學科德育視角下的“祖暅原理”設計與教學實踐①

沈金興

(浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 314500)

1 高中數學學科德育

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下簡稱新課標)的基本理念是“學生發展為本，立德樹人，提升素養”，并明確將“數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能”作為數學課程的性質之一，因此數學也需發揮其學科德育功效.

數學學科德育就是指數學教師在數學教學中進行德育滲透，實現數學學科的育人價值[1].要在數學課堂上滲透學科德育，需挖掘教材中所蘊藏著的育人素材，而行之有效的途徑之一就是融入數學文化，并以數學史為載體，潛移默化地發揮數學學科的德育功能.

人教社2019年出版的《普通高中教科書數學A版》(下簡稱新教材)是根據新課標理念編寫的，其中有些欄目增添了許多值得挖掘的育人素材，比如選學內容中的“閱讀與思考”“探究與發現”“文獻閱讀與數學寫作”等.鑒于此，筆者對人教A版必修第二冊選學內容“探究與發現”中的“祖暅原理與柱體、錐體的體積”進行了一次課堂實踐，充分挖掘了教材中的育人元素，并將數學學科德育要素潤物細無聲地融入其中.

2 教學設計與實踐

2.1 教學定位

學情分析：新教材中的選學內容“祖暅原理與柱體、錐體的體積”，安排在8.3節“簡單幾何體的表面積與體積”之后的“探究與發現”欄目中，此時學生的認知基礎就是柱、錐、臺、球的體積公式，腦中還沒有形成理論體系，故立體感差，空間想象力弱是學生學習的邏輯起點.

教學內容分析：“祖暅原理”作為原理通俗易懂，在1990年版的人教社教材是作為公理來處理的，故只需說明原理正確即可.那么這個原理是在什么情況下發現的？怎么發現的？該原理發現后有什么用？等等，這些應該是本節課所要解決的問題.

查閱文獻[2]，發現該原理正好能完整地呈現中國古代數學家的研究工作，體現了我國古代數學的輝煌成就，其中還蘊涵著很多育人素材，是一次給學生增加文化自信，提升民族自豪感的極佳機會.因此筆者將教學內容定位為：以探究祖暅原理為契機，來一次重走中國古代數學家的發現之旅，寓德育于課堂，進行一場愛國主義教育，從而實現從數學到文化、從文化到育人的教學目標.

2.2 教學過程

2.2.1 承上啟下，提升思維

師：同學們，到目前為止，我們已知道了哪些體積公式？

師：知道這些體積公式是怎么得來的嗎？

生1：不清楚，記得讀小學時，好像數學老師往容器里倒水后做實驗得出的.

生2：初中數學老師好像是通過剪拼圖形得來的.

師：很好，大家還有點印象，但這些都是直觀感知.其實，我們前面學的體積公式也是直接告知的，你們覺得這樣嚴謹嗎？是否還應該再做點什么？

生(齊答)：應該要用理論進行推導.

師：說得好.高中階段應該要進行理性思考，以提升思維能力.今天我們上一節選學內容中“探究與發現”的課：“祖暅原理”，來一次重走古代數學家的發現之旅.

設計意圖高中生再學體積公式，應該從小學、初中時的直觀認知上升到具有理論高度的思辨認證，這是一次思維層面質的飛躍，從而啟發學生思考.所以，這樣的設計既承上啟下，又能激發學生的探究欲.

2.2.2 阿基米德的缺憾

師：圖1是古希臘數學家阿基米德墓碑上的圖案：圓柱容球.圖上的3∶2是什么意思呢？

圖1

生3：應該是指圓柱與球的體積之比是3∶2.

生4：圓柱與球的表面積之比也是3∶2.

師：都沒錯，阿基米德已經知道了圓柱、球等的體積與表面積公式，因此他引以為豪，將此作為了自己墓碑的圖案.大家想想，一個該有多么熱愛數學的人才會用數學圖案來代替他的墓志銘??！不過比較遺憾的是，阿基米德采用了物理中的力學方法來推導，而非純幾何的方法.在這方面，中國古代數學家作出了巨大貢獻，他們前赴后繼地研究球的體積公式，特別是在此過程中發現了更一般化的理論：祖暅原理.

