橢圓型方程（組）可解性研究

徐晶晶，鐘金標，李小帥，趙舵舵

（1.安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133；2.武警特種警察學院 基礎部，北京 102211；3.池州學院 大數據與人工智能學院，安徽 池州 232038）

橢圓型方程（組）邊值問題與雙調和方程邊值問題是偏微分方程研究領域的重要研內

容之一[1-4]。張亞靜等[1]利用集中緊性原理和山路定理，證明了下面橢圓型方程組正解的存在性。

這里α,β＞1 滿足h1(x),h2(x)≥0,且h1,h2≡0。

LI H X等[2]研究了下列半線性橢圓方程組邊值問題

這里 Ω ?RN(N≥3)是有界光滑區域，Q∈L∞(Ω)且Q(x)≥0 ，在Ω 中幾乎處處成立，α,β＞1,α+β=2*，主要利用變分法方法證明了在一定條件下，該問題至少存在兩個解。

ZHONG J B等[3]利用不動點定理證明了一類半線性橢圓型方程組正解的存在性與唯一性，同時討論了存在的必要條件。楊旭[4]利用(B+)類拓撲度方法和在希爾伯特空間上選擇相應的范數，給出了具有狄利克雷邊界條件的多調和方程非平凡廣義解的存在性結果。

本文利用上、下解方法及不動點定理討論了下列半線性橢圓型方程組邊值問題。

這里Ω ?Rn是有界光滑區域，證明了該問題正解的存在性。并進而利用上述正解的存在性結果，進一步討論了下列帶正小參數的雙調和方程邊值問題正解的存在性。

其中λ為正參數，并給出了正解存在性定理的證明。本文研究的問題中，函數f(x,v),g(x,u)僅限制滿足較一般的條件，比文獻[1-4]中函數限制的條件更少，從而研究的問題適用范圍更廣，且在證明解的存在性時，采用了與文獻[1-4]中不同的理論與方法，對這二類邊值問題，證明了正解存在的結果。

1 一類半線性橢圓型方程組邊值問題解的研究

考察下列半線性橢圓型方程組邊值問題

這里 Ω ?Rn是有界光滑區域，其中f(x,s) ,g(x,s) 滿足下列條件：

(H1)f(x,s) ,g(x,s) 在×[ 0,+∞)上 為 非 負Ho¨lder連續函數。

(H2)f(x,s) ,g(x,s)關 于s 在[ 0 ,+∞)上單增，g(x,0)＞0。

引理[5]設T 是Banach 空間B 到自身中的緊映射，又設存在一個常數M，使得‖x‖B＜M對所有滿足x=σTx,x∈B,σ∈[0,1] 的x成立，則T有一個不動點。

定理1 若條件(H1)成立，則問題（1）只能存在非負解。

證明 由(H1)知f≥0,g≥0，所以Δu≤0,Δv≤0且u|?Ω=v|?Ω=0，由上調和極值原理[5]知，u≥0,v≥0。

定理2 若(H1)，(H2)成立，且問題（1）存在一對上、下解，則問題（1）至少存在一組解(u,v)∈[C2(Ω) ]2。

證明 取關于上下解的截斷函數如下：

則

考察下列邊值問題

顯然≤Tu≤,≤Τv≤，又，從而Tu,Tv在上有界。由(H1)知f(x,Tv),g(x,Tu)在上為有界函數。

定義算子T1：[C2(Ω) ]2→[C2(Ω) ]2如下：

T1U=L-1F(x,U)，

因 為L-1=(-Δ)-1為緊正算子，所以T1為[C2(Ω)]2到自身的緊映射。

下證存在一個常數M＞0，使得‖U‖B＜M，對所有滿足U=σT1U,σ∈[0 ,1]的U成立，其中B=[C2(Ω) ]2。

假設不然，則存在σn∈[0 ,1]和B中Un，滿足‖Un‖→+∞(n→+∞)時，有

在（4）式中兩邊令n→+∞，結合F(x,Un)有界，可得ωn→0，這與‖ωn‖=1 矛盾，從而滿足引理中條件。利用引理知，T1有一個不動點，即該不動點為問題（2）的解。

取(u,v)為問題（2）的解，記ω=u-,ω+(x)=max{0 ,ω(x)}，則由上解定義及（2）中方程知-Δu=f(x,Tv)，-Δ≥f(x,)，所以

在（5）式兩邊乘上ω+后，在Ω 上積分，并利用Green第一恒等式得

記A={x∈Ω:u≤} ，B={x∈Ω:u＞} ，則Ω=A?B。

從（6）式，結合ω+(x)的定義知

由(H2) 知f(x,Tv)-f(x,)≤0 ，而ω+(x)≥0。從（7）式可得，所以ω+=0，x∈B，從而Ω=A。即u≤,x∈Ω，同理可證v≤。

記Z(x)=u-，Z-(x)=min{0 ,Z(x)}，顯然Z-(x)≤0。則由下解定義及（2）中方程知

上兩式相減得

即 -ΔZ(x)≥f(x,Tv)-f(x,)，

上式兩邊乘上Z-(x)后在Ω 上積分，并利用Green第一恒等式得

記A={x∈Ω:u＜}，B={x∈Ω:u≥}，則Ω=A?B。從（8）式可得

由(H2) 知，所 以∫A|DZ-(x)|2dx=0。從 而Z-(x)=0,x∈A。所 以u≥,x∈Ω。同理可證v≥,x∈Ω。從而（2）的解(u,v)滿足，此時Tv=v,Tu=u，即(u,v)為問題（1）的解。

2 雙調和方程邊值問題的可解性

考察雙調和方程邊值問題

其中λ為正參數。

令-Δu=v，則（9）化為

顯然=0,=0 為問題（10）的下解。

讓Φ(x)是問題的解，則Φ ≥0,x∈。由Φ(x)在上連續知Φ()

x在Ω 上有界。記，取，則取參數λ充分小，可得

從而(,)為問題（10）的一組上解。由條件(H1)及λ＞0，所以-Δv=λg(x,u)≥0，利用上調和函數極值原理知v≥0。從而f(x,v)=v滿足條件(H1)，(H2)，由定理1可得出下列定理。

定理3 當λ為充分小的正數，且條件(H1) ，(H2)成立時，問題（10）存在有界正解，從而雙調和邊值問題（9）存在正解。

3 結論

本文首先對半線性橢圓型方程組邊值問題（1），在假設存在上、下解的前提下，利用不動點定理證明了問題（1）存在正解，進而將該結果利用到帶小參數的雙調和方程邊值問題（9）。通過變量代換，將問題（9）轉換為半線性橢圓型方程組邊值問題（10），最后通過尋找到問題（10）的一組上、下解。再利用問題（1）所證的解的存在性定理，證明了問題（9）解的存在性。這同時也是對問題（1）所得解的存在性定理給出了應用實例。