STSE視域下的高中數學建模教學

劉蘇娟

［摘? 要］ 新人教A版高中數學教材采用了大量社會、環境相關素材作教學情境，高度契合于STSE教育理念. 研究者以新人教A版高中數學教材中的“函數模型的應用”為樣本，從STSE的視角引導學生就人口問題進行研究，培養學生的數據意識，通過建構、選擇函數模型，從數學角度解讀政策法規.研究者還記錄了課堂預設與生成，并對生成的意外從函數模型、數學建模、教材、STSE、教師等角度進行了反思，提出了數學建模在教師層面的培訓及學生層面的學習的必要性.

［關鍵詞］ STSE；數學建模；核心素養；育人價值

問題提出

數學建模是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）提出的六大核心素養之一. 浙江省自2020年采用新人教A版高中數學教材（下文簡稱教材）以來，高中教師在數學建模教學中積極努力，但還是有不少教師尚未了解數學建模，認為數學建模等同于解應用題，造成課堂效率不高，學生參與性較低；也有教師過多地替代學生“把實際問題轉化為數學問題”，將建模重心后移至“解題”，這有悖于數學建模的初衷.如何開展數學建模教學成為一線教師面臨的新困境.

新課標為數學建模設立了10個課時［1］，教材中有大量與建模密切相關的內容.以教材必修第一冊為例：第三、第四、第五章“函數的應用”以及第四章“數學建?！钡臉永?，大部分都與社會、環境相關，所用素材貼近學生生活，是教師開展數學建模的資源. 相應地，《浙江省普通高中學科教學指導意見》（數學·2021年版）將“項目化學習”單列為“下篇”. 由此可見，多方力量正在致力于“數學建?！?

STSE（Science，Technology，Society，Environment的英文縮寫）教育理念強調科學、技術、社會、環境的相互關系，重視科學、技術在社會生產、生活環境和社會發展中的作用，從社會、環境角度提高學生的數學建模素養. 在物理、化學教材中單獨列出了STSE教育、STS教育專欄，《普通高中物理課程標準（2017年）》的“科學態度與責任”素養中也明確提出了STSE教育. 研究STSE教育的文章［２－６］為數學學科建模教學提供了新途徑. 筆者以“函數模型的應用”為例，嘗試以STSE助推數學建模教學，出現了不少意外反饋，學生的課堂表現超出了課前預期. 現摘錄若干片段，予以總結反思，并進行課后調查，為數學建模教學提供參考.

實施與反饋

1. 創設情境，提出問題——思考環境危機

視頻：澳洲政府六次圍剿百億野兔.

視頻簡述：1859年，托馬斯·奧斯汀從歐洲帶了24只野兔來到澳洲. 短短6年，這些野兔大量繁殖造成了嚴重的生態災難. 為了消滅野兔，澳洲政府先后進行了六次圍剿——引入野兔天敵狐貍、用柵欄隔離野兔、軍隊散播毒藥、引進粘液瘤病毒等，最終將野兔數量控制在可接受的范圍內.

問題1 已知野兔生長繁殖模型為y=2kt，野兔總只數的倍增期為21個月，那么1萬只野兔增長到100億只野兔大約需要多少年？

追問1：當時你對澳洲政府會有怎樣的建議？

生2：借用函數模型預測野兔繁殖速度，估計可能達到的數量，提早干預，則控制野兔泛濫所投入的人力、物力、財力會少很多.

追問2：野兔數量達到多少時進行干預較為合適？

生3：這可能需要通過生物學知識，獲知野兔數量對環境破壞程度，從野兔繁殖規律來看，這種干預具有周期性.

追問3：從野兔繁殖的提前干預，你對人口增長有什么感想？

生4：需要有人口增長模型，并把干預列入計劃. 也許這就是我國計劃生育政策的由來吧.

設計意圖 將澳洲野兔泛濫成災設置為問題情境，讓學生明白政策干預、數學建模的必要性. 通過分析自然、社會現象，讓學生在問題解決中發現矛盾，提出新問題［7］.

意外反饋 意外1：對于追問2，學生并沒有直接探討數據，而是提出生物學、環境破壞程度、數學周期性等方面的影響，這說明學生具有較強的學科融合意識. 意外2：類似情境在追問3中再次出現，本來課前設計計劃生育政策由教師引入，但學生通過自然、社會現象聯想到了這個政策.

2. 收集數據，尋找關系——優選數學模型

生7：根據我國1951—1958年各年末的實際人口總數數據，畫出散點圖和擬合函數圖象如圖1所示，模型為y=55065e0.0223t，t∈［0，9］.

