基于類龍伯格預測器的財務困境預警研究

任嘉嵩 伍胡星宇 任煒杰

【摘 要】 預測財務困境一直是財務管理中的重要環節，而傳統基于卡爾曼濾波的動態預警算法在應對噪聲分布不確定問題時難以保證預測結果的準確率，一定程度上降低了該方法的實際價值。針對其缺陷，文章創新性地提出了基于龍伯格觀測器理論和線性矩陣不等式技術的預測算法，在噪聲分布情況不能有效辨識或辨識誤差較大時預測效果更優，同時簡化了預測步驟，降低了計算復雜度。文章以滬深兩市電力企業為例，結合龍伯格觀測器理論設計預警模型，用線性矩陣不等式計算增益，應用數據分析和參數估計對各家電力企業財務狀態進行跟蹤和預測。同時與傳統基于卡爾曼濾波的算法橫向對比，更有力地突出類龍柏格預測器的預警效果和實用價值。

【關鍵詞】 財務困境； 類龍伯格預測器； 線性矩陣不等式； 狀態空間方程

【中圖分類號】 F224.9? 【文獻標識碼】 A? 【文章編號】 1004-5937（2023）05-0038-08

一、引言

財務困境理論是公司管理中一個重要的研究領域[1]。當出現內部管理不善、行業局勢動蕩、產品競爭力不足等情況，可能導致公司財務狀態由健康轉入困境甚至導致破產。不過公司陷入財務困境是一個動態的、連續的、可預測的變化過程[2]。20世紀60年代以來，西方學者對財務困境預警展開了廣泛的研究。從線性概率[3]、多元判別分析[4]、邏輯回歸[5]等靜態預警模型，到人工神經網絡[6]、卡爾曼濾波[7]等動態預警模型，相關研究成果層見疊出。靜態預測多基于發生財務困境前的單一時間樣本數據，其優點是不需要考慮資金時間價值，計算簡便；缺點則是忽視了不同時間點之間的有機聯系。因為企業從健康轉入財務困境是一個累積變異特性的過程，財務狀態所表現的突變性往往是這種累積變異特性達到臨界值造成的。因此，在對財務困境設計動態預警模型時應具備兩個條件：第一，所選財務指標數據應該追溯數期，可反映財務陷入困境前較長時間的財務變動；第二，預警系統的設計應充分考慮到財務狀態的累積變異特性。

在動態預警模型中，卡爾曼濾波作為當前較為主流的預測方法得到了廣大學者的青睞[7-15]。孫曉琳等[8]將廣泛應用于慣性導航、定位系統等領域的卡爾曼濾波引入財務系統，研究結果表明對？觹ST公司的財務預測擁有較高的辨識能力和跟蹤精度。莊倩[9]在前人的基礎上對財務預警模型做出改進，設計了超前n步預測?？柭鼮V波通過輸入輸出觀測數據，以實時遞推的方式不斷修正系統狀態變量估計，且無需存儲大量數據，通過觀測新數據即可得到新濾波值，但在設計上存在一定的缺陷：卡爾曼濾波的增益矩陣是在線更新的，存在因計算負擔過大而導致系統不穩定以致預測失敗的情況[10]。同時，卡爾曼濾波需知道系統噪聲和測量噪聲的協方差矩陣，即噪聲的統計學特征。當噪聲的分布情況不能有效辨識或辨識誤差較大時，預測結果的準確性將受到影響。

針對上述缺陷，本文以龍伯格（Luenberger）觀測器[16]代替卡爾曼濾波作為模型設計對象。龍伯格觀測器是一種有效解決動態系統控制率問題的方法，設計龍伯格觀測器的初衷是為了獲取模型所需的系統狀態變量。這些變量本身很難直接得到，但在實際控制系統中又有明顯的利用價值，基于狀態空間方程建立的龍伯格觀測器可將系統的輸入值與輸出值轉化為系統狀態變量以滿足模型需求。龍伯格觀測器結構簡易，性能表現良好，控制效果優異，在工業控制工程、電液控制系統和前饋控制策略中，選擇合適的反饋增益實現估計值和系統被估計值的零誤差，從而得到理想的系統狀態量[17]。與卡爾曼濾波方法相比，龍伯格觀測器離線計算增益，既能降低計算復雜度，又能規避在線更新增益的不穩定情況。

