間中某位置永磁體對轉子的磁力為：

由式（6）可知，永磁體對轉子的作用力僅與轉子軸向懸浮位置x有關。因此，一旦通過電磁線圈控制回路的設計確定了轉子軸向懸浮位置x，轉子所受永磁力就僅受永磁體的安裝位置sdown與sup制約。因此在混合磁懸浮系統的設計中可以根據轉子質量調整永磁體的相對安裝位置。

由磁路的基爾霍夫定律與畢奧-薩伐爾定律推導電磁線圈產生的電磁力，線圈對轉子的吸引力可以表示為：

式中：N為線圈匝數；0.01為上下線圈距離，單位為m，為簡化計算，令常數項：

綜合式（1）～（9），可得轉子懸浮的運動學方程：

當工作在平衡點時（即兩線圈間幾何中心點，距下線圈5 mm處），由式（10）知，此時上下線圈的電磁力大小相同、方向相反，力學平衡中電磁力項為零，永磁體的磁力與球形轉子所受重力相互抵消。物理意義為：當球形轉子到達這一理想位置，即形成力學平衡，線圈上將不加載電流。而這是不符合實際工況的，由恩紹定理可知，單一永磁體的磁力不可能產生穩定的磁懸浮，因此在計算時，結合實際情況，選擇一微小偏差量作為修正，即取x0=0.005 1 m。工作電流為i0，為盡可能達到小功率甚至零功率控制，此處設置期望電流為0.01 A。

由式（10）可以看出轉子的磁懸浮控制是一個非線性系統，在平衡位置附近進行線性化處理，得到線性化后的運動學方程為：

其中：

式中：Kx與Ki為永磁懸浮位移剛度系數和永磁懸浮電流剛度系數。

將式（11）進行拉普拉斯變換，可得：

移項化簡得到：

由式（15）可知，混合磁懸浮系統頻域模型與電磁懸浮系統相似[15]，均由“電流剛度系數”與“位移剛度系數”來表征線圈電流變化與懸浮轉子位移變化對系統影響的系數，但從式（12）可以看出，推導出的位移剛度系數中含有與永磁體磁化強度、尺寸、安裝位置等參數相關的變量。具體參數如表1所列。

表1 混合磁懸浮系統部分參數表Tab.1 Partial parameters of hybrid magnetic suspension system

代入表中參數得到混合磁懸浮系統的傳遞函數，這是一個二階系統：

由勞斯判據可知，系統不穩定，必須增加控制器來保證轉子的穩定懸浮。

表1中，模型采用空心線圈實現電磁懸浮部分，且球形轉子直徑小于線圈內徑，因此可以認為轉子僅受穿過其徑向截面的磁通作用，因此在計算電磁力時均采用轉子的截面積S。

2 仿真分析

使用PID控制器對推導出的二階系統進行控制，選取較為快速的懸浮控制參數。參照第一章搭建磁懸浮轉子真空計的混合懸浮模型，為更接近實際工況，采用離散模式，采樣周期T=0.001，系統的仿真模型框圖如圖4所示。

圖4 二階系統的仿真模型框圖Fig.4 Simulation model block diagram of second-order system

2.1 階躍響應實驗

通常的外來噪聲，如抽氣系統產生的噪聲信號、實驗環境中其他噪聲等干擾會引發振動，為此，在階躍信號的基礎上，加入幅值為0.000 01的白噪聲信號以模擬環境噪聲，進行仿真實驗，結果如圖5所示。

從圖5可以看出，由于式（16）表示的混合磁懸浮系統在頻域表達式上為二階系統，其固有特性類似“低通濾波器”的作用，系統響應受白噪聲信號的高頻分量影響較小，低頻噪聲保留較多，因此可知此混合磁懸浮系統易受低頻噪聲的干擾。

圖5 模擬噪聲下混合磁懸浮系統的階躍響應Fig.5 Step response of hybrid magnetic levitation system under simulated noise

