基于二次函數發展代數推理的教學實踐與思考①

丁銀杰

(江蘇省蘇州市草橋中學校 215031)

1 推理與代數推理

1.1 推理

推理是由一個或幾個已知的判斷(前提)推出新判斷(結論)的過程．《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標(2022年版)》)堅持核心素養導向，其中推理能力是初中階段應著力發展的核心素養之一．推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力[1]．推理一般包括合情推理(或歸納推理)與演繹推理.

1.2 代數推理

《課標(2022年版)》在第四學段新增了“了解代數推理”的內容要求，并通過實例(例66、78)說明在數與代數領域也有推理或證明，闡釋了代數問題與幾何問題論證路徑的一致性．代數推理是推理的重要組成部分，既包含通過計算、類比、歸納等發現和提出猜想的歸納推理，又包含通過建模、計算、判斷等證實和證偽結論的演繹推理.

關于代數推理，《課標(2022年版)》沒有給出明確定義，一般理解為指向“數與代數”領域的推理．錢德春教授認為“代數推理是從條件出發，由代數定義、代數公式、運算法則和運算律得到結論(特定的目標結構或關系)的一種變形與轉化”[2]．從這一認識出發，代數推理的主要形式是代數運算和代數結構或關系的變形與轉化，其中代數運算側重于寓理于算，代數結構或關系的變形與轉化主要是函數、方程、不等式等代數模型的等價轉化，顯性或隱性構造新的代數模型或用圖形、圖象表征代數對象等.

2 基于二次函數的代數推理教學實踐

函數是中學階段代數領域核心知識，對方程、不等式等起著統領作用，同時也是溝通代數與幾何等其他領域的橋梁．函數是代數推理的重要載體，函數圖象為代數推理提供了直觀形象，函數思想提升了代數推理思維品質.

基于二次函數開展代數推理教學研究，通常聚焦二次函數圖象與性質的再認識或二次函數的綜合應用．本文以某次公開教學研討課為契機，論述聚焦二次函數在數學內部綜合運用的創新教學實踐，旨在通過代數模型相互轉化、數形結合表征對象、函數思想遷移應用，發展學生的代數推理能力與創新意識．主要教學實踐環節如下.

2.1 代數模型相互轉化

在教學的第一個環節設計了如下情境與問題：

激活寫出二次函數y=x2-4x+m(m為常數)的3條性質.

問題1(1)若二次函數y=x2-4x+m(m為常數)的圖象與x軸有兩個公共點，求m的取值范圍；

(2)若二次函數y=x2-4x+m(m為常數)的圖象與一次函數y=2x-1的圖象有兩個公共點，求m的取值范圍.

本節課是在學生完成初中階段所有課程內容之后的一節專題研究課，所以創設了指向后續問題探究的數學情境“激活”，旨在通過開放問題幫助學生回顧二次函數有關知識、技能，初步感知二次函數y=x2-4x+m的圖象與性質隨參數m的變化情況.

問題1(1)較為基礎，聚焦拋物線與x軸交點問題，引導學生回顧二次函數與一元二次方程之間的關系．通過令y=0(即x軸方程)，將二次函數y=x2-4x+m轉化為一元二次方程x2-4x+m=0，從而將拋物線y=x2-4x+m與x軸交點問題轉化為一元二次方程x2-4x+m=0根的問題，進而利用根的判別式構造不等式求解.

在建筑施工階段中運用BIM技術還可對系統結構進行調整，對施工管理各項功能統一管理，在具體實施中可采用SD模型構建方式來施工作業，并對各項數據嚴格查詢。值得注意的是，施工人員在對施工模型進行構建時應從企業實際情況出發，對施工管理系統加以完善，為施工進度管理提供保障，對建筑工程進行動態化管理。在一個虛擬的環境中，利用現有的數據信息資料，模擬實際施工情況，及時發現建筑施工中存在的質量問題和安全問題，并針對這些問題及時找到解決對策，保證施工人員的人生安全，保證施工的質量。

本環節主要聚焦通過代數模型相互轉化發展代數推理能力．教學實踐中，學生以問題為引導，任務為驅動，自覺調用認知與活動經驗，經歷“函數(拋物線與直線的交點個數)——方程(一元二次方程或二元一次方程組的解的個數)——不等式(一元一次不等式的解集)”的完整分析和解決問題過程，感悟不同代數模型內在的統一性.

代數模型的相互轉化是代數推理的基本形式，不僅需要學生熟練掌握代數運算的法則、算理與技能，而且要求學生能根據當前條件和任務需要，靈活地、有意識地通過代數結構或關系的變形與轉化實施問題解決.

2.2 數形結合表征對象

在教學的第二個環節設計了如下探究性問題：

問題2若二次函數y=x2-4x+m的圖象在x≤4的部分與一次函數y=2x-1的圖象有兩個公共點，求m的取值范圍.

追問(1)若二次函數y=x2-4x+m的圖象在x≤4的部分與一次函數y=2x-1的圖象有且只有一個公共點，則m的取值范圍是.

(2)若二次函數y=x2-4x+m的圖象在x≤4的部分與一次函數y=2x-1的圖象沒有公共點，則m的取值范圍為.

問題2是問題1(2)變式，問題探究從整體走向局部．由于要求拋物線y=x2-4x+m與直線y=2x-1在x≤4范圍內有兩個公共點，只利用根的判別式并不能把問題解決，這就需要借助直觀的函數圖象，運用數形結合的方法解決問題.

圖1

思路2：由圖象可知直線x=4與拋物線y=x2-4x+m交于點(4，m)，與直線y=2x-1交于點(4，7)．由題意，得點(4，m)不在點(4，7)下方，從而m≥7．所以7≤m<8.