追問2：用你們所得的這兩個函數模型分別計算我國1951—1958年各年末的人口總數，看看哪個函數模型更貼近實際.

師生活動：學生分8組，用兩個函數模型分別計算我國1951—1958年各年末的人口總數，結果如表2所示.

追問3：哪個函數模型更貼近實際？

生8：y=55065e0.0223t，t∈［0，9］更貼近實際，生6的猜想是正確的，參考數據越多，擬合函數越精確.

設計意圖 函數模型的選擇是數學建模的重要環節. 問題2選自教材必修第一冊第四章第5節P148例3，以我國1950—1959年人口增長為背景，讓學生借助Excel梳理了眾多信息. 由于教材只提供了一個函數模型，因此筆者在課中增加了一個，讓學生在有效選擇合適模型、優化模型的過程中，能夠不斷提升數學建模能力.

意外反饋 問題2的第（1）問中筆者給出了2組數據，有的學生并沒有直接建模，而是有所遲疑，問道：“是否有更多的數據支撐模型？”于是就有了問題2第（2）問的數據分析、模型選擇.可見，部分學生對數學模型有基本的精確建構意識.

3. 定性分析，科學認知——融入社會實際

問題3 用我國1950—2020年各年末的實際人口總數來檢查人口增長模型是否準確.（用Excel畫出1950—2020年各年末實際人口總數散點圖和擬合函數圖象，如圖2所示）

追問1：我國1950—2020年各年末的實際人口數是否符合馬爾薩斯人口增長模型？

生9：不符合.

追問2：根據散點圖（圖2），請選考政治的同學結合我國國情解讀人口總數的變化.

生10（選考政治的學生）：1960年應該受三年自然災害的影響？1971年是不是開始推行計劃生育？1980年是不是受改革開放的影響，生活水平有所提高，人口增加了？2010年人口總數下滑，也就解釋了現在的二孩三孩政策出臺，是不是現在人們的生育觀念改變了，丁克家族增多了？

追問3：非常好！我國確實從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，1982年計劃生育確定為我國的基本國策，2011年實施了雙獨二孩政策，2013年實施了單獨二孩政策，2016年實施了全面二孩政策，2021年放開三孩政策. 政策調控前后人口總數是否符合馬爾薩斯人口增長模型？

生11：可以用Excel畫出1961—1969年和1981—2010年各年末實際人口總數散點圖和擬合函數圖象，如圖3、圖4所示.

生12：1950—1959年、1961—1969年、1981—2010年人口增長模型與馬爾薩斯人口增長模型出入較大，說明馬爾薩斯人口增長模型適合自然增長情況. 故要注意函數模型的使用條件.

追問4：以問題2第（1）問的函數模型做預測，大約什么時候我國人口總數達到13億？

生13：1990年我國的人口總數達到13億.

追問5：實際上，1990年我國的人口總數是多少？哪一年達到了13億？

生14：1990年11.43億，2005年才突破13億，計劃生育政策還是有效的.

設計意圖 數學知識只有應用于生活中才能體現其價值，“合理”與“不合理”的思考過程遠比最終結果重要［8］. 通過數據、函數模型對計劃生育、二孩三孩政策進行解讀，說明馬爾薩斯人口增長模型適合自然增長情況，如果有政策干預，就不再適合，要注意函數模型使用的條件.

意外反饋 意外1：在追問2的回答中，學生把1960年、1970年、1980年人口總數變化與國情、國家政策聯系起來. 意外2：面對2010年人口總數的下滑現象，除了對二孩三孩政策的肯定，還進一步對人口總數下滑現象的出現進行了解讀，尋找問題根源，說明學生的問題意識較強.

4. 展示歷程，論證結論——回應科學探究

問題4 誰在哪一年提出的計劃生育政策？

追問1：1955年，新中國成立初期，百廢待興，人們都在鼓勵生育. 但馬寅初提出了《新人口論》，提倡計劃生育. 猜想人們會從哪幾個方面提出疑問？他又是從哪些角度說服眾人的

生15：大多數人認為人口增長越快，糧食種得越多，可為中國發展提供更多勞動力；馬寅初可能會說人多，糧食不夠.

師：馬寅初當時從中國發展的四個方面，對控制人口的必要性、合理性進行了論述. ①人口增長與資金積累的矛盾：人口多，消費大，所以積累少. ②勞動生產率與就業的矛盾：要提高勞動生產率，就要多搞大工業，然而為安排更多人就業，就不得不搞中小型工業，搞低效率勞動. ③人口增長與科學技術的矛盾：由于輕工業原料大多數來自農業，但人口多、糧食緊張，就騰不出更多的地種諸如棉花、蠶桑、大豆、花生等經濟作物. 同時，由于農產品出口受限，不能進口很多重工業設備，影響重工業發展. ④人口增長與人民物質生活水平的矛盾：全國人均不到3畝地，大面積墾荒短期內又做不到，“就糧食而論，亦非控制人口不可”.