借鑒龍伯格觀測器在控制領域中采取合適的增益反饋實現系統零誤差，本文采用線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）技術計算增益，同時在計算過程中引入抑制噪聲的設計條件，盡可能減少噪聲對預警結果精確度的影響。有學者研究發現，線性矩陣不等式可用于解決非線性時滯的穩定性等工程控制問題[18]。后期，學者提出多種線性矩陣不等式數值解法，包括替代凸投影算法、內點法等。內點法又分為中心點法、投影法、原始對偶法，其共同思路都是把線性矩陣不等式問題看成凸優化問題處理。1995年矩陣實驗室（Matlab）集成了線性矩陣不等式工具箱（LMI Toolbox），這使得高維的線性矩陣不等式計算變成可能，同時也推動了運用線性矩陣不等式解決系統與控制問題的熱潮。

基于這兩個理論在數學與控制領域的優秀表現，本文創新性地將龍伯格觀測器與線性矩陣不等式技術相結合設計了類龍伯格預測器，探究其在財務領域的適用性。相比傳統的卡爾曼濾波預測設計，本文的創新點如下：第一，類龍伯格預測器采用時不變的增益矩陣L，不需要實時在線更新計算，一方面降低計算復雜度，另一方面能有效保證預測系統的穩定性，規避因在線計算而造成系統不穩定的情況；第二，類龍伯格預測器無需知道系統噪聲和測量噪聲的協方差矩陣，因此當噪聲辨識誤差較大時，本文的方法依然具有較高的精確性；第三，預測系統的增益矩陣可利用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱（LMI Toolbox）進行高效求解。

本文設計類龍伯格預測器應用于財務困境預警體系，基于龍伯格觀測器理論構建類龍伯格預測系統，并運用線性矩陣不等式技術計算增益；將我國電力企業財務指標與模型相結合，同時對數據進行預處理和主成分分析；對比卡爾曼濾波方法，驗證類龍伯格預測器對財務狀態的跟蹤和預測效果。

對全文所用到的符號做出如下解釋。Rn表示n維的歐幾里德空間，x∈Rn和A∈Rn×n分別代表一個n維的向量x和一個n×n維的矩陣A。矩陣P？酆0（P？芻0）表示P是一個正定（負定）的矩陣。AT為矩陣A的矩陣轉置。0和I分別為合適維度的全零矩陣和單位矩陣。在一個對稱矩陣中，？觹表示對應位置的元素可以由矩陣的對稱性得到，例如：

■？圳■

二、預警體系設計

類龍伯格預測器是一種時域方法，它基于系統狀態空間方程的構造，利用系統中的可測量和觀測量誤差作為系統反饋，通過選擇合適的反饋增益使得反饋誤差迅速逼近零，以此獲得待觀測量。類龍伯格預測器的關鍵技術之一是狀態空間方程。在動態數學中，狀態空間方程描述動態系統可分為三個步驟：引出狀態變量、建立狀態方程、建立用于觀測各狀態的測量方程。

本文用狀態方程和測量方程構造財務困境動態預測方程組，系統中用于表征目標各時間域的最小內部變量組xk∈Rn以列向量呈現，式中x1，x2，…，xn分別對應x的n維度狀態變量：

xk=x1，kx2，k■xn，k

狀態空間即狀態變量的集合，狀態變量的維數等同于狀態空間的維數。其中狀態方程用于表征目標各時期財務指標間的聯系，測量方程用于表征目標財務指標與財務狀態的關聯。引入時間序列的狀態空間方程可列式為：

狀態方程：

xk=Axk-1+wk-1? ? ? ? ? （1）

測量方程：

Zk=Hxk+vk? ? ? ? ? ?（2）

在式1和式2中，xk∈Rn是狀態向量；zk∈Rp是測量向量；wk∈Rn是系統噪聲向量；vk∈Rp是測量噪聲向量；A∈Rn×n是狀態轉移矩陣；H∈Rp×n是測量矩陣。

