初中數學教學中關于數學建模的理解與路徑探究

王莉

［摘? 要］ 初中數學教學要高度重視數學建模的價值. 站在教學的角度來看，要讓學生經歷數學建模的過程，要讓學生在數學建模過程中認識到模型的價值. 數學建模體現著數學學習過程的本質，是提升學生學習品質的重要途徑. 只有讓學生體驗到數學建模的過程，數學建模的意義才能凸顯出來. 數學建模過程中要重視學生的體驗感、獲得感和成就感. 初中數學教師的重要任務之一，就是運用數學建模思想去引導學生認識并把握模型教學的意蘊. 從教學任務、教學時間、教學策略的角度來看，數學建模對數學教師提出了更高要求.

［關鍵詞］ 初中數學；數學建模；數學建模理解；數學建模路徑

建立模型對于初中數學教師來說并不陌生，具有一定教學經驗的教師也都知道在20世紀90年代，我國基礎教育曾經流行過一陣“建?！憋L，后來隨著課程改革的推進，一些新的教育概念層出不窮，相比較而言，“建?！边@一概念有一些淡化，但這并不意味著建模退居幕后. 就數學學科而言，數學建模一直受重視，《義務教育數學課程標準（2022年版）》就明確提出了數學教學要讓學生“學會以數學的語言表達現實世界”（這是義務教育數學學科核心素養的三個內涵之一），這實際上就是在強調數學建模的價值與作用. 通常情況下，一線數學教師將數學建模理解為建立模型. 這樣的理解當然是正確的，但如果站在教學的角度來看，要讓學生經歷數學建模的過程，要讓學生在數學建模過程中認識到模型的價值，那么教師就必須理解數學建模的內在機制，以及理解學生在數學建模的過程中會有怎樣的心理歷程，只有這樣才能確定出符合學生認知規律、能夠體現數學建模特點的教學路徑，也才能讓學生的數學建模能力在一步步的積累中上升為數學建模素養.

理解數學建模的含義

從一般意義的角度來看，數學建模就是指建立數學模型. 理解數學建模含義時，首先要知道什么是數學模型. 通常認為，數學模型是指針對一個特定的數學問題，根據其特有的本質規律進行一系列簡化、假設處理，并運用適當的數學工具來得到一個數學結構模型. 從這樣的理解可以發現，數學模型與人們常說的實物模型并不完全是一回事，數學模型可以包括實物模型，比如教學“長方形”時，給學生呈現的長方形物體就是一個實物模型；但是更多情況下，數學模型往往是結構模型，也就是借助數學工具來體現數學概念、規律的模型. 相應地，建立這樣模型的過程，就是數學建模的過程. 從宏觀角度來認識，數學建模就是根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果解決實際問題，并接受實際的檢驗. 數學建模強調的是讓學生參與思考過程，致力于學生思維能力與創新能力的培養，促進學生全面發展［1］.

由此可見，面向初中生的數學建模，要將其理解為促進學生進行數學抽象、優化學生建構知識的有效手段. 數學模型是客觀的，數學建模的過程卻充滿著主觀特征. 數學知識體系中的相關概念與規律可以稱為數學模型，在解決典型問題時形成的一般性思路也可以歸納為數學模型，因此建構重要的數學概念和規律，總結問題解決思路的過程，又可以理解為數學建模過程. 但是這樣宏觀的理解，去思考數學建模對于日常教學的意義，還需要形成如下兩點認識：

其一，數學建模體現著數學學習過程的本質. 傳統意義上對數學學習的認識，就是學生接受教師所講授的數學知識，然后將這些數學知識運用于解題和考試. 當下的學習理論認為，學習是學生自己的事情，學生所獲得的知識不是由教師傳遞的，而是由學生自主建構的. 對于數學知識而言，這樣的建構過程與數學建模的過程高度相關，可以說離開了數學建模過程，就談不上數學知識的建構. 數學建模是數學知識建構的內核，體現著學生學習數學的本質，彰顯著數學學科知識形成的基本特征.

