數形結合思想在初中數學教學中的應用

■山東省菏澤市牡丹區第二十一初級中學 王存革

隨著素質教育改革的不斷深入，各學科對學生核心素養的發展越發重視，新標準也因此對學生的培養提出了更高的要求。在此背景下，繼續堅持傳統教學模式只會越來越難以滿足學生的成長需求。以往“以分數論英雄”的時代已經過去，教師必須及時轉變自身的教育理念，根據數學這門學科的特點，做好圖形與數字的巧妙結合，幫助學生更好地克服對數學知識的理解障礙，充分調動學生數學學習興趣，切實推動學生數學思維乃至綜合素養的發展。

一、數形結合思想及價值概述

數學知識一般比較抽象，學生在學習時難免會感覺枯燥乏味，特別是對初中生來說，有些理論知識理解起來比較困難，很容易增加他們的畏懼情緒。為了幫助學生更好地掌握數學知識，增強初中階段的數學課堂教學質效，教師要積極使用數形結合的教學方法，提升學生數學學習興趣與效率。比如，對那些比較復雜的數學理論，單憑初中生的認知水平可能無法充分理解其中的邏輯，這時教師便可以發揮數形結合的作用。在課堂教學中，教師可以將原本難以理解的抽象化的知識轉化為學生可以直觀理解的圖表，讓學生清楚觀察其中發生的變化，如此一來，學生就可以更方便地學習，有效掌握該知識點。因此，數形結合思想經常被教師應用于課堂教學中，讓數學知識變得更為生動可感，從而有效激發學生對數學的興趣，使其積極主動地進行數學學習。

除此之外，在初中階段的數學課堂上積極使用數形結合思想，可以深化學生對抽象知識的理解，有效發展他們的想象力與創造力，幫助學生對所學知識點形成更牢固的記憶，同時推動學生從多個角度對數學問題進行自主分析，促使他們穩步提升自身的數學學習能力，從而更好地解決數學問題，有助于其數學思維的形成與發展。

二、數形結合的常見形式分析

（一）以數化形

講到圓形、三角形、多邊形、柱體、錐體等幾何圖形時，教師可以讓學生仔細觀察圖形，引導他們仔細思考涉及的知識點。在以數化形的幫助下，原本面對課后習題百思不得的學生，可以準確洞悉圖形中存在的數量關系，進而有效提升對知識的領會能力，大幅提高做題速度。而且，教師使用該思想進行知識傳授的時候，可以使學生在幾何圖形思維的引導下，對其中的數量關系形成更直觀的理解。

（二）以形變數

在教授學生幾何知識的時候，教師會經常使用“以形變數”的技巧，這樣可以讓學生更全面地了解題目中設置的隱藏條件，進而方便學生實現對數學問題的高效解答。

（三）數形互變

這種方法主要被用于直角坐標系和函數教學中，借助直角坐標系圖形與函數的相互轉換，幫助學生準確找出實數的對應位置，然后結合代數方面的知識求取函數問題的答案。

三、數形結合思想在初中數學教學中的應用

（一）研讀課標，分析數形結合與數學知識的聯系

課本內容與課程標準是各科教師在教學工作中的重要依據，凝聚著無數教育工作者的智慧與汗水。教師只有正確理解課標，才能充分明確關于數形結合思想的具體使用，從而最大限度地對學生進行素養培養，幫助他們深入開展學習活動。而要想實現這一目標，教師必須仔細研究新課標及課本內容，在掌握空間觀念、幾何直觀等重點的同時，做好對課程目標及教學建議的全面把握，并認真梳理各單元涉及數形結合的部分，只有這樣才能更好地應用該思想。比如，講到“代數式”的時候，教師便可以通過數軸的形式來直觀地表示有理數，并借此幫助學生理解相反數、絕對值等概念；在講解實數的過程中，教師也可以借助實數與數軸點之間的對應關系來輔助學生理解；至于平方差公式，則可以通過拼圖的方式實現以形助數。又如，在講到“一元一次方程”的時候，教師可以讓學生通過線段圖的方式來分析等量關系，由此得出方程。再如，針對函數的教學，教師可以利用圖像來代表函數，讓學生更方便、直觀地分析函數中不同變量之間的關系。

