立足數學文化,促進教育發展

高宇鵬 江濤

[摘 ?要] 數學教學中滲透數學文化具有應用價值、教育價值、美學價值等. 文章提出滲透數學文化須遵循相關性、趣味性、適度性等原則，并從課堂教學實錄出發，具體介紹了基于數學文化滲透的解題教學措施與方法，最后從以下三方面提出思考：介紹數學史，激發解題興趣;揭露數學美，培養審美情操;滲透數學思想，發展數學核心素養.

[關鍵詞] 數學文化;解題教學;思維

近年來，隨著新課改這股風的流動，數學文化已經潛移默化地滲透到高考試題中，這意味著高考不只考查學生的知識與技能，還注重學生的綜合素養. 這就要求教師在日常教學中，應重視數學文化的研究，善于利用數學文化資源，引導學生在各種課型中感知、體驗數學文化的價值，全方位提升學生的數學核心素養.

數學文化的價值

鄭毓信教授提出：數學文化是一種既獨立又開放的系統，是數學共同體特有的觀念、行為與態度，也可以理解為數學傳統，它以獨有的方式推動著人類文化的進步與發展[1]. 數學文化可以幫助人們更好地認識、理解、改造這個世界，幫助人們更加科學地掌握學習方法，提升認知水平層次，對鍛煉人的意志品質，增強人的理想信念，提升人的文化品味具有直接影響.

1. 應用價值

數學文化在人類生活的各個方面以及社會發展的各個領域中應用得極為廣泛，如信息技術的發展就離不開數學文化的支撐——計算機的運行需要相應的軟件，而軟件就是數據結構、二進制與算法等數學知識的應用體現. 正如谷超豪先生所言：“數學是現代高科技的核心，而數學文化又是促進數學教育發展的基石. ”

數學因應用而產生，為應用所發展，如我們日常購物、就餐、分析股市、貸款投資等，都離不開數學知識的輔助，而這些知識的發展都依托于數學文化的日積月累. 因此，數學文化具有重要的應用價值.

2. 教育價值

數學文化屬于人類文化的精華，能大幅度提升人類的綜合素養. 當人們掌握數學基礎知識、數學思想方法、數學精神時，能夠不斷提升思維能力，具備更好的數感與符號意識等[2]. 因此，數學文化的教育價值是其他任何訓練方式都無法替代的.

除此之外，數學文化還能提升人們的鑒賞能力與解決實際問題的能力，一個具備良好的文化內涵與品味的人，不僅擁有“真善美”的特質，還擁有一個睿智的大腦. 因此，數學文化具有重要的教育價值.

3. 美學價值

以核心素養為導向的數學教學，需要將美學素養作為教學的重要內容之一. 數學美一般以結構的方式呈現，屬于一種含蓄、深沉、科學的哲學之美，尤其是一些獨特的數學知識，能夠體現出數學學科獨有的美感. 如最簡的數學定理——歐拉定理，它以獨有的美感在世界數學史上占有不敗之地;再如勾股定理，它為人類創造出了無限的價值，它的美體現在方方面面.

數學是一門充滿藝術的學科，稱為“藝術”必有美學價值. 它的美與繪畫的視覺、音樂的視聽有所區別，數學文化的藝術美主要體現在科學范疇，如黃金分割的應用等，都展現了數學文化的美學價值.

滲透原則

1. 相關性原則

課堂教學關注更多的是學生“四基”與“四能”的發展情況，常忽視數學文化對核心素養發展的影響. 事實證明，將“四基”與“四能”的發展與“數學文化”有機地結合在一起，往往能達到事半功倍的效果. 這就要求教師在教學中，能根據教學內容滲透與之相關的數學文化，幫助學生從教學目標上建立聯系. 長此以往，學生不僅能收獲豐富的知識，還能接受數學文化的熏陶，促進核心素養的發展.

2. 趣味性原則

法國帕斯卡提出：數學是一門嚴肅的學科，教師應想方設法讓它變得有趣. 教師若能結合學生的身心發展規律，在課堂上滲透一些風趣且有內涵的數學文化，不僅能活躍課堂氣氛，調動學習熱情，還能激發學生的學習動機，讓學生產生探索欲，形成深度學習.

