關于對數平均的一個不等式的推廣

李鴻昌 徐章韜

(1.北京師范大學貴陽附屬中學 550081；2. 華中師范大學數學與統計學學院 430079)

1 引言

定義兩個正數a和b的廣義對數平均(Stolarsky平均)[1]為：

1975年，Stolarsky.K.B[2]證明了：當a≠b時，Lr(a，b)是r的嚴格遞增函數.

經過計算，可得：

由Lr(a，b)的單調性和性質1，得到：

性質2當b>a>0時，Lr(a，b)有不等式鏈

L-∞(a，b)<…

即

則上式即

G

(1)

1972年，B.C.Carlson[4]對G，L，A的關系進行了探究，得到

(2)

2001年，J.Sandor[5]對G，I，A的關系進行研究，得到

(3)

受(3)式的啟示，姜衛東[6]研究了G，L，A之間的類似關系，得到

(4)

文[6]將(4)式進行推廣，得到如下的一般結論.

L2<λG2+(1-λ)A2.

L2>λG2+(1-λ)A2.

筆者在研讀文[6]時，發現定理1中λ的范圍還可以修訂，而定理2是錯誤的，應改為：

定理2′設λ≥1，則L2>λG2+(1-λ)A2.

筆者繼續探索G，L，A之間的關系，然后將(2)、(4)式進行推廣，且得到了更一般的結論.

2 一個引理

證明由(1)式知

(5)

即

引理得證.

3 主要結果及證明

經過探索，筆者將(2)、(4)式進行推廣，得到：

定理3設n>1，n∈N*，則

受到定理2′的啟示，筆者繼續探索，發現定理3中的指數n只要是大于0的實數都成立，于是將定理3推廣得到：

Ls<λGs+(1-λ)As.

(2)設λ≥1，s>0，則Ls>λGs+(1-λ)As.

證明不妨設b>a，令t=lnb-lna，

Ls-λGs-(1-λ)As

s(λ-1)(chx)s-1·shx

s(λ-1)(chx)s-1·shx

設

g(x)=xchx-shx+(λ-1)x2shx，x>0，

則

g′(x)=chx+xshx-chx+(λ-1)(2xshx+x2chx)

=x[(2λ-1)shx+(λ-1)xchx].

又λ-1<0，所以(λ-1)xchx<(λ-1)shx，

又shx>sh0=0，因此

g′(x)

=(3λ-2)xshx≤0.

從而g(x)在(0，+∞)上單調遞減，所以g(x)

顯然，ch0=1. 由洛必達法則，知

所以f(x)

對于(2)，當λ≥1時，

又shx>sh0=0，λ-1≥0，所以

s(λ-1)(chx)s-1·shx

從而f(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以f(x)>f(0)=0，故Ls>λGs+(1-λ)As.

評析經過恒等變形，把對數平均不等式問題巧妙地轉化成了雙曲函數不等式問題，形式簡單、漂亮. 構造函數f(x)，求導后利用引理進行放縮，再結合λ的范圍，可得到f(x)的單調性，從而不等式得證. 定理的證明方法新穎，證明過程簡潔、明了.