（二）因材施教，尊重學生認知規律

由于年齡等方面的原因，各年級的學生在學習中表現出的心理特征也會有所差異，進而表現出不同的學習特點。以七年級的學生為例，由于剛剛從小學升入初中，因此在學習中仍然以形象思維為主導；而進入八年級之后，學生的思維與心理都得到了一定的發展，但課堂上仍需要教師的引導，面對比較抽象的知識時很容易出現畏難情緒；到了九年級，學生則能夠自主運用抽象思維來處理問題。因此，開展教學活動之前，教師應留心學生所在的年級，全面了解他們的學習特點，由此實施針對性的教學策略。比如，在為初一的學生講授數學知識時，應盡量選擇直觀的教學方式，這樣可以幫助他們更好地理解圖像的意義，從而鍛煉學生的數學畫圖能力；在為初二的學生講授數學知識時，教師應從“形”和“數”兩個方面入手，逐步引導學生理解課程內容，切實體會數學圖形的美觀性與直觀性，從而了解代數方法的精準作用；而在教授初三學生數學知識時，教師應當向學生系統介紹數形結合思想，鼓勵他們通過畫圖、數軸、坐標系等方法自主對問題進行歸納，逐步培養學生在數學方面的邏輯推理能力，促使其不斷發展。而在具體的教學過程中，教師還應注意因材施教，充分考慮學生的學習優勢與個性特點，科學合理地指導他們應用數形結合思想。

（三）聯系現實，降低數形結合難度

在素質教育背景下，教師要采取措施，激發學生對數學學習的興趣，使課堂教學充分滿足其發展需求。從教學實踐來看，不少初中生都不能主動使用數形結合技巧來解決問題，原因在于他們對該思想缺乏深入理解。為此，教師應認真反思所創設的教學情境是否真正滿足了學生的學習需求、采用的教學方法是否激起了學生對數學的興趣、教學流程及活動設計是否合理、是否為學生提供了科學的數形結合運用指導等。比如，在七年級上冊“有理數”的教學中，其中包含許多相反意義的內容，剛進入初中的學生想完成知識過渡不太容易。教師可以在引入數軸的基礎上，選擇生活中常見的溫度計作為教學實例，通過分析溫度測量中零下與零上這兩種不同的表達形式，幫助學生初步理解“正負”?！安还苁橇闵隙嗌俣冗€是零下多少度，都是基于‘0’來劃分的，低于零度的溫度數據用‘-’表示，高于零度的溫度數據則用‘+’表示”，完成對零下及零上溫度表示的講解后，教師可以讓學生橫著觀察溫度計，這時就可以將溫度計視為一個特殊的數軸，“0”刻度線左邊就是負數區域，右邊則為正數區域，從而實現對抽象概念的圖像化、直觀化，方便學生深化對“負數與正數”這兩個相反量的理解，在數形結合的幫助下推動學生數學學習效率的有效提升。

（四）科學引導，促進數學語言轉化

所謂數學語言，是一種表示事物數量、因果、位置等關系的基本形式，主要包括圖像、文字、符號三種，它們都具有獨特的表達優勢，往往能在學生學習數學的過程中起到相當重要的作用。而運用數形結合思想的過程，就是借助這三種語言間的來回轉換處理數學問題的過程，其融合轉化有助于提升學生對數形結合的理解，實現高效學習。在教學過程中，經常會遇到一些不擅長分析題目的學生，主要原因在于他們對數形表征缺乏足夠的語言概括及轉化能力。因此，在初中階段的數學教學中，教師應積極指導學生，加強對他們的數學語言轉化訓練。比如，在講到九年級下冊“垂徑定理”的時候，教師就可以采取文字描述的方式進行講解，在平分圓弦及其對應的弧的同時使之垂直于圓的直徑。然后配以相應的圖形，方便學生理解，如圖1 所示，以英文符號標出對應的點，CD 是圓O 的直徑，AB 則為經過AB 的一條弦，假設線段AB 與線段CD 相互垂直，將二者的垂足命名為點M，則線段BM 與線段AM 的長度相等，圓弧BD 與圓弧AD、圓弧BC 與圓弧AC的長度均為相等關系。結合圖像、符號、文字等，進行綜合性的轉化表述訓練，可以讓學生親身體會數學語言的方便與簡潔，有助于激發他們在做題時運用數形結合技巧的主動性，從而有效推動其數學學習質量與效率的提升。

