思維導圖在高中數學解題中的應用實踐與反思

張躍驁

［摘? 要］ 良好的思維能力對學生而言就是一把破解難題的利刃，可以確保學生遇到難題時能迎刃而解. 想要培養學生的解題能力，就要將落腳點放在學生的思維能力上，教師可以借助思維導圖把握學生面對復雜問題時的心理，這有利于教師因材施教；當教師把握學生的心理規律后去設計思維導圖，思維導圖不僅能夠對學生的學習以及解題起到引導作用，還可以成為學生解題時能夠直接拿來運用的工具. 研究思維導圖在高中數學解題中的應用，關鍵就是研究學生面對數學題目時的心理，研究學生是如何組織知識、運用知識的. 在解題教學中，教師要高度重視思維導圖的作用，要將思維導圖作為解題教學的主要線索.

［關鍵詞］ 高中數學；思維導圖；解題教學；應用

對于當前的高中數學教學而言，無論是面向高考的教學，還是面向核心素養的教學，都有一個無法回避的過程，那就是思維能力的培養. 從當前高考數學評價的角度來看，思維能力顯然不是指學生在解答基本習題過程中表現出來的解題能力，而是在面對相對復雜的問題時表現出來的解題能力. 這種解題能力的養成，能否借助傳統的習題重復訓練來實現，要打一個大大的問號. 筆者認為，如果只是基于基本題型的重復訓練，那么只能讓學生再次面對這些題型時表現出良好的直覺，而面對真正有難度的題目或者面對陌生情境中的題目時，重復訓練起到的效果是極其有限的. 也就是說想要培養學生解答難題的能力，還要將落腳點放在學生的思維能力上，良好的思維能力對學生而言就是一把破解難題的利刃，可以確保學生遇到難題時能迎刃而解.

在高中數學教學中，培養學生的思維能力，實際上是教師共識，只不過通過怎樣的方式去培養學生的思維能力，是仁者見仁、智者見智. 既然簡單的重復訓練無法有效培養學生的思維能力，那么怎樣的教學思路才能讓學生的思維能力得以有效培養呢？這個問題最佳的答案之一，應當是思維導圖的應用. 當前高中數學教學研究的領域中，思維導圖是一個熱點，這是一件好事，意味著思維導圖的作用得到了普遍認同. 研究思維導圖在高中數學解題中的作用和應用，具有很強的實際意義，可以確保學生在思維導圖的幫助下，將所積累的數學信息與解題所要用的數學工具銜接起來，從而在明確解題方向的同時，實現對數學知識最佳的整合與運用.

教師想提升自己對思維導圖的運用能力，想讓思維導圖成為學生解題的有效工具，必然要進行實踐研究. 由于思維導圖的存在，解題教學的行動軌跡、師生在解題過程中的互動都會出現更加積極明顯的變化，而教學研究就需要抓住這些變化，以確保思維導圖能夠成為解題教學的主要線索，能夠成為促進學生思維能力提升的助力器.

思維導圖在高中數學解題中的應用價值

有研究表明，將思維導圖教學方法引入高中數學教學中，能夠促進學生建構性學習和學科知識整合，改變學生的認知方式，大大提高學習效果，是培養學生創造性思維能力及解題能力的有效途徑［1］. 這樣的判斷無疑是正確的，同樣也是非常宏觀的，其能夠幫助教師堅定對思維導圖的運用，認識思維導圖的價值. 當然，只從宏觀的角度認識思維導圖的價值是不夠的，只有在具體的教學過程中，尤其在解題教學過程中認識思維導圖的價值，那么思維導圖才能真正起到指導教師教學和學生學習的作用.

作為一種學習工具，思維導圖最大的好處在于可以將學生內隱的思維過程，以外顯的圖形體現出來. 上文提到的思維能力，實際上是一個高度抽象的概念，對于學生在數學學習過程中表現出來的思維能力的高低，往往是通過能否順利解決問題，尤其是能否順利解決復雜問題來判斷的. 這種判斷實際上是一種間接判斷，并不指向學生的思維本身，因此很難對學生的思維過程起到指導作用. 想培養學生的思維能力，最好的抓手自然是思維本身，如果能夠了解學生的思維過程，或者想方設法優化學生的思維過程，這樣的努力顯然更加直接，起到的效果自然就更加理想.

