鼠籠式彈性支承的柔度計算及影響因素分析

白孝棟，蔚奪魁，馮國全

（中國航發沈陽發動機研究所，沈陽 110015）

0 引言

鼠籠式彈性支承常用于日益趨于柔性化的現代航空發動機和燃氣輪機，以實現調整臨界轉速和振動抑制[1]。為了使發動機具有先天優良的振動特性，目前普遍的作法是采用帶有彈性支承的轉子方案[2]。工程研制實踐表明，鼠籠式彈性支承典型的故障模式為疲勞破壞[2-3]。整體加工的鼠籠式彈性支承由于存在較大的應力集中，容易出現疲勞裂紋，甚至發生籠條斷裂，從而造成災難性事故[2]。彈性支承的柔度特性對發動機可靠性影響很大[4]，其柔度及疲勞問題很早就引起了工程界和學術界的高度關注。

目前，鼠籠式彈性支承柔度的理論計算主要基于非籠條部分剛化的懸臂梁理論推導得出。馮國全等[2，4]考慮了鼠籠籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行的特點，完善了鼠籠式彈性支承柔度計算的理論公式，在一定程度上提高了理論公式的精確性。理論公式在計算低剛性即大柔度的彈性支承時較準確[5-7]，但對于籠條數很多的高剛性的鼠籠彈性支承，實際柔度值與理論計算值存在一定的誤差[8-9]。原因是在理論公式推導過程中，不可避免地存在了基本假設，即沒有考慮籠條根部倒圓和非籠條部分的變形影響。在工程設計中，如果出現現柔度設計不準問題，會導致：（1）臨界轉速計算存在一定誤差；（2）對轉子較重的發動機，由于重力下沉導致的擠壓油膜阻尼器的油膜環與油膜軸頸處于不同心狀態，使用有相對誤差的柔度值做預調同心不準確，從而導致擠壓油膜阻尼器失效[10-11]而表現出非線性[12]。上述2 種問題都可在一定程度上引起整機振動問題[13]，進而影響整個發動機的可靠性[14-15]。因此對于籠條數很多的高剛性的鼠籠式彈性支承有必要對其柔度的數值仿真計算展開研究并分析其影響因素[8]。

本文基于有限元數值計算探討了鼠籠式彈性支承柔度數值計算的邊界條件，分析了籠條根部倒圓、非籠條鼓筒、籠條截面為矩形與扇形差異等因素的影響，并將有限元數值結果與理論公式結果進行對比。

1 鼠籠式彈性支承結構簡介

某發動機采用的鼠籠式彈性支承結構如圖1 所示。在金屬套筒上銑削加工成若干籠條，通過改變籠條的長度L、寬度b、壁厚h和籠條數量N來調整柔度，從而調整臨界轉速、降低振動響應。鼠籠主要結構參數見表1 ，材料力學性能參數見表2。

表1 鼠籠主要結構參數

表2 材料力學性能參數

2 鼠籠式彈性支承柔度的理論計算

基于梁的非對稱彎曲變形理論，結合鼠籠式彈性支承受力分析，考慮了彈性支承主彎曲方向與籠條受力方向不平行特點，對鼠籠彈支展開力學建模?；\條兩端鋼環的剛性遠大于籠條的剛性，因此將籠條簡化為一端固支、另一端可移動、不可轉動的梁，籠條截面是近似矩形截面，主彎曲方向為徑向（r方向）和切向（t方向），鼠籠彈支在橫向載荷作用下產生橫向變形，且各籠條端部的位移相同，如圖2所示。

圖2 籠條受力分析

假設鼠籠式彈性支承受垂直向上的力F，第i個籠條與位移u的夾角為i，則第i個籠條在主軸方向的變形為

與一般的矩形截面Ir、It不同，此時u與Fi方向并不相同。Fi在u方向的合力為

籠條沿圓周均勻分布，則

彈性支承端部的位移即為各籠條端部位移u，力為所有籠條端部u方向的合力，即

所以彈性支承的柔度系數為

按照式（6）即可計算鼠籠式彈性支承的柔度。

3 鼠籠式彈性支承柔度的數值仿真計算方法

3.1 連接關系

鼠籠式彈支結構連接關系如圖3所示，法蘭面（A面）通過均勻分布螺栓與機匣連接。B面承受軸承載荷，其與軸承外環接觸，載荷通過軸承外環作用于B 面。

圖3 鼠籠式彈支結構連接關系

3.2 邊界條件和載荷模擬方法

B面軸承載荷的模擬方式如圖3 所示。法蘭面與機匣通過均勻分布的螺栓連接，不妨采用全約束模擬法蘭面約束。作用于軸承的載荷通過滾動體由1個套圈傳到另一個套圈作用于鼠籠內圈B 面?；贏nsys Workbench 平臺，軸承載荷施加主要有3 種方法，分別為remote force、bearing load 以及余弦載荷分布的壓力，以下對3種施加方法進行說明。

（1）Remote force。通過remote force 施加軸承載荷，其相當于在軸承中心建立pilot節點與套圈表面的節點進行耦合。耦合方法可設置為rigid，deformable以及couple。

