與二次函數相關的最值問題求解策略

甘肅省甘谷縣西關中學

王彩蘭

對于與二次函數相關的線段最值問題的考查，往往涉及到的知識點主要有以下幾點：其一是兩點之間線段最短；其二是垂線段最短；其三是三角形三邊關系等內容.如何針對這一考點引導學生對“動”和“定”之間的關系進行思考研究，處理問題中運動變化關系與幾何元素的位置、數量關系，提升學生的解題能力和識別能力，從而落實相關的探究活動過程，真正實現數學核心素養要求？本文中結合常見的幾種類型作簡單的說明.

1 求動點到直線距離的最值：建立二次函數

例1如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OA=OC=3，頂點為D．在AC下方的拋物線上有一點P，過點P作PH⊥AC于點H，求線段PH的最大值及此時點P的坐標.

圖1

圖2

圖3

如圖2，我們可以過點P作PE垂直x軸于點E，交直線AC于點F.根據直線AC的解析式判斷其與x軸的夾角，從而確定PF與PH的關系，結合點P在二次函數上，可以直接寫出線段PF的函數關系式，建立二次函數，利用二次函數求解最值，問題得到解決.

再如：如圖3，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，與y軸相交于點C(0，-3)．若P是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，PH垂直x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．求線段PM的最大值.

這道題可以根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標與較小的縱坐標的差，可得二次函數，進而根據二次函數的性質，可得答案.

2 求動點與其他兩定點組成的三角形周長的最值：建立“將軍飲馬”模型

例2如圖4，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C(0，-3)．在其對稱軸上確定一點P，使得△BCP的周長最小，試求周長的最小值和點P的坐標.

圖4

圖5

要使△BCP的周長最小，因為點B和點C固定，BC為定長，則只要PB+PC最小即可．如圖5，由于點A與點B關于對稱軸對稱，從而連接AC交對稱軸于點P，則PA+PC=PB+PC=AC，根據兩點之間，線段最短，可得PB+PC的最小值，故可求△ABP周長的最小值．本題在處理三角形周長最小值的過程中，將PB+PC轉化為“將軍飲馬”模型進行研究，從而將問題轉化為“兩點之間線段最短”問題即可得到解決.

圖6

3 求動點到兩定點距離之差的最值：轉化為三點共線問題

圖7

例3如圖7，已知拋物線過點O(0，0)，A(5，5)，且它的對稱軸為x=2．點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B的坐標為(2，8)，若P是拋物線上的動點，當PA-PB的值最大時，求點P的坐標以及PA-PB的最大值．

圖8

如何探求其差最大呢？我們

不妨建立新的圖形進行研究.如圖8所示，連接AB并延長，交x軸于點P，任取一點P′，連接AP′，BP′，在△ABP′中，根據三角形的性質，兩邊之差小于第三邊，即AP′-BP′

對于例3,運用待定系數法可求得直線AB的解析式為y=-x+10，當PA-PB的值最大時，點A，B，P在同一條直線上，聯立方程組求解即可求得點P的坐標，利用兩點間距離公式可求得AB，即PA-PB的最大值．

4 “一定兩動”三角形面積的最值：定底求高轉化為線段最值

此類問題往往考查“拋物線上是否存在一動點，使之與一條定線段構成的三角形面積最大”，這類問題我們也可以簡稱為“一定兩動”求面積最值問題.解答過程中可以先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度，然后利用拋物線上動點到該線段的距離確定最大值，之后再利用三角形的面積公式即可確定其最大值，在求解過程中，切點即為符合題意的點.當然也可以將所求三角形分割成兩個基本模型的三角形，根據切割后三角形的底和高的情況進行求解，這種方法常常會通過二次函數表示，根據二次函數最值求解即可得到.

圖9

例4如圖9，二次函數y=-x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B(4，0)，另一個交點為A，且與y軸相交于點C．在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

圖10

5 “兩定兩動”四邊形面積的最值：轉化為三角形求解

圖11

例5如圖11，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx的圖象經過A(5，0)，B(4，4)．在第一象限的拋物線上存在點M，使以O，A，B，M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．

根據題意可知，以O，A，B，M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，如圖12，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大.求出另一個三角形面積的表達式，利用二次函數的性質確定其最值即可.顯然，本題中四點所構成的四邊形，因點M的位置不確定，故可根據情況進行分類討論：當0

圖12

圖13

根據上述內容，我們可以在探究幾何模型過程中挖掘求線段最值問題圖形的本質，再結合相關內容涉及到的最基本的原理、法則，將多種問題轉化為同一類問題來解答，實現方法、思路歸一的結果.同時在計算過程中引導學生感悟化歸轉化、數形結合及函數、方程建模的應用，從而將各種方法靈活運用于問題探究過程中.