筆者認為，教師最好站在學生的角度去認識思維導圖在解題中的價值，因為如果在教學研究中不考慮學生的學習過程以及學習感受，那么教師很容易犯“想當然”的錯，一旦學生的學習過程與教師預設的教學過程不相吻合，教師就會去責怪學生，而忽視自己所預設的教學過程有可能并不科學——就解題教學而言，也就是教師所預設的學生思維發展過程，實際上并不符合學生的認知特點.

基于學生視角去看思維導圖的價值，能夠發現如果用思維導圖反映學生的解題思路，那么教師就可以借助這些思維導圖把握學生面對復雜問題時的心理，而這自然有利于教師因材施教；如果教師把握了學生的心理規律后去設計思維導圖，那么這樣的思維導圖不僅能夠對學生的學習以及解題起到引導作用，還可以成為學生解題時能夠直接拿來運用的工具. 很顯然，思維導圖一旦成為學生的解題工具，學生就能夠借助思維導圖來反思自己的思維過程，促使自己解題時面向思維，做到揚長避短，而這也就意味著學生思維能力以及解題能力已提升.

所以總體而言，思維導圖在解題教學中的作用非常顯著，教師要充分利用好思維導圖這一工具，來促進解題教學效益的提升.

思維導圖在高中數學解題中的應用實踐

站在數學的角度看思維導圖，可以認為思維導圖就是能夠將復雜的數量關系、空間形式形象化的邏輯圖. 思維導圖可以實現抽象思維的可視化，可以幫助學生構建清晰的知識脈絡和推理形式，因此在解題過程中具有較高的應用價值［2］. 既然研究的是思維導圖在解題中的應用，那么就要將思維導圖與學生的解題過程呼應起來，要確保思維導圖能夠反映學生的解題過程，能夠優化學生的解題過程.

值得一提的是，研究解題教學不能只研究題目本身，也要研究學生在解題過程中的思維過程. 這里重點有兩個：一是學生面對數學題目時，能否準確確定解題方向，也就是從哪個角度去解題；二是對解題方向有了大致判斷后，能否找到有效的解題工具，也就是能否找到相應的數學知識來解題. 這兩個重點同時存在、相輔相成的，學生判斷解題方向，本身就會借助自己所掌握的數學知識去進行，而明確了解題方向后，選擇數學知識的空間就變得更小且更準確. 很顯然，想讓學生認識到這兩個重點，前提就在于學生對自己的思維過程有一個清晰的把握，而思維導圖正可以發揮這樣的促進作用. 所以研究思維導圖在高中數學解題中的應用，關鍵就是研究學生面對數學題目時的心理，要借助思維導圖研究學生是如何組織知識、運用知識的.

關于數學知識的組織，通常取決于學生的認知結構. 由于不同學生個體所掌握的數學知識不同，所以他們的認知結構也有差異. 舉一個簡單的例子：如圖1所示，這是關于“圓錐曲線”的一個知識框架圖——實際上也可以視為思維導圖. 如果學生的認知結構與這一知識結構相吻合，那么這樣一個知識框架圖就可以反映學生的內在認知結構. 當學生遇到具體題目時，如果學生能夠借助思維能力，將題目給出的信息與該圖中的具體知識點銜接起來，那么就意味著學生通過自己所選擇的知識點，可以完成該題目的解答. 如果學生的解題過程驗證了這一點，那么就說明學生的思維過程是正確的；反之，則說明學生的思維過程是錯誤的. 從解題準備的角度來看，如果學生大腦中的這一思維導圖越完整，那么學生提取知識點時就會越順利，這也可以夯實解題的基礎.