（一）預警系統設計

1.類龍伯格預測器設計

不同于傳統的基于卡爾曼濾波技術的動態系統預警方法[8-15]，本文設計全新的財務困境預測系統，即類龍伯格預測系統。該系統由如下兩個子模型構成，即式3、式4。

財務過程狀態預測模型：

■k+1=A■k+L（zk-H■k）? ? ? ? （3）

財務困境判別模型：

■k+1=H■k+1? ? ? ? ? ? ?（4）

其中，■k+1為財務狀態的預測值，■k+1為根據狀態預測值得到的困境判別變量，L∈Rn×p為類龍伯格預測器增益矩陣。

為了保證財務過程狀態向量的估計值■k不斷趨近于真實的狀態值（■（xk-■k）=0），進而能夠實現判別財務困境的目的，式3需要滿足穩定且不斷收斂的設計條件。定義ek=xk-■k為預測系統預測誤差，那么期望的設計條件也等價于系統的動態誤差系統穩定收斂（■ek=0），由定義可知：

ek+1=xk+1-■k+1? ? ? ? ? （5）

在式5中帶入式1和式3可得：

ek+1=Axk+wk-（A■k+L（zk-H■k））

整理可得到預警系統的動態誤差表達式：

ek+1=（A-LH）ek+wk-Lvk? ? ? ? （6）

2.增益矩陣計算

為了實時有效地預警財務困境，需要尋找合適的預警系統增益矩陣，使得預測的誤差系統穩定且收斂。本節將尋找增益矩陣的問題轉化為線性矩陣不等式的求解問題，在實現預測要求的同時，有效克服了傳統基于卡爾曼濾波方法需要在每個時刻k計算預測增益矩陣的缺陷。接下來將提出基于線性矩陣不等式技術[18]計算財務過程狀態預測模型式3中增益矩陣L的定理并給出相應證明過程。

定理1：若存在對稱正定矩陣P∈Rn×n、矩陣W∈Rn×p以及標量γ>0，使得線性矩陣不等式7和式8成立。

P？酆0? ? ? ? ? （7）

■？芻0? （8）

那么，所設計的財務困境預警系統模型式3、式4是穩定收斂的，并且系統的動態誤差滿足如下歐幾里德范數條件。

■<γ■? ? ? ? ? ?（9）

預警系統模型式3、式4的增益可由式10計算得到：

L=P-1W? ? ? ? ? ? ?（10）

為了簡化證明過程，式6可簡寫為：

ek+1=（A-LH）ek+Fδk? ? （11）

其中，F=[In-L]，δk=wkvk。

分析系統穩定性時，本文首先選取能量函數Vk=e■■Pek，其中，P為合適維度的正定對稱權重矩陣。若誤差系統式11的能量不斷衰減，則可以認為該系統穩定且收斂的，因為本文所考慮的財務困境預警系統模型式3、式4為離散數學模型，那么誤差系統能量不斷衰減用數學形式可表示為：

ΔV=Vk+1-Vk<0? ? （12）

即動態系統能量的差分函數始終小于零?？紤]到Vk=e■■Pek和Vk+1=e■■Pek+1，同時將式11帶入式12可得：

ΔV=（e■■（A-LH）T+δ■■FT）P×（（A-LH））ek+Fδk）-e■■

Pek? ?（13）

若式13對于k≥0始終滿足小于零的條件，則動態誤差系統式11是穩定的。但是考慮到狀態空間系統模型式1、式2中存在未知噪聲（系統噪聲wk和測量噪聲vk）的干擾，在設計類龍伯格預測系統時需要考慮抑制噪聲的設計條件。若要滿足式9所提出的范數條件，則需要能量函數的差分（ΔV）滿足：

ΔV<-e■■ek+γ2δ■■δk

將式13結果帶入可得到：

（e■■（A-LH）T+δ■■FT）P（（A-LH）ek-1+Fδk-1）-e■■Pek-1+e■■ek-1-γ2δ■■δk-1<0

將上式寫為矩陣的形式，即：

ek-1vk-1■■ek-1■k-1<0? （14）

其中，

？漬1=（A-LH）TP（A-LH）-P+I

？漬2=（A-LH）TPF

？漬3=FTP（A-LH）

？漬4=FTPF-γ2I

觀察可知，式14為二次型形式，故式14成立等價于：

■？芻0? ? （15）

根據矩陣Schur補引理[19]，由式15繼續推導可以得到：

■？芻0

由定義可知，F[In -L]，對上式進一步推導可得

■？芻0

不難發現，當前所得到的不等式為非線性的矩陣不等式（即存在待求得權重矩陣P和增益矩陣L以乘積PL的形式出現），求解上存在一定難度，故令W=PL∈Rn×p，可得到線性矩陣不等式8。

