江蘇省蘇州市吳中區迎春中學
沈 萍
數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.學生數學活動經驗的積累是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀,是在數學學習活動過程中逐步積累的[1].而在數學教學中有效地運用數學實驗,有助于積累數學活動經驗,啟迪學生思維,促進學生深度學習.
數學實驗是一種有效的數學學習活動,它能夠使知識內容變得形象具體化.數學實驗的直觀性,有助于激活學生對數學的學習主動性,并從動手操作、經歷體驗中發現數學的本質,探索規律,歸納總結,有助于培養學生主動發現規律的意識,促進學生數學思維的形成.
案例1在探索“正方體表面展開圖”時,筆者引導學生動手操作,得到不同的正方體表面展開圖,并總結正方體的表面展開圖的口訣.
操作:
(1)課前分好小組,并讓每位學生準備好一個正方體;
(2)課上請同學們沿著棱剪開,得到正方體的表面展開圖.請組長將不同的正方體表面展開圖展示在黑板上.
正方體的表面展開圖共有11種,那么如何記住并判別正方體的表面展開圖呢?筆者引導學生探索規律,歸納總結了正方體表面展開圖的類型,并根據同一類型不同展開圖的特點創新了通俗易記的口訣.
“141型”(如圖1)口訣:中間四個一隨意.
圖1
“231型”(如圖2)口訣:二三錯開一隨意.
圖2
“222型”(如圖3)口訣:兩兩相連各錯一.
圖3
圖4
“33型”(如圖4)口訣:三三兩排錯兩位.
本案例由于是學生自己動手操作并探索出的規律,所以記憶會更加深刻.讓學生主動參與數學實驗,不僅能夠激發學生濃厚的學習興趣,有效促進數學實踐能力的發展,促使學生思維與創造共生,實現課堂教學效益的最大化,還能無形中促進學生發生深度學習行為,發展學生思考探究的品質,培養學生的創新能力.
在數學課堂教學中,教師應充分發揮學生的主觀能動性,運用數學實驗,引導學生動手操作,讓學生在操作中思考,提出猜想并進行有效驗證,從而完成推理,獲得最終結論.運用實驗可以開發學生思維潛能,促進學生深入學習.
案例2在探索“同弧所對圓周角和圓心角的關系”時,筆者從學生的角度展開教學,巧妙地引導學生開展數學實驗,進行動手操作.通過度量,猜想同弧所對圓周角和圓心角的關系.
操作1:學生用量角器度量,探究同弧所對圓周角和圓心角關系.
作法:
(1)要求學生在紙上畫⊙O,并在圓上任取兩點B,C;
(2)畫出同弧BC所對的圓周角∠BAC和圓心角∠BOC;
(3)度量圓周角∠BAC和圓心角∠BOC.
猜想:圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.
操作2:運用幾何畫板度量(更精確),驗證猜想.
讓學生拖動點C,使圓心角∠BOC和圓周角∠BAC度數發生變化,觀察幾何畫板度量出來的圓周角∠BAC和圓心角∠BOC的大小,發現圓周角∠BAC的度數始終等于圓心角∠BOC度數的一半(如圖5).
圖5
師:既然我們通過度量,發現了圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.那么如何證明這個結論?我們先研究圓周角與圓心角具有特殊位置關系(即圓心在圓周角的一邊上)的情形.
生:如圖6,
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
∴∠BOC=∠A+∠B=2∠A.
師:圓心可以在圓周角一邊上,還可以在圓周角的哪里?
生:可以在圓周角的內部或外部.
師:對于圓心在圓周角內部的情形,你能證明此結論嗎?(可以轉化為圖6的情形)
圖6
圖7
圖8
生:如圖7,當圓心在圓周角內部時,作直徑AE,圓周角∠BAC就分成了兩個圓周角∠EAB和∠EAC,且圓心O在邊AE上.
∵∠BAC=∠EAB+∠EAC,
師:對于圓心在圓周角外部的情形(如圖8),你能證明此結論嗎?
此案例運用數學實驗,讓學生通過量角器度量得到猜想,運用幾何畫板進行驗證,最后運用演繹推理證明,并滲透轉化思想,使學生的學習熱情達到高潮.在數學實驗的情境下,引導學生自主探究,實現數學思想和實踐的對接,激起歸納與演繹的融合,有效促進學生透過表象認識數學本質,從而提升學生學習深度,培養學生主動探究的能力.