追問2：以后要在環境學、生物學、社會學等方面走得更遠，數學有何助力？

生16：數學可以讓研究成果更準確，用數據更容易說服他人.

設計意圖 讓學生經歷政策調控的過程，感受思維與現實的互動，體驗思維的魅力和數學的智慧，感悟數學的科學價值、應用價值. 回顧馬寅初從四個方面論述計劃生育政策執行的必要性和合理性，充分顯示了用數學去認識、理解、解釋世界的卓越作用.

意外反饋 從追問2的回答可知，學生除了體會數學是有用的，還有讓數據決策的意識，學生用數學的眼光觀察世界的能力提高了.

課后調查與延伸

1. 學后調查

（1）本節課哪個例子給你印象最深？

68.9%學生認為，數學家通過建立擬合函數對未來人口總數進行預測，輔助政策制定者科學研判、決策.

19.8%學生認為，當前青壯年勞動力還尚且滿足經濟發展需求，但隨著人口老齡化加劇，如若不放開生育政策，則人口儲蓄不足以應對未來發展需求.

11.3%學生認為，若人口數量如同野兔一樣泛濫，現在的中國會是什么樣子？

（2）本節課前后你對函數的理解有哪些變化？

48.4%學生認為，本節課之前覺得函數是一段體現自變量與應變量對應關系的數學圖象或數學關系；本節課之后發現可用函數模型預測某些事件的發展趨勢，推古驗今.

（3）你對本節課在數學方面有什么疑問嗎？

18.7%學生認為，為什么澳洲野兔生長繁殖模型和人口增長模型都是指數模型，而不是一次函數、二次函數模型？

2. 學習延伸

課堂上學生對數學建模意猶未盡，于是筆者安排學生以小組為單位，自選時間、城市等進行人口增長模型分析. 兩周后，學生遞交的模型分為兩類：人口數量與時間、人口數量與城市的關系模型. 本文呈現人口數量與城市關系模型：學生查閱浙江省1984—1990年的人口數量，得到如圖5所示的結論報告. 浙江省經濟發達，人口大量遷入、遷出，人口增長模型與馬爾薩斯人口增長模型有所偏差.

實踐啟示

“函數模型的應用”是學生進入高中的第一次數學建模教學，具有啟蒙作用. 學生對數學建模的反饋超出了筆者預期，反思如下：

首先，對于問題2有學生詢問是否存在某個量用于刻畫一組數字彼此之間的差異，這為后期標準差的學習做了鋪墊.

其次，核心素養在不同階段具有不同表現. 小學階段的模型意識、初中階段的模型觀念，都為數學建模納入高中數學教學奠定了基礎，這也是學生的建模能力在課堂中的表現遠超預期的原因.

另外， 結合STSE教育理念，以STSE教育為框架和基礎開展STEM教育，脫離追求形成社會產品的目標，回歸對社會生活和大自然的認識，培養更多具有社會責任感、科學素養和高超技能的人才.

2023年浙江省數學高考回歸新高考全國Ⅰ卷，浙江卷與新高考全國Ⅰ卷的差別主要體現在新高考全國Ⅰ卷更加突出數學的運用，強調數學模型如何在現實情境中解決問題. 由此聯想到筆者所在城市教齡10年、20年、30年以上的高中數學教師分別占72%，39%，16%，實施新課標下的數學建模教學，教齡20年以上的高中數學教師適應能力需要加強，教師層面的培訓及學生層面的學習刻不容緩.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 儲陽華，于莉，俞峰. 融合STSE教育理念的地理教學設計——以“大氣的受熱過程”為例［J］. 地理教學，2019（08）：18-22.

［3］ 周開軍. STSE理念及其與中學化學教學的整合［J］. 化學教育（中英文），2012，33（01）：31-32+38.

［4］ 陳沖，譚曉明. 我國現階段中學生物學科STSE教育研究現狀［J］. 贛南師范學院學報，2014，35（03）：106-110.

［5］ 喬紅華. STSE教育在中學物理教學中的實踐研究［D］. 吉林：東北師范大學，2005.

［6］ 謝淑海. 試論加拿大的STSE教育及其啟示［J］. 世界教育信息，2009（02）：67-69.

［7］ 任曉松. 以歷史上的數學現象為知識生長的基點——以“數系的擴充和復數的概念”為例［J］. 中國數學教育，2021（22）：16-20.

［8］ 章建躍. 數學核心素養研究叢書：核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.