設計意圖從國外古代數學家阿基米德墓碑說起，既有趣味性又突出了數學家的癡迷，同時又開宗明義地引出了我國古代數學家的成就.

2.2.3 劉徽的遺憾

圖2

圖3

生5：有點像兩個水管的相交部分.

師：這位同學很有想象力嘛.為了能直觀感受，見圖片與視頻(展示圖4，圖5，并播放用3D打印牟合方蓋時的設計視頻).

圖5

師：請同學們觀看實物(每組有2個牟合方蓋讓學生互相傳遞看，教師展示大的實物)，上下像兩把對合的方傘，“牟”指相等的意思，故劉徽稱之為“牟合方蓋”(下簡稱合蓋).其實，合蓋內還有一個內切球，如圖6.如果取圖5的八分之一，并用平行于底面的截面去截，會得到什么圖形？

圖6

生6：截面應該是一個正方形和四分之一圓.

師：是的，如圖7.劉徽用了截面原理：如果兩個等高的立體，用平行于底面的平面截得的截面積之比是定值，則這兩個立體的體積之比也等于該定值.請同學們計算一下球與合蓋體積之比.

圖7

生8：有道理，但合蓋的體積怎么求呢？

師：是的，劉徽也遇到了同樣的難題.因為他被正方體內、合蓋之外的太復雜的立體圖形給難住了.于是留下了一句話：“敢不闕疑，以俟能言者”，意思就是我解決不了這個疑難問題，只能留著，希望以后更有能力的人解決它.這表明了劉徽敢于承認自己的不足，謙虛謹慎的高尚治學態度，并寄托于后輩學者的寬廣胸懷.

設計意圖通過詳細呈現劉徽在推導球體積公式過程中所做的研究工作，讓學生了解到中國古代數學家的創造力與實事求是、一絲不茍的嚴謹態度.

2.2.4 祖沖之的期望

師：200多年后，祖沖之誕生了.他繼承了劉徽的研究工作，沿著劉徽思路繼續求合蓋體積.祖沖之把圖3的八分之一拿出來，如圖8，并稱A-A1B1C1D1為“內棋”(圖7)，然后將剩下的部分稱為“外棋”.如果能算出“外棋”體積，那么合蓋體積就能求出.

圖8

生9：的確如此，可是“外棋”的體積也很難求呀！

師：是的，所以祖沖之又把“外棋”分成了三個部分，如圖9.可惜到了這一步，祖沖之也遇到了困難，做不下去了.但他希望自己的兒子祖暅能子承父業，完成他的未竟事業.

圖9

設計意圖祖沖之繼承了劉徽的研究工作，雖未最終解決，但他把“外棋”分成3部分，為后續研究邁出了一大步，并期望兒子祖暅能有所突破.由此讓學生明白，在科學研究的道路上，從來沒有捷徑可言，都是通過代代相傳，歷經千辛萬苦才有可能成功的道理.

2.2.5 祖暅的突破

師：祖暅沿著父親祖沖之的足跡繼續研究.他想，劉徽與他父親之所以研究不下去是由于“內棋”或“外棋”都不太好算，那能否進行轉化呢？即將它們的體積化為比較好算的幾何體的體積呢？于是祖暅聯想到了劉徽曾經采用的截面原理.同學們，你能把該原理中的比值進行特殊化嗎？

生10：當然是比值為1時最特殊了.

師：不錯，根據截面原理，如果比值為1，那么兩個幾何體的體積就相等了.為此，祖暅做了大量的實驗.現在我們不妨也來做兩個實驗.(教師分別演示了一摞書，見圖10；傾斜容器里的水，見圖11)

圖11

生11：這不是很明顯的嘛，實驗前后的體積是不變的.

師：是的，結論顯然成立，道理也淺顯易懂，祖暅將它概括為：“冪勢既同，則積不容異”，這就是“祖暅原理”.用現代語言描述：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于兩平面的任意平面所截，若截得的兩個截面面積總相等，則這兩個幾何體的體積相等.祖暅提出的這個原理，比西方數學家早了一千多年，歐洲直到17世紀才有數學家提出相同結論.