（二）卡爾曼濾波算法

作為類龍伯格預測器的對照組，基于卡爾曼濾波的預警方法同樣依賴于狀態空間模型式1和式2，并且在應用卡爾曼優化迭代算法時需要提供系統噪聲（wk）和測量噪聲（vk）的協方差矩陣，故需假定wk和vk都是均值為零、相互獨立并且符合正態分布的高斯白噪聲序列，則其協方差矩陣分別定義為Q和R，用公式可表示為：

E[wk]=0，E[wkw■■]=Q

E[vk]=0，E[vkv■■]=R

E[wkv■■]=E[vkw■■]=0

參照張東等[14]設計的財務危機預警機制，本文基于卡爾曼濾波的算法可概括為如下五個步驟。

第一步，假定k-1時最優估計■■已知，進行一步預測：

■■=A■■■

第二步，計算一步預測誤差方差矩陣：

P■=A■P■A■■+Qk-1

第三步，計算卡爾曼增益矩陣：

Kk=P■H■■[HkP■H■■+Rk]-1

其中，K為基于卡爾曼濾波的財務困境預警所需的增益，本文類龍伯格預測器所用增益為L。

第四步，基于卡爾曼增益，結合最小均方誤差原則修正第一步的預測結果■■，得到最優估計值：

■■=■■+Kk[Zk-Hk■■]

第五步，計算最優估計值■■的誤差方差矩陣：

P■=[I-KkHk]P■

卡爾曼濾波在隨機線性離散系統中的濾波計算是不斷重復預測與修正的遞歸過程，類龍伯格預測器的預測過程與之類似，但兩者仍存在以下區別：（1）本文所用方法以時不變的增益矩陣計算結果，而基于卡爾曼濾波方法的增益矩陣需要不斷更新[14]；（2）本文方法在預測時不涉及協方差矩陣Q和R的計算，而基于卡爾曼濾波方法的預測效果與噪聲分布情況（即Q、R）能否有效辨識高度相關。這兩點都會對最終的測量結果造成影響，因此，可將卡爾曼濾波預測結果設置為對照組對比兩者的預測精準度。

三、實證分析

利用我國電力企業的財務指標對上文所設計的類龍伯格預測器展開印證。首先進行樣本數據的篩選；其次對數據做指標一致性和無量綱化處理，通過主成分分析得到公司綜合得分；最后界定模型參數和閾值，為財務困境預警分析做準備[12]。

（一）樣本篩選

電力行業的碳排放強度一直遠高于其他行業，習近平總書記多次強調要加速綠色環保發展，革新高碳產業技術，提倡資源高效利用。未來市場局勢變幻莫測，技術革新的同時往往伴隨著市場經濟下滑等風險。因此，基于財務指標對電力企業展開財務困境預警將具有較高的現實意義。電力企業本身具有技術成熟度高、知識體系全面、發展趨勢穩定的行業特征，利用公開數據可以較為準確地衡量不同時期電力企業的發展變化。本文選取滬深兩市電力企業為研究對象，依據現有財務指標進行財務困境預警研究。

本文參考莊倩等[11]從償債能力、發展能力、經營能力、現金流量、盈利能力5個財務類別中篩選資產負債率、可持續增長率、營業凈利率等25項指標，從電力企業中挑選？觹ST公司和健康公司作為研究對象，考慮季節波動性大、半年度指標參考價值不高等因素，以一年為一個周期，將公司被？觹ST當期記為k，向前追溯10期，分別對應k-1，k-2，…，k-10，用于各年財務狀態的記錄和對比。

本文數據主要取自國泰安數據庫，對于缺失數據通過查閱公司年報等資料進行了核實和補充。最終選取32家？觹ST公司和32家健康公司，將每家公司為期11期的25項財務指標（指標體系見表1）作為樣本數據。

