三角代數上Jordan同構的刻畫

劉 丹,張建華,宋明亮

(1.江蘇第二師范學院數學科學學院,江蘇 南京 210013)(2.陜西師范大學數學與統計學院,陜西 西安 710062)

設A和B是結合代數,φ:A→B是一個線性雙射.若對任意的x∈A且2x=0,有x=0,則稱A是2-無撓的.如果對任意x,y∈A,有φ(x°y)=φ(x)°φ(y),則稱φ是一個Jordan同構,其中x°y=xy+yx為Jordan積. Jordan同構是算子代數上的一類重要的線性映射,受到了許多學者的關注. 例如:Molnar等[1]證明了三角矩陣代數Tn(F)上的Jordan同構是同構或反同構.這里F是至少包含3個元素的數域.Beidar等[2]推廣了這個結論,證明了2-無撓交換環R上的上三角矩陣代數上的Jordan同構是同構或反同構. Lu[3]證明了套代數上的Jordan同構是同構或反同構. Wong[4]研究了上三角矩陣環上的Jordan同構,并給出了Jordan同構是同構或反同構的條件. 本文將通過由零積、Jordan零積或交換零積所確定的子集上線性映射的局部性質來刻畫三角代數上的Jordan同構.關于線性映射的局部性質的研究主要有兩個方面.一方面是逐點定義的局部映射,如局部導子和局部同構的研究[5-9].另一方面是通過線性映射在某些子集上的局部性質來研究它的整體結構性質(見文獻[10-16]).

設A和B是交換環R上的含單位元的代數,M是(A,B)-忠實雙邊模.在通常的矩陣運算下,稱

為三角代數.設U=Tri(A,M,B)是一個三角代數,1A和1B分別是A和B的單位元.記

且

Uij=eiUej(1≤i≤j≤2),

則U=U11+U12+U22且U12是(U11,U12)-忠實雙邊模.

1 主要定理及其證明

定理1設U=Tri(A,M,B)是三角代數,V是R上2-無撓含單位的代數.則線性雙射φ:U→V是Jordan同構當且僅當φ保單位且下列條件之一成立:

(1)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足xy=0.

(2)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足x°y=0.

(3)φ(x°y)=φ(x)°φ(y),其中x,y∈U滿足xy=yx=0.

以下假設φ:U→V是一個滿足定理1條件(3)的保單位線性雙射.為證明定理1,我們需要以下幾個引理.

引理1對任意冪等元p∈U,有φ(p)=φ(p)2.

證明對任意冪等元p∈U,由p(1-p)=(1-p)p=0得

0=φ(p)°φ(1-p)=2(φ(p)-φ(p)2).

從而φ(p)=φ(p)2.證畢.

引理2設uij∈Uij(1≤i≤j≤2),則

(1)φ(uii)=φ(ei)φ(uii)φ(ei);

(2)φ(u12)=φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1).

證明(1)由于u11e2=e2u11=0,則

φ(u11)φ(e2)+φ(e2)φ(u11)=φ(u11)°φ(e2)=0.

(1)

從而由引理1和式(1)可得:

φ(e2)φ(u11)φ(e2)=φ(e1)φ(u11)φ(e2)=φ(e2)φ(u11)φ(e1)=0.

因此,

φ(u11)=φ(e1)φ(u11)φ(e1)+φ(e1)φ(u11)φ(e2)+φ(e2)φ(u11)φ(e1)+φ(e2)φ(u11)φ(e2)=

φ(e1)φ(u11)φ(e1).

類似地,我們有φ(u22)=φ(e2)φ(u22)φ(e2).

(2)顯然,對任意v12∈U12,有

φ(u12)°φ(u12)=0.

(2)

又(e1-u12)(e2+u12)=(e2+u12)(e1-u12)=0.則

0=φ((e1-u12)°(e2+u12))=φ(e1-u12)°φ(e2+u12)=φ(e1)°φ(u12)-φ(u12)°φ(e2)-φ(u12)°φ(u12).

從而由式(2),

φ(e1)φ(u12)+φ(u12)φ(e1)-φ(u12)φ(e2)-φ(e2)φ(u12)=0.

對上式分別左右同乘φ(e1)和φ(e2)可得:

φ(e1)φ(u12)φ(e1)=φ(e2)φ(u12)φ(e2)=0.

因此,

φ(u12)=φ(e1)φ(u12)φ(e1)+φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1)+φ(e2)φ(u12)φ(e2)=

φ(e1)φ(u12)φ(e2)+φ(e2)φ(u12)φ(e1).

證畢.

引理3設uij,vij∈Uij(1≤i≤j≤2),則

(1)φ(u11°v12)=φ(u11)°φ(v12)且φ(u12°v22)=φ(u12)°φ(v22);

(2)φ(u11°v11)=φ(u11)°φ(v11)且φ(u22°v22)=φ(u22)°φ(v22).