（2）Bearing load。bearing load 假設軸承徑向間隙為零，即沿徑向載荷作用線半圈滾動體受力，半圈滾動體不受力，通過在單元上施加面壓力的方法施加軸承載荷，壓力方向與徑向載荷作用方向一致，與載荷作用線夾角（處的壓力大小為

（3）bearing load。在施加壓力時，根據單元坐標按式（7）進行插值，根據力平衡條件

采用積分形式表示，則徑向載荷

將式（1）帶入式（2）、（3），峰值壓力載荷為

式中：R為套圈半徑；H為套圈寬度。

余弦載荷通過pressur 單元實現施加面壓力等效軸承載荷，壓力方向沿單元法向，壓力分布可以通過函數控制。在工程應用時，一般假設壓力按余弦分布，徑向游隙為零，套圈有半圈受力，此時，方向載荷Pφ為

根據力平衡條件，徑向載荷

因此，峰值壓力載荷為

3.3 不同載荷邊界條件對比

研究不同的約束以模擬軸承分布載荷對柔度計算值的影響?，F考慮remote force（分rigid、deformationz 2 種耦合方式）、bearing load 及余弦載荷（分直接在鼠籠內表面加載、考慮軸承外環的線性接觸和非線性接觸3 種方式）不同的約束方式，以研究其對柔度計算值的影響。

有限元計算得到了在不同方式施加載荷時的鼠籠柔度值（見表3）。鼠籠式彈性支承實際傳遞力的路徑是載荷通過軸承傳遞到鼠籠內表面，加載方式（f）較為合理地模擬了實際的力傳遞。由于軸承組件的支承剛度一般很大，并且滾棒軸承剛度要比滾珠軸承的剛度大，因此，對于具有彈性支承的支點大多可以忽略軸承剛度的影響[8，10]。

表3 軸承載荷施加方法對比

不同約束以模擬軸承分布載荷作用下鼠籠的變形量（表3）的提取方法為鼠籠內表面最大的變形量和平均變形量。根據計算結果，加載方式（a）中，加載面變形量與平均變形量（pilot節點變形）基本一致，其他加載方式下，加載面變形量與平均變形量都存在一定差值，是因為加載方式（a）采用了剛體耦合，即假定加載表面為剛性，不發生局部變形。在其他加載方式下，發生了加載面的局部變形。多數文獻及資料表明[2，4]，軸承載荷的傳遞為余弦式分布，考慮到鼠籠式彈性支承與軸承的配合接觸關系，所以加載方式（f）較為合理地模擬軸承載荷分布及力的傳遞關系，其考慮了軸承外環模型下的接觸分析，涉及非線性問題。加載方式（e）在（f）的基礎上，軸承外環與鼠籠采用線性接觸，可在有效模擬力的傳遞的情況下，較快地計算出結果，工程計算時可以提高計算效率。當模型不考慮軸承外環時，所得到的柔度值略偏高于模型考慮軸承外環時的柔度值。具體相對誤差見表3。

3.4 基于理論公式的有限元數值仿真方法驗證

鼠籠式彈性支承的柔度和疲勞應力的理論計算公式基于非籠條部分剛化的懸臂梁理論推導得出。鼠籠非籠條部分剛化模型如圖4 所示。從圖4（a）中可見，公式推導基于假定非籠條部分兩端絕對剛化。按照理論公式推導的假定，在有限元數值計算中，將非籠條兩端部分彈性模量加大以模擬非籠條部分絕對剛化的假定，以驗證有限元數值計算的結果。從圖4（b）中可見，非籠條部分彈性模量加大。倒圓半徑為0。

圖4 鼠籠非籠條部分剛化模型

對比圖4 非籠條兩端加大彈性模量的有限元計算與理論公式結果，有限元結果與理論公式精確解吻合很好（見表4），說明表3 的計算結果可信?？捎么朔椒炞C有限元的計算結果。

表4 非籠條兩端加大彈性模量的有限元計算與理論公式結果對比

4 彈支柔度的影響因素分析

4.1 鼓筒的影響分析

在第3.4 節模型的基礎上，將非籠條兩端的彈性模量修改為實際的彈性模量，即可研究理論公式未考慮的非籠條鼓筒部分的影響。鼓筒部分對柔度的影響對比見表5。

表5 鼓筒部分對柔度的影響對比

從表中可見，鼓筒部分剛化處理，鼠籠的柔度是47.178 nm/N，理論公式計算沒有考慮籠條根部的倒圓且基于兩端絕對剛化假設計算得到，其結果是47.62 nm/N。在有限元計算中，為了滿足理論公式的假定及非籠條部分剛化且不考慮倒圓，將模型去除倒圓且將兩端做剛性化處理，即將非籠條兩端的彈性模量增大。有限元計算得到鼠籠的柔度為47.178 nm/N，此結果非常接近理論計算值。如果只做倒圓滿足理論模型，即不考慮非籠條兩端的絕對剛性，有限元數值計算得到柔度為62.049 nm/N，此結果與理論公式計算結果對比，誤差在31.25%，即僅考慮非籠條鼓筒部分的影響時，理論公式得到的柔度偏小。其原因是，實際情況下，籠條發生彎曲變形時，籠條根部發生了一定的撓度角。由于公式推導中認為支承兩端為絕對剛性，因此，理論公式在計算低剛性即大柔度的彈性支承時較準確，對于籠條數很多的高剛性的鼠籠支承，應采用有限元方法計算支承剛度。