其二，數學建模是提升學生學習品質的重要途徑. 數學學習對于學生成長的意義在于幫助學生積累基本的數學知識、形成基本的數學素養. 除此之外，在“用數學教”的理念下，數學學習還承擔著提升學生學習品質的作用. 數學建模能夠讓學生體驗數學模型建立的過程，能夠讓學生在此過程中認識到數學知識的來龍去脈，從而讓學生在體驗的過程中形成關于數學學習的規律性認識，而這正是學習品質的重要組成部分. 理解數學學科的基礎性作用，用數學建模提升學生的學習品質，也是其中的重要內容.

基于以上兩點認識，當面向初中生進行數學建模教學時，教師就應當努力創設情境，讓學生在數學建模的過程中有深刻體驗，在認同數學建模價值的同時，可獲得數學知識建構與問題解決的一般性思路. 當然需要指出的是，對于初中生而言，數學建模重在過程的體驗，而不是“數學建?！备拍畹暮唵斡洃?，更不是貼標簽式的教學.

探究數學建模的路徑

站在學生的角度研究數學建模，有研究者認為學生在數學學習中經歷的數學建?；顒涌梢苑譃閮深悾阂皇前l現一類事物與數量關系、空間形式有關的一般規律，并通過適當的數學語言將這些規律表示出來，形成一般模型；二是面對一個現實情境，通過調動相關知識分析問題. 利用已有的數學模型解決實際問題，這兩類建?；顒邮窍嗷ヂ撓?、相互促進的［2］. 其實這兩類建?；顒泳褪巧厦嫣峒暗姆謩e面向數學知識建構與問題解決的數學建模過程. 這個過程是面向學生的，如同上面所強調的那樣，只有讓學生體驗到數學建模過程，數學建模的意義才能凸顯出來. 根據筆者的實踐經驗，此處必須重點突出學生的體驗感、獲得感（主要面向數學知識與問題解決方法的獲得，通常屬于認知領域）和成就感（主要面向學生的學習感受，通常屬于情感領域）. 作為初中數學教師，必須把握學生在數學建模過程中的相關體驗，其中最值得關注的就是學生經歷數學建模時的內在心理機制，這是數學建模路徑得以總結出來并發揮作用的關鍵.

研究表明，當遇到具體的數學問題時，學生所表現出來的問題解決思路并不清晰，已有經驗與新問題之間的交互、知識建構或問題解決所需要的數學工具選擇等，都需要不斷地摸索才能最終成型. 這一點符合初中生的認知特點，也是數學建模必須重視的現實. 認識到這一點后再去歸納數學建模的途徑，可以概括為：面向初中生的數學建模，應當在把握初中生學習心理的基礎上，通過情境的創設，并讓學生走入情境中，然后充分激活已有知識和經驗，并確定知識建構或問題解決的程序. 在此過程中應當滲透試錯與糾錯的環節，確保學生的知識建構與問題解決過程簡練化、模式化，最后通過學習總結，提煉數學建模思想，并在變式訓練中強化數學建模思路，以確保數學建模在學生的思維中落地生根.

例如，在“軸對稱”這一知識的教學中，數學模型體現為當學生看到軸對稱這一概念時，能夠在大腦中浮現出軸對稱的相關圖形（即表象），同時反映出軸對稱的基本性質；除此之外，在現實生活中看到軸對稱物體時，能夠迅速反映出軸對稱的概念，并且介入軸對稱的性質去演繹. 對于這樣的理解，設計本內容的教學時應當重點在意以下兩個環節.

環節一：創設情境，引導學生建立軸對稱的表象.