2.2 頻域分析

為定量檢驗對高頻噪聲的抑制效果，對圖5中的懸浮響應信號進行傅里葉變換，觀察其頻域特征，結果如圖6所示。

圖6 加入白噪聲的混合磁懸浮系統響應信號與白噪聲信號頻譜對比圖Fig.6 Spectral comparison plot of the response signal of the hybrid magnetic levitation system and the white noise signal

從圖6可以看出，懸浮信號的低頻振動集中在150 Hz以內，遠離磁懸浮轉子真空計的工作頻率350～550 Hz，對測量系統獲得較優質的轉子旋轉信號影響較小。

3 控制器設計

設計模擬比例-積分-微分控制電路?？刂破髟砜驁D與實物圖如圖7所示。

圖7 PID混合磁懸浮系統控制器原理框圖與實際電路圖Fig.7 Hybrid magnetic levitation system controller block diagram and actual circuit diagram

4 模型驗證

為驗證混合磁懸浮模型的正確性，以蘭州空間技術物理研究所自研的磁懸浮轉子真空計為對象進行試驗。利用頻率計數器對磁懸浮控制系統的懸浮位移響應進行頻域分析。

通過前一章節搭建的磁懸浮PID控制電路實現懸浮轉子懸浮，并采集其懸浮信號，以便對其懸浮響應進行時域與頻域研究。

調整PID參數至穩定懸浮后記錄懸浮位移響應曲線，如圖8所示。

圖8 混合磁懸浮系統中球形轉子的懸浮響應信號Fig.8 The suspension response signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由圖8可以看出，懸浮較為穩定，軸向位置波動量在±0.06 mm以內。

懸浮實物圖如圖9所示。設空間中心位置為參考位移點，調整PID參數，將位移信號引至頻率計數器，進行12 000個頻率點的采樣，結果如圖10所示。

圖9 混合磁懸浮系統實物圖Fig.9 Physical drawing of hybrid magnetic levitation system

圖10 混合磁懸浮系統中球形轉子懸浮信號的頻率直方圖Fig.10 Histogram of the frequency of the levitation signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由實驗結果可以看出，圖8與圖10顯示的懸浮過程中的低頻振動現象與圖5、圖6的仿真結果吻合。通過頻譜計數結果（圖10）可以看出，在PID控制器的控制下，懸浮信號頻域顯示150 Hz以內存在低頻振動，振動頻率譜峰值處位于59.5 Hz處。與仿真結果（圖6）基本一致。

5 壓力測量實驗

將磁懸浮控制模塊電路接入到磁懸浮系統中進行壓力測量實驗，一個月內進行4次9×10-5～1 Pa的壓力測試，將得到的壓力結果與標準壓力進行對比，如圖11所示。

圖11 壓力測量實驗結果對比Fig.11 Comparison of pressure measurement experiment results

由圖中實驗數據可以看出，混合磁懸浮系統可以長期穩定工作，保證了混合磁懸浮真空計對壓力的準確測量?；旌洗艖腋∞D子頻域數學模型的建立，量化了永磁體與線圈在磁懸浮過程中的影響，為穩定、低功耗、長期工作的磁懸浮系統搭建打好了基礎。

6 結論

本文設計了永磁-電磁混合磁懸浮系統參數并建立了該系統的頻域模型，根據勞斯判據分析了系統穩定性。最后通過搭建模擬PID電路，進行了閉環PID控制的實驗，對信號進行頻域分析，驗證了頻域模型的正確性。通過以上的研究得到了以下結論：

（1）通過數學模型仿真與實驗對比，發現轉子的低頻振動來自混合磁懸浮控制系統的閉環控制固有頻域特性與白噪聲的激發，印證了混合磁懸浮二階模型的正確性；

（2）經過近30天的壓力測試實驗，磁懸浮測量頭持續準確地測量出壓力，證明未發生轉子懸浮的不穩定帶來的本底變化，磁懸浮系統維持低功耗懸浮運行。驗證了由數學模型得到的線圈參數、永磁體參數與安裝位置的合理性。

仿真結果與實驗結果的細微差別和實際懸浮中的低頻抖動表明，磁懸浮系統中仍有部分因素在建立模型時未被考慮到。有待進一步實驗研究，細化模型。