值得注意的是，教師不能為了“趣味”而隨意選擇一些沒有根據的數學“史料”，滲透數學文化講究趣味性的同時，還要注重其科學性、嚴謹性，擇取與教學內容相關且有教育意義的數學史料，才能讓學生集中注意力更深層次地理解知識的來龍去脈，讓課堂充滿活力且不失“莊重感”.

3. 適度性原則

數學文化固然重要，但滲透時也要把握好“度”. 首先，數學文化的滲透應在教學內容的基礎上實施，應在能順利完成教學目標的前提下進行，切忌將數學課上成歷史課，出現喧賓奪主的現象;其次，擇取的數學文化難度要適中，過于簡單的內容難以達到預期效果，過于繁雜的內容又難以激發學生的探索欲，而落于學生最近發展區的內容才是恰到好處的.

解題教學中的滲透方法

例1 已知在△ABC中，A≥60°，求證：2a≥b+c.

這道題的起點比較低，學生很快就提出了用正弦定理“邊化角”的方法解題，即將a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入問題，得到2a≥b+c與2sinA≥sinB+sinC等價. 這是應用化歸思想，兼顧條件與結論的過程.

學生求證過程為：從項數變化考慮，2sinA≥sinB+sinC與2sinA≥2sincos等價. 由于sin=sin=cos，因此僅需證明sinA≥coscos即可.

關于sinA≥coscos的證明，學生呈現出了如下過程：sinA≥coscos的左邊存在sinA，右邊存在cos，從倍角公式出發，可改證2sincos≥coscos. 同時，在△ABC中，由A≥60°可得30°≤<90°，所以cos>0，也就是證明2sin≥cos. 因為2sin≥2×sin30°=1，但cos≤1，所以2sin≥cos成立.

從學生的證明過程來看，接近完美. 證明2a≥b+c前，學生就自主發現了條件和結論在形式上存在差別，因此用正弦定理實施轉化，而后通過角與項數的變化，讓不等式的兩邊進一步簡化、整齊. 教師在此過程中與學生分享了正弦定理的數學史料，讓學生在心理上產生了一種愉悅感，并從中體驗到了數學之美.

例2 在△ABC中，如果A≥60°，R，r分別為△ABC外接圓和內切圓的半徑，求證：2R+4（-1）r≥b+c.

學生經過思考，認為解決本題的難點在于如何將R，r，b，c轉化為統一的形式. 從例1的解題思路出發，用正弦定理可以聯系△ABC的邊以及其外接圓的直徑，至于怎樣將R，r以及△ABC的三條邊聯系起來，還有待研究.

為了幫助學生理清解題思路，教師進行了如下點撥：解題時，如果實在找不到方法，可以借助數形結合思想，將抽象的問題轉化為直觀形象的圖形.

基于教師的引導，學生呈現出了如下解題過程：

如圖1所示，已知△ABC的內切圓和三條邊的切點分別為D，E，F，內心為I. 根據相切關系，不難理解ID，IE，IF分別與BC，AC，AB邊垂直，借助面積法得S=S+S+S，于是bcsinA=（a+b+c）r，所以r=①.

接下來將式①代入2R+4（-1）r≥b+c，則證明2R+4（-1）·≥b+c②. 借助正弦定理，消除正因子2R后，則證明1+4（-1）≥sinB+sinC③.

教師充分肯定了學生的證明過程，這里將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個角的正弦的不等式，問題變得簡單許多. 此時，又有學生主動提出了新的運算方法：從r的表達式和角A的關系出發，根據△ABC三條邊與☉I相切的條件，獲得三條切線的長. 假設AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z，有z+y=a，z+x=b，x+y=c，可知x=. 同時tan=，因此r=xtan=tan④. 將不等式②轉化成2R+4（-1）tan≥b+c后，應用正弦定理，再將不等式轉化成1+2（-1）（sinC+sinB-sinA）tan≥sinB+sinC⑤.

如此轉化使得內切圓的半徑和角A產生了關聯，改變了解題目標. 至于不等式③或不等式⑤該如何推進，化簡不等式③中復雜的分式或不等式⑤中左邊偏復雜的第二項即可.

