求動點的軌跡方程的四種方法

覃建妹

動點的軌跡問題常常出現在解析幾何問答題的 第一問中.這類問題的難度一般不大，同學們需正確理 解曲線與方程之間的關系，會用方程的觀點與思想， 并能根據所給條件選用適當的方法，就能求得動點的 軌跡方程.那么求動點的軌跡方程有哪些方法？下面 結合例子進行介紹.

一、直接法

直接法也叫直譯法.若動點運動的條件是一些已 知的（或通過分析得出）幾何關系，則可將這些幾何關 系直接“翻譯”為代數語言，即用含 x、y 的等式表示， 所得等式即為動點的軌跡方程.

例1

解：

本題較為簡單，可采用直接法，根據題意設出動 點P的坐標，根據直線的斜率公式建立關于x、y的關 系式，即可解題.

二、相關點法

若動點 P（x，y） 與已知曲線上的動點 Q（x0，y0） 有關 聯，則可采用相關點法，先列出關于 x、y 、x0、y0 的方 程組；然后用 x、y 表示出 x0、y0 ；再把 x0、y0 代入已知 曲線的方程中，便可得到動點P的軌跡方程.

例2

解：

本題中 M 隨著 P 的變化而變化，于是用 M（x，y） 的坐標表示 P（x0，y0） 的坐標，并將其代入 P 點所滿足 的圓的方程中，即可得到動點M的軌跡方程.

三、定義法

定義法是指根據圓錐曲線的定義解題.若動點的 軌跡為圓、橢圓、雙曲線、拋物線，則可根據圓的定義， 即動點到定點的距離為定值；橢圓的定義，即動點到 兩定點距離之和為定值；雙曲線的定義，即動點到兩 定點的距離之差為定值；拋物線的定義，即動點到定 點與到定直線的距離相等，來建立幾何關系，求得方 程中參數的值，即可確定動點的軌跡方程.

例3

解：

由橢圓的定義可知點 E 的軌跡是以 A（-1，0） ， B（1，0） 為焦點，長半軸長為 2 3 的橢圓，所以點E的軌跡的方程為：x 2 3 + y2 2 = 1（y ≠ 0） .

解答本題，要先根據題意畫出圖形，建立線段之 間的關系 |EA| + |EB| = 2 3 > 2 = | AB| ，即可根據橢圓 的定義，將A、B視為定點，即焦點，2 3 視為橢圓的長 軸長，該橢圓的方程即為動點E的軌跡方程.在運用定 義法解題時，要關注動點的軌跡范圍，以確定x的取值 范圍.

四、參數法

若不易找出動點的坐標之間的關系，則可考慮借 助中間變量（參數），把 x，y 聯系起來，建立方程；再通 過等量代換，消去參數，所得的方程即為動點的軌跡 方程.

例4

解：

解答本題主要采用了參數法.先引入參數，設出 Q（x，y） 、A（x1，y1） 、B（x2，y2） 以及直線的方程；然后建立方 程組；再根據韋達定理求出點 Q 的軌跡方程.

以上四種方法都是求動點的軌跡方程的常用方 法.在遇到問題時，應先分析動點滿足的條件，尤其是 要善于挖掘其隱含條件；然后再選擇恰當的方法進行 求解.但無論選擇哪種方法，都需靈活運用數形結合思 想和方程思想來輔助解題，這樣才能有效地提升解題 的效率.

本文系貴州省銅仁市教科所立項課題《變式訓練 在高三數學復習教學中的應用實踐研究》，課題編號： 2019sj226

（作者單位：貴州省松桃苗族自治縣第六中學）