生12(很驚訝)：我國古代數學家這么厲害，崇拜了！

師：的確，我國古代的數學成就很高的.下面看看祖暅是如何解決球的體積問題.

先看圖3，設球半徑為R，則外切正方體棱長為2R，其八分之一小正方體棱長也是R.再看圖8，在離底面A1B1C1D1任意高h處作平行于底面的平面，截內棋為1個正方形.顯然，這個正方形面積為R2-h2；與此同時，截外棋得2個長方形和1個小正方形，即圖8中的陰影部分，其面積和為：R2-(R2-h2)=h2，也就是圖9中3個陰影部分面積和.因此，祖暅構造了一個底面邊長與高均為R的倒立陽馬(古人將底面為正方形，有一棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬)，如圖12，再在距頂點C1為h處作一截面，顯然截面面積為h2，正好等于外棋在同一高處的截面積，根據祖暅原理有：V外棋=V陽馬.

圖12

師：很好，有了祖暅原理，就解決了祖沖之面對外棋沒法做下去的難題.由此可見，祖暅原理是在推導球體積公式的過程中發現的，但它前后卻經歷了200多年，從劉徽到祖沖之再到祖暅，正是一代代數學家堅持不懈地薪火相傳才終獲成功.

設計意圖祖暅原理的發現并非一帆風順，它是三代數學家面對困難永不放棄，堅持到底才有所獲.課堂上重走這樣的一次發現之旅，不僅讓學生體會到中國古代數學的杰出成就，增強了民族自豪感，而且還可讓學生懂得任何知識都來之不易，如今的我們也要繼承這種刻苦鉆研精神.

2.2.6 祖暅原理的應用

師：知道了我國古代數學家推導球體積公式的經歷后還要明白，比球體積公式更重要的是發現了祖暅原理.因為有了該原理，可將幾何體進行轉化.如柱體積公式的推導，圖13.

圖13

生14：因為截面處處相等，所以V棱柱=V圓柱=V長方體=S底h，即V柱=Sh.

師：很好，再看圖14，15，又可得出什么？

圖14

圖15

師：非常好，有了祖暅原理，柱體、錐體的體積公式很容易得到.事實上，應用該原理還可反過來很方便地推導球體積公式，見圖16.

圖16

設計意圖應用“祖暅原理”可方便地推出柱體、錐體的體積公式，甚至反過來還能很容易地推出球體積公式，從而讓學生體會到“祖暅原理”的好處，也進一步明白了中國古代數學的輝煌，增強了文化自信.

2.2.7 劉徽的啟發

師：同學們，用祖暅原理推出球體積公式后，還能繼續推導球的表面積公式.前面提到的數學家劉徽，為中國古代數學作出了很多貢獻，比如在《九章算術注》中記載了他計算π近似值時首創的“割圓術”.

生17：初中老師講過“割圓術”，把圓內接正多邊形邊數不斷擴大，從而使正多邊形的周長接近圓周長.

師：說得沒錯，見圖17.劉徽將圓從正六邊形割為正十二邊形、正二十四邊形，……，并說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣！”這是非常偉大的創舉，通過“化曲為直”和無窮小思想，得出了比較精確的圓周率值，可見劉徽在他那個時代就已經有了極限思想的萌芽.今天借鑒劉徽的方法來推導球表面積公式.

圖17

生18：受劉徽“割圓術”的啟發，可以將球的曲面化為平面，即“化曲為平”，分割得越細越接近于球的表面.

圖18

生19：不妨給它取名為“割球術”！

師：這個名字取得好！看來大家對我國古代數學的成就已有所體會了.事實上，我們現在課堂上所學的每一個知識點，都是古代數學家前赴后繼研究得出的結果，期間要經過幾百年甚至上千年的艱辛歷程，因此大家要珍惜這樣的學習機會，努力將前人的智慧結晶學到，這正是大家在教室里進行學習的價值所在.

設計意圖重新回到起點，從劉徽的二維“割圓術”升級到三維“割球術”，讓學生明白“祖暅原理”的重要性，以加深理解中國古代數學家的偉大之處，培養了愛國主義，同時也讓同學們懂得了在課堂學習的意義.