4.2 倒圓的影響分析

在第3.4、4.1 節模型中，其倒圓為0，即滿足理論公式的假設。為了研究理論公式未考慮的倒圓影響，現在模型中加入半徑分別為R=1、2、3 mm 的籠條根部倒圓展開研究?；\條根部有無倒圓模型如圖5 所示。這里考慮非籠條部分的作用即非籠條部分為可變性。

圖5 籠條根部有無倒圓模型

不同籠條根部倒圓半徑（R=0、1、2、3 mm）對鼠籠彈性支承柔度的影響見表6，模型考慮了非籠條鼓筒的影響。當倒圓為0 時，即為籠條的有效長度。不妨按照鼠籠彈支柔度計算的理論公式，定義有效長度縮減率K=其中，δRi表示帶籠條根部倒圓對應的柔 度 值，R=i（i=1、2、3 mm），δR0表示籠條根部無倒圓對應的柔度值。由定義的有效長度縮減率K，就可以研究不同籠條根部倒圓對鼠籠彈支柔度的影響（表6）。增大籠條根部倒圓，可降低鼠籠彈支的柔度，其柔度減小的原因在于倒圓縮減了籠條的有效長度。如采用3 mm 的倒圓時，假定籠條設計的長度L=50 mm，按照3 mm的有效長度縮減率為0.961，最終籠條的有效長度為48.05 mm。在工程設計時，前期考慮倒圓縮減率的影響，可提高設計的精度，以便達到設計要求。

表6 不同籠條根部倒圓對鼠籠彈支柔度的影響

4.3 籠條截面為扇形與矩形的差異分析

鼠籠彈性支承的籠條是金屬套筒上銑削加工而成，通常銑削去除部分的截面形狀為扇形即剩余籠條部分截面形狀為矩形?，F考慮由于簡化工藝，使得銑削去除部分為矩形，其中矩形的寬度分別為原本扇形截面內表面、中間、外表面寬度尺寸3 種情況，即剩余籠條部分為扇形。不同形狀的籠條截面如圖6 所示，分為矩形籠條截面和扇形籠條截面。

圖6 不同形狀的籠條截面

不同截面形狀的籠條對彈支柔度的影響見表7。其中矩形為設計截面，即銑削去除部分為扇形。扇形1 至扇形3 為考慮由于簡化工藝所致的截面形狀，考慮加工時，原本計劃銑削去除的扇形銑削為矩形，矩形寬度的尺寸分別為計劃銑削扇形內、中間、外表面的寬度。

表7 不同截面形狀的籠條對彈支柔度的影響

當銑削矩形的尺寸按照計劃銑削扇形的內表面寬度考慮時，即籠條截面為扇形1 時，柔度降為50.42 nm/N，與設計截面相比，柔度降低了8.47%，降低的原因在于籠條截面了慣性矩增大，從而剛度增大；當銑削矩形寬度按照設計銑削扇形中間寬度考慮時，即籠條保留截面為扇形2 時，柔度為54.79 nm/N，與設計截面基本相同，可以按照設計銑削扇形的中間截面尺寸簡化工藝銑削去除為矩形截面，保留籠條截面為扇形截面；當銑削矩形寬度按照設計銑削扇形外表面寬度考慮時，即籠條保留截面為扇形3 時，柔度為59.30 nm/N，與設計截面相比，柔度增大了7.64%，原因在于按照設計扇形外表面寬度的尺寸為矩形寬度切削時，實際切削部分比設計切削部分的橫截面積大，故籠條的實際橫截面慣性矩減小。

5 結論

（1）探討了鼠籠彈支數值計算的邊界條件。結果顯示，考慮軸承外環線性接觸式的軸承力加載方式，即可在一定精確范圍內滿足加載邊界條件，其精度與考慮非線性接觸的精度基本一致，由于不涉及非線性計算從而有效地提升了計算效率，適合工程計算。

（2）研究了鼠籠式彈支柔度的影響因素。結果顯示，理論公式未考慮的鼓筒部分對柔度存在一定的影響。對于籠條數較多，高剛度的鼠籠彈支結構，應采用有限元數值計算其柔度。

（3）探討了籠條根部倒圓的影響，提出了有效長度縮減率K；研究了簡化加工工藝，對扇形與矩形截面的差異分析可知，在保持橫截面慣性矩不變的情況下，可以簡化加工工藝，矩形截面可以加工為扇形截面。

（4）采用有限元數值仿真方法進行彈支結構的柔度設計，可以克服理論解析方法無法考慮倒角等結構細節特征影響的局限性，從而獲得更逼近真實條件的鼠籠式彈性支撐結構設計方案。