數學知識抽象且枯燥,學生解題時,常常會陷入難以理解的困境中,從而影響學生學習的積極性.因此為了幫助學生攻克難點,教師可以運用幾何畫板輔助實驗教學,構建直觀動態的教學情境,幫助學生對數學知識有更好的了解,從而突破難點.
比如,初中數學中的動點問題是中考的熱點,也是難點,是學生比較頭疼的問題.解決這類問題的關鍵是跟蹤全過程,動中找靜,變中找不變.但是由于數學知識的抽象,學生在分析時往往不夠全面.若用幾何畫板開展數學實驗教學,則可將動態變化的全過程直觀地展示在學生面前,有助于學生分析和解決問題,從而攻克難點.
案例3在講解“動點問題”時,筆者運用幾何畫板開展數學實驗教學,分解難點.
圖9
(1)當P異于A,C時,請說明PQ∥BC;
(2)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個運動過程中,t為怎樣的值時,⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點?
對于第(2)小題,⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點的情形,學生往往分析得不完整,因此筆者運用幾何畫板展開數學實驗教學,向學生展示⊙P運動的全過程,并要求學生觀察⊙P與邊BC的公共點個數的變化情況.
拖拉點P,點P從點A到點C的過程中,過點P作PH⊥BC于點H.如圖10,⊙P與邊BC沒有公共點;如圖11,⊙P與邊BC有1個公共點;如圖12,⊙P與邊BC有2個公共點;如圖13,⊙P與邊BC有1個公共點;如圖14,⊙P與邊BC沒有公共點;如圖15,⊙P與邊BC有1個公共點.
圖10
圖11
圖12
圖13
圖14
圖15
為了解決t為怎樣的值時,⊙P與邊BC有1個公共點和2個公共點,教師可引導學生找到臨界狀態并計算t值.
在學生充分理解整個變化過程的基礎上,筆者可以繼續追問:“t取怎樣的值時,⊙P與邊BC無公共點?”
通過幾何畫板開展數學實驗,可以攻克難點,引領學生探索數學知識的本質.不僅能有效地鍛煉學生學習數學的思維方式,還能夠加強學生分析和解決問題的能力,激發學生主動探索數學知識的熱情,促進學習質量的提高.
圖形的運動變換是初中數學的重要內容.運用實驗,讓圖形動起來能揭示研究對象的本質.充分利用運動變換觀察、認知、理解圖形有助于學生幾何直觀能力的培養.
案例4在研究“圓的旋轉不變性”時,筆者設計實驗,讓學生對透明紙片進行旋轉,從而驗證圓的旋轉不變性.
操作:準備3張透明紙片(如圖16-1,16-2,16-3).
①畫⊙E,且與圖16-1中的⊙O等圓,畫∠CED=∠AOB.將透明紙片覆蓋在⊙E上,圓心重疊,并用針尖固定圓心.旋轉透明紙片.將透明紙片上的∠AOB旋轉到∠CED的位置,你有什么發現?
②畫⊙E,且與圖16-2中的⊙O等圓,畫CD=AB.同樣按照上述方法操作,你有什么發現?
③畫⊙E,且與圖16-3中的⊙O等圓,畫弧CD=弧AB.同樣按照上述方法操作,你有什么發現?
圖16-1
圖16-2
圖16-3
此案例讓學生經歷圖形旋轉的運動過程,直觀感受圓的旋轉不變性,探究并驗證在同圓或等圓中,圓心角、弧、弦的關系.運用實驗,變動圖形,讓學生用運動的觀念看問題,化靜為動,動中觀靜,動靜結合,發展了學生的動態表現力和直觀洞察力[2],有助于學生幾何直觀能力的培養,促進學生深度學習.
在初中數學幾何與圖形領域教學中,恰當地引入數學實驗是引導學生發現問題、提出猜想、驗證猜想和創造性地解決問題的有效途徑.數學實驗教學能調動學生各方面的學習經驗,理清數學本質,深刻理解數學內涵,促進數學的深度學習,也有助于學生在數學思想感悟和理性精神培育上獲得發展.