數學問題解答

2023年7月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2731在△ABC中，求證：

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

證明對△ABC的三內角A，B，C，由三角公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

并應用柯西不等式，得

sin2(A+B)

=(sinAcosB+sinBcosA)2

≤(sin2A+sin2B)(cos2B+cos2A)，

變形，得

同理

將這三個不等式相加，便得

2732在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AI，BI分別平分∠BAC，∠ABC，且∠ACB=60°，∠ABC=2∠BAC，求證：CI2=a2+c2-b2.

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

證明由∠ABC=2∠BAC得

因為a≠c，所以b2=a(a+c).

由∠ACB=60°得c2=a2+b2-ab.

所以(a2+c2-b2)-CI2

=0，

即CI2=a2+c2-b2.

2733設a，b，c>0，且a+b+c=1，證明：

(1+a)(1+b)(1+c)

(廣東省中山紀念中學 鄧啟龍 528454)

證明設x=a+b，y=b+c，z=c+a.

∑x∑xy=∏(x+y)+xyz

所以

∏(1+a)=∏[(a+b)+(a+c)]

(江蘇省興化市教師發展中心教研室 張俊 225700)

所以x2=x3，y2=-y3，

所以若C(x3，y3)，則B(x3，-y3)，

(x3-1)y4=-y3(x4-1)，

即x3y4+x4y3=y3+y4，

=4y4-4y3，

則(x3-4)y4=(x4-4)y3，

所以直線CD過定點(4，0).

2735設△ABC的三條邊，三個旁切圓半徑，三條高線，面積和半周長分別為a，b，c，ra，rb，rc，ha，hb，hc，Δ，p，則

(天津港職工培訓中心 黃兆麟 300456)

以上三個等式相加整理即得

由不等式(1)的完全對稱性，

不妨設a≥b≥c，則有3a≥2p且3c≤2p，

那么此時設不等式(1)的左右之差為M，

則利用(2)就有

即不等式(1)成立.

2023年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2736已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，2AC=BC，點D1在CB的延長線上，點D2在BC的延長線上，BD1=CD2，過點C作垂直于AB的直線，垂足為M，與AD1交于點E1，與D2A的延長線交于點E2.求證：

圖

(北京師范大學附屬實驗中學 白玉娟 100032；北京市朝陽區郎各莊村21號 郭璋 100121)

2737設ai≥1，證明：

當且僅當n個ai中至少有n-1個為1時，等號成立.

(深圳市龍華區教育科學研究院附屬外國語學校 鐘文體 518109)

(湖北省南漳縣建設工程質量監督站 劉光清 441500)

2739已知實數a，b，c滿足a

(安徽省南陵縣城東實驗學校 鄒守文 242400)

(浙江省慈溪實驗中學 華漫天 315300)