當然，對學生解題起決定性作用的，還是學生提取了知識點后，對知識點進行整合的過程. 在這個過程中，學生的思維越清晰，解題質量也就越高. 教師有一個很重要的任務就是借助思維導圖幫助學生形成清晰的解題思路，引導學生梳理、反思解題過程. 比如這樣一道題：橢圓的兩個焦點為（－2，0），（2，0），且過點，－，求橢圓的標準方程.

從難易程度來看，本題并不是一道難度大的題目，但從學生思維能力的角度來看，這道題目可以在學生初學橢圓的知識時，幫助學生形成最基本的求橢圓標準方程的思維. 借助思維導圖來梳理本題的求解過程，最基本的做法就是通過審題把握給出的信息以及所求對象——本題給出了橢圓兩個焦點的坐標以及橢圓上某一點的坐標，所求的是橢圓的標準方程. 學生需要借助這三點的坐標與橢圓的標準方程之間的關系，來形成一個解題思路，其對應的思維導圖如圖2所示.

因此，相應的求解過程，就應當是基于“橢圓的焦點在x軸上”這一信息，設橢圓的標準方程為+=1（a>b>0），然后結合橢圓的定義，建立關系式2a=+=2，得到a=. 又c=2，所以b2=a2－c2=6. 最終求得橢圓的標準方程是+=1.

當然，本題還可以結合其他信息形成新的求解思路，如下面這種解法：因為c=2，所以b2=a2－c2=a2－4. 設所求橢圓的標準方程為+=1，將點，－代入上式，解得a=. 所以所求橢圓的標準方程為+=1.

不論是哪種解法，都對應著學生具體的解題思路，而這些解題思路的背后，都反映著學生的解題思維. 在上文分析中已經強調過，學生的解題思維越清晰，那么解題過程就越順利. 隱性的解題思維，可以借助形象的思維導圖展現出來，而這些形象的思維導圖又可以發揮很重要的作用，比如讓教師清晰把握學生的思維過程，又或者借助思維導圖優化學生的思維過程……思維導圖在解題教學中的作用正是體現在這些方面上.

思維導圖在高中數學解題中的應用反思

從上文的理論分析以及具體的解題教學案例中可以發現，思維導圖的作用是非常明顯的——應用思維導圖來優化解題教學，可以讓學生的思維過程變得可視化，可以讓教師的教學過程變得清晰化. 如果說思維導圖是教師解決教學問題的一個重要抓手的話，那么對于學生而言，思維導圖就是一個重要的解題工具.

在實踐過程中，筆者還有一個非常重要的收獲，那就是思維導圖不僅可以成為教師的教學工具，還可以成為學生的學習工具. 當學生習慣運用這一工具后，教師應當結合解題教學，讓學生自己建構思維導圖. 可以說這是思維導圖教學的一個很重要的境界. 如果學生能夠借助思維導圖來優化自己的解題過程，那么就達到了“知其然且知其所以然”的認知水平. 學生可以借助思維導圖反思自己的解題思路，在這個過程中，即使學生所建構的思維導圖有缺陷，那也是一個非常重要的教學與反思的契機. 教師應當引導學生抓住這一機會，借助思維導圖反思解題中的不足，這相對于讓學生盯住自己在解題中的錯誤步驟去反思，效果要好得多. 畢竟指向思維的反思，要比指向解題步驟的反思更具代表性，學生所獲得的也是思維能力的培養.

總體而言，在高中數學教學中，尤其在高中數學解題教學中，教師要高度重視思維導圖的作用，要將思維導圖作為解題教學的主要線索之一，要在思維導圖的引導下把握好學生的思維，這樣學生對自己的解題過程就會有一個更加清晰的認識，從而有助于學生對培養自己解題能力的過程有一個更加精準的把握.

參考文獻：

［1］ 楊慧娟. 思維導圖在高中數學復習課中的運用［J］. 數學教學通訊，2015（09）：54-55.

［2］王鯤鵬. 思維導圖在高中數學解題中的應用策略［J］. 高中數理化，2019（22）：14-15.