在生活中關于軸對稱的實例并不少見，在這個環節中，教師應當努力的是：通過列舉若干個例子，讓學生利用分析與綜合的方法，發現這些例子的共同特征. 這是一個數學抽象的過程，要將生活中軸對稱實例的非數學要素如顏色等去除，然后從對稱的角度去解析. 在傳統教學中，對這一環節通常比較重視，因此這里不再贅述. 但是需要強調的一個細節是，應當在這個教學環節中讓學生有動手做的機會. “做”的方式可以是多樣的：可以讓學生在草稿紙上畫軸對稱圖形，也可以讓學生用類似于數學實驗的方法去“做”軸對稱圖形. 這個細節的價值是不言而喻的，最重要的一點就是學生可以在動手做的過程中發現軸對稱圖形的內涵是“對稱軸”（當然此時學生還不知道這一概念，學生會用生活語言如“畫一條線”來表示對對稱軸的認識），說得具體一點就是學生畫圖或折疊時，發現只要有了一根線，那么軸對稱圖形就是精確的軸對稱，這比學生最初嘗試通過目測的方法畫出軸對稱圖形的效果要好得多. 實際上，通過學生的這一動手做，在強化對稱軸價值的同時，使得學生大腦中的模型更加清晰.

環節二：形成軸對稱概念，當面對現實例子時進行解釋.

當學生大腦中的軸對稱表現豐富后，教師就應當引導學生用數學語言來描述，這一數學語言自然就是：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，實現兩邊的部分能夠互相重合，這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.

這樣一段數學語言所描述的就是軸對稱這一概念的數學本質. 為了防止學生死記硬背，教師必須強調，在記住這句話的同時，大腦中要有相應的軸對稱例子出來. 此時教師應當給學生舉出新的例子，讓學生進行判斷；或者讓學生舉出新的例子，讓學生互相判斷. 這是一個變式訓練的過程，可以鞏固軸對稱模型的認知.

值得一提的是，此處同樣有一個環節值得強調，那就是引導學生對學習過程進行反思，讓學生知道自己是怎樣建立軸對稱這一概念的. 這樣的反思通常會淡化知識而強調學習方法，因此就能有效提升學生的學習品質.

數學建模的前景思考

縱觀數學教學研究發展的歷史，可以發現數學建模在其中發揮著關鍵性作用，國家課程標準從課程層面約定了數學建模的重要性，這對于日常教學而言，是將數學建模當成了國家課程教育的意志，這意味著日常教學要將數學建模當作教學的重要線索，要在促進學生知識建構的同時，讓學生更多地體驗數學建模過程，領悟數學建模的魅力.

從當前的教學實際情況來看，初中數學教學面臨著實際評價和選拔與課程標準落實之間的矛盾，這是一個不爭事實，其根本原因在于前者只能以題目為載體，而后者則需要同時關注考試評價、選拔與核心素養的發展. 這意味著在可以預見的未來，初中數學教學必須堅持兩條主線，而且要將這兩條主線充分結合在一起. 在實際教學過程中，在發展學生應試能力的同時，數學建模進行得越充分，那么學生對數學知識的理解與運用水平就會越高，這是可以預期的. 在這樣的背景下，初中數學教師有一個重要的任務，那就是運用數學建模思想去認識并把握模型教學的意蘊. 這實際上是說數學建模引導下的初中數學教學，對數學教師提出了更高要求：從教學任務的角度來看，除應試能力培養外多了包括數學建模在內的核心素養教學主線；從教學時間的角度來看，將原本用于應試的一部分時間解放出來用于培育包括數學建模在內的數學學科核心素養，考驗著教師的教學水平和教學理念，甚至還考驗著教師的教學魄力；從教學策略的角度來看，如何在知識理解與運用的教學基礎上，將包括數學建模在內的核心素養滲透其中，考驗著教師的教學智慧……

總體而言，數學建模是數學學科核心素養的要素，未來的初中數學教學，要堅持以核心素養為導向，并努力以數學建模帶動其他要素落地.

參考文獻：

［1］閆如明，呂吉華. 對初中數學建模教學的幾點思考——以解直角三角形為例［J］. 山東教育，2021（Z2）：51-52.

［2］湯靜. 知行共驅：指向數學建模素養的初中路徑探研［J］. 中學數學（初中版）， 2021（22）：79-81.