思路3：如圖2，由x2-4x+m=2x-1，分離參數m，得m=-x2+6x-1．構造新函數y=-x2+6x-1(x≤4)，y=m，則原問題等價轉換為直線y=m與拋物線y=-x2+6x-1(x≤4)有兩個公共點．因為拋物線y=-x2+6x-1(x≤4)的頂點為(3，8)，且過(4，7)，所以7≤m<8.

圖2

思路3再次說明了函數、方程模型內在的統一性，根據需要可相互轉化．由于對參數m實施了分離，變化的拋物線y=x2-4x+m轉化成了確定的拋物線y=-x2+6x-1，傾斜的直線y=2x-1轉化成了水平的直線y=m．在思路3的啟發下，兩個追問便水到渠成.

本環節主要聚焦通過數形結合表征對象發展代數推理能力．正是解決問題過程中“數”的不便產生了對“形”的需求，由“數”到“形”、以“形”助“數”是思維的自然流露．由于有了函數圖象的直觀支撐，問題2解決變得“可視化”，函數、方程內蘊的數量關系成了點、線外顯的位置關系.

數形結合表征對象豐富了代數推理的表現形式，建立了代數與幾何的聯系，詮釋了代數推理、幾何推理的一致性．代數結構、關系的優化與重構直接影響圖形、圖象的直觀呈現，反映數形結合表征對象的代數推理能力水平.

2.3 函數思想遷移應用

在教學的第三個環節設計了如下拓展性問題：

問題3若二次函數y=(x-x1)(x-x2)的圖象經過(0，m)和(2，n)兩點(m，n是實數)，且0

變式設實數x，y，z滿足x+y+z=1，求M=xy+2yz+3zx的最大值.

對于問題3，根據條件y=(x-x1)(x-x2)經過(0，m)和(2，n)兩點，可得m=x1x2，n=(2-x1)(2-x2)，從而mn=x1x2(2-x1)(2-x2)，學生大抵只能分析至此，再往下便束手無策了．究其原因，學生無法從函數的視角看待這一等式(等式的左、右兩邊分別含有兩個變量，超出了當前認知范圍).

于是教師“施以援手”，啟發學生采用分組策略，將x1，x2分組，從而將表達式重組為mn=[x1(2-x1)][x2(2-x2)]．學生頓時打開了思路，在前面構造新函數經驗基礎上，自覺將函數思想遷移應用到此情境中，用函數觀念審視表達式mn=[x1(2-x1)][x2(2-x2)]，將x1(2-x1)視為y1，x2(2-x2)視為y2，mn視為y，于是y=y1y2，即將mn看作兩個相同函數的積.

至此，基于二次函數的性質，運用配方可得mn=[-(x1-1)2+1][-(x2-1)2+1]．再由條件0

本環節主要聚焦通過函數思想遷移應用發展代數推理能力．當學生面對問題3及其變式的“全新”情境時，多數學生會在知識檢索、方法比對后遭遇“碰壁”，這就要求學生在教師的啟發下對復雜的代數關系(多元等式)進行變形與轉化(分組或分配)，將陌生的代數結構轉化為熟悉的代數結構組(積或和)，從而運用二次函數有關性質分析、解決問題.

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題．不同于問題2的思路3顯性構造新函數，問題3是將函數思想遷移應用到新的情境，隱性構造函數，問題3與變式互相印證了函數思想在問題解決中的價值.

3 關于代數推理的幾點思考

3.1 代數推理教學要做好初高學段銜接

代數推理作為推理的重要形式，其能力水平具有階段性、發展性與一致性．教學實踐中，教師需要遵循學生的認知和心理發展規律，依據各階段數學課程內容、學業質量要求與素養發展目標，做好學段銜接，整體預設，分層實施．小學階段強調寓理于算，滲透代數推理意識，初中階段側重基于運算、代數模型性質與代數模型轉化進行推理，發展代數推理能力，為高中階段建立代數模型進行問題解決做好必要的鋪墊.

教材編寫非常重視代數推理的學段銜接．以函數為例，人民教育出版社A版《普通高中教科書·數學(必修第一冊)》在展開具體的高中階段課程前，設計了“第二章一元二次函數、方程與不等式”預備知識．類比初中階段的等式與不等式的性質，研究了基本不等式；類比初中階段用一次函數的觀念研究一元一次方程、一元一次不等式，得到了以二次函數為紐帶，把一元二次方程、一元二次不等式聯系起來的思想方法.

3.2 代數推理教學要促進數學思維培育

數學是思維的體操，數學課程重在培養學生的數學思維，提升學生用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力．在義務教育階段，數學思維主要表現為：運算能力、推理意識或推理能力，代數推理教學是培育數學思維的基本路徑.

在代數推理教學中，教師要引導學生經歷觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等數學思維過程，理解數學基本概念和法則的發生與發展；運用歸納、演繹和類比進行推理，理解數學基本概念之間、數學與現實世界之間的聯系，學會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；經歷數學“再發現”過程，學會運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神.

3.3 代數推理教學要關注創新意識發展

義務教育階段，數學創新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題．創新意識包涵創新品質(愿望、信心、興趣等)、創新思維(獨立思考、自主探究、質疑問難等)與創新結果(發現、構造、“再創造”等)．創新意識有助于形成獨立思考、敢于質疑的科學態度與理性精神.

代數推理教學要關注創新意識發展，幫助學生初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現代數結構、關系與規律，提出命題并加以驗證；引導學生探索一些開放性的、非常規的與代數相關的數學與實際問題，經歷數學的“再創造”.

代數推理能力是義務教育階段應著力發展的一項關鍵能力，對學生后續數學學習有著奠基作用．教師要基于對數學、學生和教材的理解，加強代數推理教學研究，促進學生代數推理能力發展.