老子曰：“大道至簡. ”以上解題過程告訴我們，數學解題追求的是一種簡潔、對稱與賞心悅目. 化繁為簡的過程是促進學生思維發展的過程，亦是讓學生感知數學文化博大精深的過程.

接下來，學生提出用三角形內角和與和差化積公式，得到sinA+sinB+sinC=4coscoscos⑥，sinB+sinC-sinA=4cossinsin⑦，將式⑥代入不等式③中的分母，不等式③的分子利用倍角公式展開，或將式⑦代入不等式⑤，把tan化弦后消除cos，獲得待證明的同一不等式1+8（-1）sinsinsin≥sinB+sinC⑧. 在此基礎上將不等式⑧轉化為1+2cos·

2（-1）sin-cos

-4（-1）sin2≥0⑨（過程略）后再證明.

雖然此運算過程比較繁雜，但均為三角函數常規運算. 令學生感到意外的是內切圓的半徑竟然存在兩種代換方式. 最終學生利用分類討論思想與放縮法，通過不等式證明法獲得結論.

以上解題過程帶給了學生較大的震撼，在解決數學問題時，我們需要從辯證唯物主義的角度出發，一分為二地進行觀察與分析，只有踏踏實實地落實“四基”與“四能”，才能在數學道路上走得長遠.

幾點思考

1. 介紹數學史，激發解題興趣

數學史是數學文化的重要組成部分，教材上所呈現的任何一個概念、定理或法則都不是憑空出現的，都有一個形成與發展過程[3]. 在解題教學中，教師可在學生應用某些定理時適當地滲透數學文化，激趣的同時深化學生對定理的應用意識.

如例1，題目門檻較低，學生順利解題的同時，教師將相關定理的數學史料拎出來與學生分享，成功地激發了學生對這一類問題的研究興趣，為接下來的解題教學奠定了良好的情感基礎.

2. 揭露數學美，培養審美情操

若藝術美屬于感性美，則數學美屬于理性美和抽象美，它是一種數學思想、科學精神，需要人們用心去體會與領悟. 在解題教學中，尤其應注重數學的簡潔美. 簡潔美可以表現在數學語言、解題方法上. 哲學家狄德羅提出：美是將苦難、繁雜的問題簡單化的過程.

在上述例題教學中，證明不等式2a≥b+c前，學生就自主發現了條件和結論在形式上存在差別，于是利用正弦定理實施轉化，而后通過角與項數的變化，讓不等式的兩邊進一步簡化、整齊;在不等式2R+4（-1）r≥b+c的解決過程中，學生將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個角的正弦的不等式，讓問題變得簡單許多. 這些都揭露了數學的簡潔美，為培養學生的審美情操奠定了基礎.

3. 滲透數學思想，發展數學核心素養

學校教育的最終目標是促進學生更好地生活與工作，數學知識是教學的基礎，數學思想方法則是促進學生形成可持續發展的關鍵. 數學思想方法是對問題本質的認識，與知識相比，思想方法的應用更深刻、廣泛、久遠.

如上述例題教學，就應用到了數形結合思想、化歸思想、轉化思想、分類討論思想與整合思想等，這些思想方法的介入讓解題過程變得更加簡便，也讓學生的頭腦變得更加清晰. 因此，數學思想方法的應用是滲透數學文化必不可少的重要環節.

總之，數學文化是促進數學教育發展的關鍵. 作為新時代的數學教師，除了要有扎實的專業水平，還要“上知天文，下知地理”，要能在課堂恰當的時機“信手拈來”，推出與教學相關的數學文化知識，以激發學生的學習興趣，夯實學生的知識基礎，從真正意義上促進學生數學核心素養的形成與發展.

參考文獻：

[1] 鄭毓信，梁貫成. 認知科學建構主義與數學教育[M]. 上海：上海教育出版社，2002.

[2] 李小平. “數學文化”課的教學研究與實踐[J]. 湘南學院學報，2013，34（05）：58-61.

[3] 葛亞平. 數學教學中融入數學文化的有效策略[J]. 教學與管理，2016（36）：100-102.