關于《數學通報》中的一個問題的探究

司志本 羅 晉

(河北民族師范學院教師教育學院 067000)

《數學通報》2012年第9期“數學問題解答”欄目中的第2078題(以下簡稱原題)為：

已知正實數x、y滿足x7+y7=x3+y3，求證：x4+y4≤2.

原題從x、y的對稱性和指數間的和諧性(7=3+4)兩個方面，體現了數學的形式美.對原題的結論作進一步的探究推廣后，可以更深入體會對稱性、和諧性的數學美.

1 初步推廣

先把原題x7+y7、x3+y3和x4+y4中x、y的指數之間“7=3+4”這個關系推廣到一般的情況.即有下面的命題1.

命題1若正實數x、y滿足

xm+n+ym+n=xn+yn，

(1)

則

xm+ym≤2.

(2)

其中m和n都是正整數.

證明當x、y中有一個是1時，不妨假設x=1，則根據(1)式可得ym+n=yn，從而有ym=1，注意到x、y都是正實數，所以有y=1，從而有xm+ym=2，此時(2)式顯然成立；

當x、y都不是1時，根據命題中x、y的對稱性，不妨假設x≥y.把(1)式進行移項得到

xm+n+xn=yn+ym+n.

整理得

xn(xm-1)=yn(1-ym)，

即

(3)

(xm-1)≤(1-ym)，

即

xm+ym≤2.

2 進一步推廣

由命題1，當x、y都是1時，xm+ym=2；當x、y都不是1時，除了(2)式成立以外，還有下面的命題2和命題3成立.

命題2滿足

xm+n+ym+n=xn+yn，

(1)

的正實數x、y，如果不全為1，那么必有一個大于1，一個小于1.

證明如命題1的證明，(3)式中xm-1與1-ym是同號的，因此xm>1當且僅當1>ym，即x>1當且僅當1>y.同樣x<1當且僅當1

把命題2推廣到多個正實數，得到下面的命題3.

命題3若正實數x1，x2，…，xt滿足

(4)

則xi(i=1，2，…，t)不可能同時大于1，也不可能同時小于1.

事實上，把(4)式的右端移到左端，整理可得

(5)

由(5)式可知，xi(i=1，2，…，t)不可能同時大于1，也不可能同時小于1.

3 最終結論

把命題1推廣到多個正實數，得到下面的命題4.

命題4若正實數x1，x2，…，xt滿足

(6)

則

(7)

證明當x1=x2=…=xt=1時，(7)式顯然成立.不妨假設x1，x2，…，xt不全為1，即可設x1≥x2≥…≥xi≥1≥xi+1≥…≥xt.

要證明(7)式成立，只要證明

(8)

成立即可.

由(6)式可得

從而有

(9)

將(9)式代入(8)左端，則有

(10)

因為，x1≥x2≥…≥xi≥1≥xi+1≥…≥xt，所以有，

(11)

(12)

(13)

(14)

由(11)—(14)式可知，(10)式右端的每一項的兩個因式都是一正一負(或者是0)，也就是說，(10)式右端的每一項都是負數(或者是0)，所以(8)式成立.