圖1 垂徑定理的圖形表達

（五）培養習慣，加強數形結合應用

根據新課標的相關要求，教師應盡可能實現以下教學目標：讓學生準確掌握物體位置、圖形性質等特點，幫助學生養成良好的空間意識，構建完善的幾何直觀，能夠自覺以圖形的方式來考慮問題，而這也要求教師必須做好對數形結合思想的運用。在解答不等式方程問題的時候，有的學生對函數圖像的運用能力較弱，對解題方法的選擇也不夠簡潔、合理，以至于在處理問題時難以做到對圖像的有效利用。為此，教師必須重點加強對學生數形結合習慣的培養，讓他們在遇到問題時能夠自覺主動地進行圖形想象，做到準確畫圖、仔細讀圖和高效用圖。以數學領域中比較常見的“行程問題”為例，教師可以讓學生以線段圖的形式求解，這樣有助于將路程、用時及行駛速度等因素的關系生動地表現出來，讓學生清晰地掌握問題中存在的數學關系。又如，遇到函數問題的時候，教師可以引導學生改變代數運算的固定思維模式，積極進行圖形轉換，通過畫圖收集各種有效信息，借此分析函數的具體性質，進而客觀梳理不等式、方程、函數之間關系，為問題找出最合適的解決方法?？偠灾?，教師要重點加強對學生的習慣培養，使其能夠熟練使用圖形分析遇到的問題，盡可能將其中的復雜關系簡單化，在降低解題難度的同時增強學生對數學知識的學習自信。

（六）重視基礎，加強對理論概念的講解

無論何時，基礎知識都是每個學生必不可少的學習內容。而現實生活中，不少學生對課本中的數學定義與概念缺乏足夠的重視，覺得這些東西非常簡單，與考試無關，根本用不著專門研究，只要能在做題的時候運用就可以了。但事實是，數學定理與概念中蘊含著非常寶貴的數學思想，打牢這方面的基礎可以幫學生更輕松地進行數形轉化，方便其找出問題的答案。比如，在教學實踐中經常會有學生在判定三角形相似和全等關系的時候出錯，證明過程總是存在這樣或那樣的邏輯漏洞，對問題解決過程的描述也不夠清晰，這在很大程度上就是因為學生未能理解公式的本質，沒有意識到直角三角形邊長之間的關系。因此，教師應注意加強對基礎知識方面的講解，帶領學生認真分析課本中的公式和定義，不斷增加學習積累，唯有如此，才能為其數形轉換打下堅實的理論基礎。

（七）全面融入，實現全課型應用

數形結合思想的應用可以體現在不同課型的不同階段。比如，引入新課內容的時候，教師可以通過對圖形、坐標系、數軸等直觀表達方式的運用來幫助學生認識抽象的數學理論。需要注意的是，引入新的數學定理或公式時，教師在關注學生對知識理論學習情況的同時，還要在課堂上盡可能呈現這些知識的實質，特別是在講解性質、定理或概念的時候，要積極引入相關圖形，引導學生進行直觀探討，使其親自感受生活中的具體知識逐步被抽象的過程，幫助他們對數形轉換形成一個大致認知，為后續運用打好基礎。

以七年級上冊“有理數及其運算”教學為例，教師可以針對相反數的概念，利用數軸來輔助講授，引導學生更直觀地了解相反數的特點，明白所謂的相反數就是數軸上與0 點的距離完全相同而方向相反的一組數，幫助學生對這一概念形成相應的圖形符號認知，有效促進其數感及幾何直觀能力的養成。而在習題訓練階段，教師可以為學生列舉一個與課程知識有關的具體問題，針對性地講解該怎樣進行數形轉換，使學生初步形成相應的問題思考意識后，為其安排合適的題目進行實踐。例如：在方程求解問題中，教師可以在黑板上畫出相應的函數圖像，然后借助圖像來分析問題；而如果是幾何問題且題目中沒有具體圖形，教師則應帶領學生按照題目條件畫出相應的幾何圖像，再根據所畫圖形找出隱藏的數學關系，進而正確解決問題。

四、結語

初中是學生成長的重要時期，數學教學質量對學生核心素養的培養以及思維品質的提升都具有重要意義，可以為其未來發展打下良好的基礎，而數形結合思想在課堂教學中的運用對學生建立健全數學知識體系、理解課程知識理論具有重要作用。因此，教師在開展教學活動的過程中，必須積極地從多角度挖掘數形結合的作用，以直觀的問題分析與解決來促進學生邏輯思維的發展，進而帶動其數學綜合素養的提升，切實提高初中階段數學教學質量。