（二）數據分析

1.指標預處理

財務困境預警結果由各指標所表達的信息決定，但不同指標數值大小與其表達信息的效果并不一致，即存在正負指標混雜的情況，需對其進行指標一致化處理。同時，指標的單位不同，則數據之間不具備可比性，可通過無量綱化處理，在保留數據差異性的同時將數值確定在[0，1]之間。

（1）正指標預處理公式

X'j=■

（2）負指標預處理公式

X'j=■

式中，Xmax和Xmin為該指標對應公司各年份財務狀態的最高值與最低值，Xj和X'j為該指標預處理前后的數值。

2.主成分分析

為反映電力企業的真實情況，指標的選擇需全面且有代表性。但若處理所有的數據不僅會導致信息重疊，指標間的多重線性關系，還會引起較大誤差，增加預測結果的不確定性和復雜程度。因此，本文選擇主成分分析法，不僅能減少區別度不高的冗余指標個數，還能盡可能地保留原有數據信息。主成分辨別時可依據兩項原則：（1）特征值>1；（2）累計貢獻率>97%，可較好地實現數據降維目的。最終，本文使用Matlab R2018b提取每家公司相應的主成分。受篇幅限制，僅將？觹ST東方主成分分析結果（表2）呈現于文中。

在確認？觹ST東方主成分個數的同時，還可通過主成分分析得出基于這6個主成分11期的Z得分。依據主成分貢獻度數值和Z得分對應權重計算最終的綜合得分，得到公司不同時期的財務狀態。

（三）參數估計

若要進行有效預警，需要對式3和式4中的參數A和H進行參數辨識。另外，雖然本文提出的預測方法無需知道噪聲的統計學特征，但為了對比張東等[14]所用方法的預測效果，系統噪聲協方差矩陣（Q）、測量噪聲協方差矩陣（R）也需要通過辨識得到，同時本文沿用其極大似然估計方法辨識系統參數。以？觹ST東方公司的綜合得分為例，用Matlab R2018b計算可得出A=-0.153，H=1，對卡爾曼濾波預測模型中的協方差矩陣可辨識為Q=0.638，R=0。

（四）閾值確定

財務困境預警是依據財務判別閾值對不同時刻的財務狀態做出相應預警信號的，因此如何設置合理的閾值對預測準確度而言至關重要。本文依照中國證券監督管理委員會發布的“針對財務狀況異?！钡慕缍藴?，借鑒莊倩等[13]的統計分析法設立本文財務困境判斷閾值，在95%置信水平計算財務困境的置信上下限。

置信上限=XNST-za/2■

置信下限=XST+za/2■

式中，XNST和XST分別指樣本中所有？觹ST公司和健康公司財務狀態的平均值，za/2為置信系數，■和■分別指樣本中所有？觹ST公司和健康公司財務狀態的標準差。

利用Matlab R2018b計算得到財務困境判斷閾值：置信上限為-1.079，置信下限為-2.232。當預測值高于-1.079時，可判定該時刻財務狀態健康；當預測值介于-1.079和-2.232之間時，可判定該時刻公司面臨輕度財務困境；當預測值低于-2.232時，可判定該時刻公司陷入重度財務困境，公司必須及時管控風險，否則將面臨破產。

四、財務困境預警效果分析

（一）預測結果動態分析

本文對64家樣本公司進行動態預測，參照張東等[14]文獻中的模型參數設定卡爾曼濾波對照組，并與本文所用方法對照呈現于圖中，受篇幅限制僅呈現4家財務狀態預測結果（圖1—圖4），并在本節最后展示全部公司的財務預警正確率。

本文的方法是針對基于卡爾曼濾波方法在噪聲分布問題上存在的缺陷而設計的，為突出本文設計方法的預測優勢，對？觹ST華電進行特殊處理（對噪聲協方差矩陣設定50%的不確定性）。同時以曲線圖展現預警結果，可更直觀地展現數據跟蹤和預警結果。