3 教學反思與啟示

這是一節能完整體現學科育人的數學課，也是新教材“探究與發現”選學欄目中比較適合開發學科德育的內容之一.為了能綜合分析課中所蘊含的育人元素，在教學反思時借鑒了栗小妮博士提出的數學學科德育分類框架[3]，從理性、人文、人格、責任四個方面進行分析.

3.1 數學學科德育要素分析

(1)理性精神的塑造

上課伊始，引導學生達成共識：高中階段需要從理論上對公式進行推導，以體現數學學科的理性精神.于是在接下來的每個環節，都是從思維邏輯上嚴謹推導，而大量的圖片或演示也只是為了幫助學生能較好地直觀理解，所以整節課都充滿著理性思考，培養了學生要辯證地分析問題和做事要有理有據的品德.

(2)人文精神的彰顯

無論從剛開始提到的古希臘數學家阿基米德對數學的癡迷，還是中國古代數學家劉徽、祖沖之、祖暅一代代的薪火相傳，孜孜不倦地研究，都可以讓學生感受到人類追求真理過程中所遇到的困難和越挫越勇、勇往直前的精神.這種人文精神可培養學生堅韌不拔、刻苦鉆研的探索意識以及面對挫折不要輕易放棄的學習態度.

(3)道德人格的熏陶

像劉徽這么一位對數學作出巨大貢獻的中國古代偉大數學家，都能實事求是，非常謙虛地承認自己的不足，并希望后人超過自己的情懷，是值得每個人學習的.在這樣的道德人格熏陶下，希望學生學會不以自我為中心，要善于向他人學習，以培養多從他人角度去思考問題的人生觀與世界觀.

(4)社會責任的培育

劉徽為了證明《九章算術》中的球體積公式而構造“牟合方蓋”，再到發現其公式的錯誤后繼續深入研究，直到窮盡一生也無法解決的經歷，體現了數學家所具有的社會責任感和對數學研究認真負責的態度.同樣，200年后的祖沖之、祖暅父子亦如此，他們耗盡一生心血也不放棄的使命感，可激發學生的愛國情感，能培養學生敢于擔當、勇于承擔的優秀品質.

3.2 選學內容的教學啟示——學科德育的文化途徑

通過對新教材“探究與發現”選學內容的開發設計與實踐嘗試，探索出讓數學學科育人在課堂上落地的較好途徑是融入數學文化.由此可得啟示：將新教材中的選學內容加工開發成滲透學科德育的探究課，并從數學中的文化與文化中的數學兩條途徑來實施.

(1)數學中的文化途徑

任何一個數學知識，在經過了萌芽、誕生、發展與完善的過程后才最后成熟的，而這也是古今中外數學家在一代又一代持之以恒的研究中取得成功的過程，期間的篳路藍縷正是數學學科德育很好的育人素材.當然，數學中的主要文化載體是數學史，因此，一線教師需要對新教材中“探究與發現”“閱讀與思考”等選學內容多查閱些數學史料，把背后隱藏著的育人元素通過重構設計落實到課堂.

(2)文化中的數學途徑

學科文化源遠流長博大精深，其涉及的范圍甚廣，包括社會生活、民族特征、科技進步、歷史發展等方方面面，其中蘊涵的數學元素不勝枚舉.數學家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，無處不用數學.”正因如此，新課標理念提出了跨學科整合，而新教材中一些選學內容與例習題都涉及到了各學科知識，一線教師可從文化中的數學途徑多挖掘一些育人素材后落地課堂.

4 結語

數學課上滲透學科德育的育人要素，從而將立德樹人落實在課堂教學上是新課標理念之一.筆者對“祖暅原理”這節選學內容進行了基于學科德育的設計，重走了一次發現“祖暅原理”的歷史軌跡，以數學中的文化為實施途徑，將育人要素這條主線貫穿始終，取得了不錯的效果.當然，如何將新教材中的選學內容開展教學，學科德育究竟怎樣融入較好，采用什么路徑、策略實施有利于學生理解接受等也是見仁見智.筆者的這次實踐探索，也是拋磚引玉，冀盼有更多一線教師進行開發嘗試.