1.？觹ST公司預測結果

圖1為？觹ST東方公司，該公司在2008年（k-2）以前財務狀況一直呈良好波動的發展趨勢，但在2009年（k-1）財務變化趨勢陡降，數值由-0.786跌落至-3.689，陷入重度財務困境；2010年（k）狀態略微好轉，但仍低于置信下限值。相比之下，基于卡爾曼濾波的預測值雖整體趨勢與真實值保持一致，但當財務狀態出現較大變動時，預測效果變差。該公司2010年被滬深證券標記？觹ST，而通過模型可以提早一年給出預警，也證明了類龍伯格預測器的良好表現。

2.健康公司預測結果

圖2和圖3是對皖能電力和寶新能源的預測，雖都為健康公司，但這兩家公司的財務狀態并不相似。皖能電力自2002年（k-10）以來，雖在2008年（k-4）存在財務狀態下滑的情況，但整體趨勢都是穩步上升；而寶新能源雖然還未被標記成？觹ST，但在2017年（k-2）和2018年（k-1）數值都處于重度財務困境的邊緣，亟須得到企業的關注。寶新能源應當攻克現有難題，努力調整公司運營和財務狀態，規避財務困境。

從圖2和圖3中不難發現，兩個模型對企業的財務狀況都進行了較好的跟蹤和預測。對皖能電力而言，兩種預測方法都能精準地體現財務變化趨勢，辨識出企業不斷上升的財務狀態。對寶新能源公司而言，雖并未標記？觹ST，但預測結果顯示其財務狀態并不樂觀，這說明本文所用方法對一些尚處在“健康”狀態的公司同樣具有一定的警示作用。

3.特殊處理后預測結果

圖4和圖5為？觹ST華電的特殊處理前后對比圖，此處的特殊處理為參數A和H保持不變，系統噪聲（wk）和測量噪聲（vk）對應的協方差矩陣Q和R各設定50%的不確定性，即模擬噪聲誤差對預警效果帶來的影響。如圖所示，兩種預測方法原先都有很好的預警效果，特殊處理后，類龍伯格預測器的預測曲線幾乎沒有變化，而卡爾曼濾波方法無法辨識出重度財務困境，失去了預警效果。

噪聲誤差是一種客觀存在的未知干擾，數學建模無法保證每次都能得到最優結果，當系統中的噪聲存在較大誤差時，輕則干擾預測結果精確度，重則嚴重偏離真實的模型動態。鑒于類龍伯格預測器無需系統噪聲和測量噪聲的協方差矩陣，因此當噪聲的分布情況不能有效辨識或辨識誤差較大時，該方法的預測結果依然具有較高精確性。

（二）預警正確率分析

本文選取樣本32家？觹ST公司和32家健康公司應用分類識別錯誤率對本次預警系統正確率進行測試。參考孫曉琳[15]采用的錯誤分類識別規定如下：當一家？觹ST公司被錯誤識別為健康公司時，可認為屬于型I類錯誤；當一家健康公司被錯誤識別為？觹ST公司時，可認為屬于型II類錯誤。兩種預警模型的識別正確率見表3。

對比預警模型的識別正確率，可發現兩種模型都較好地實現了對財務狀態實際得分的追蹤和預警。而本文方法的優勢在于：當噪聲分布情況不能有效辨識或辨識誤差較大時，依舊擁有較好的預測水平。建模、測量手段，甚至是財務數據真實性、市場波動等因素都會使得系統存在較大誤差，故本文提出的預警方法在兼顧了預測性能和設計復雜度的同時，還具有相對較強的可適用性。

五、結論

針對財務動態預警中存在的噪聲誤差、在線計算量大等問題，本文創新性地設計了類龍伯格預測器模型，對電力企業財務狀態展開預測，并設置卡爾曼濾波方法作為對照組。依據分析結果可知，類龍伯格預測器在財務領域具有較高的實踐價值，同時在處理噪聲和增益方面比卡爾曼濾波更具優勢，預測成本小，預警正確率也更高。

總的來看，實驗結果大致符合建模預期?？紤]到本文首次基于龍伯格觀測器與線性矩陣不等式技術設計類龍伯格預測器進行財務困境預警，缺少與現有管理系統的有機結合，在未來可作為學習研究方向繼續挖掘類龍伯格預測器在財務領域的潛在價值。

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