證明(1)由于(u11-u11v12)(v12+e2)=(v12+e2)(u11-u11v12)=0.則由引理2和式(2)可得:

0=φ(u11-u11v12)°φ(v12+e2)=φ(u11)°φ(v12)-φ(u11v12)°φ(e2)+φ(u11)°φ(e2)-

φ(u11v12)°φ(v12)=φ(u11)°φ(v12)-φ(u11v12).

這說明

φ(u11°v12)=φ(u11)°φ(v12).

(3)

類似地,由(u12+e1)(v22-u12v22)=(v22-u12v22)(u12+e1)=0,我們有

φ(u12°v22)=φ(u12)°φ(v22).

(4)

(2)由式(3),一方面

φ((u11°v11)°v12)=φ(u11°v11)°φ(v12),

(5)

另一方面,我們有

φ((u11°v11)°v12)=φ(u11°(v11v12))+φ(v11°(u11v12))=φ(u11)°φ(v11v12)+φ(v11)°φ(u11v12)=

φ(u11)°(φ(v11)°φ(v12))+φ(v11)°(φ(u11)°φ(v12))=(φ(u11)°φ(v11))°φ(v12)+

2φ(u11)φ(v12)φ(v11)+2φ(v11)φ(v12)φ(u11).

由引理3知,φ(u11)φ(v12)φ(v11)=φ(v11)φ(v12)φ(u11)=0.從而由上式,

φ((u11°v11)°v12)=(φ(u11)°φ(v11))°φ(v12).

(6)

由式(5)和式(6),則對任意v12∈U12,有

(φ(u11°v11)-φ(u11)°φ(v11))°φ(v12)=0.

(7)

由于φ是滿射,則存在x∈U使得

φ(x)=φ(u11°v11)-φ(u11)°φ(v11).

(8)

從而由引理2可知,

φ(x)=φ(e1)φ(x)φ(e1)=φ(e1)φ(e1xe1)φ(e1)+φ(e1)φ(e1xe2)φ(e1)+

φ(e1)φ(e2xe2)φ(e1) =φ(e1)φ(e1xe1)φ(e1)=φ(x11),

其中x11=e1x1e1∈U11,于是由式(3)和式(7),

φ(x11v12)=φ(x11°v12)=φ(x11)°φ(v12)=φ(x)°φ(v12)=0.

由于φ是單射,則x11U12={0},并由U12的忠實性得x11=0.從而φ(x)=φ(x11)=0,并由式(8)得

φ(u11°v11)=φ(u11)°φ(v11).

類似地,我們由式(4)可得φ(u22°v22)=φ(u22)°φ(v22).證畢.

定理1的證明由文獻[4]的結論知,如果φ是Jordan同構,則φ保單位且條件(1),(2)和(3)之一成立.反過來,容易驗證(1)?(3)和(2)?(3)分別成立.以下我們假設φ保單位且條件(3)成立.

設u,v∈U,則存在uij,vij∈Uij使得

u=u11+u12+u22,v=v11+v12+v22.

從而由引理3及φ(uii)°φ(vjj)=φ(u12)°φ(v12)=0(i≠j)可知,

φ(u°v)=φ((u11+u12+u22)°(v11+v12+v22))=φ(u11°v11)+φ(u11°v12)+φ(u12°v11)+φ(u12°v22)+φ(u22°v12)+

φ(u22°v22)=φ(u11)°φ(v11)+φ(u11)°φ(v12)+φ(u12)°φ(v11)+φ(u12)°φ(v22)+φ(u22)°φ(v12)+

φ(u22)°φ(v22)=(φ(u11)+φ(u12)+φ(u22))°(φ(v11)+φ(v12)+φ(v22))=φ(u)°φ(v).

因此,φ是Jordan同構.證畢.

設R是含單位的交換環,Mn×k(R)表示R上全體n×k矩陣.對n≥2且1≤m≤n,Mn(R)中形如

設B(H)表示復Hilbert空間H上全體有界線性算子構成的代數.H上的套N是B(H)中包含0和Ι且在強算子拓撲下閉的全序投影族,稱

AlgN={T∈B(H):PTP=TP,P∈N}

為關于N的套代數.我們知道上三角矩陣代數與非平凡套代數均為三角代數,從而由[4]和[3]的結論以及定理1,我們有下列推論.

則φ要么是一個同構,要么是一個反同構.

推論2設N和M是復Hilbert空間H上的非平凡套,φ:AlgN→AlgM是一個線性雙射且φ(Ι)=Ι,如果下列條件之一成立:

(1)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足AB=0,

(2)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足A°B=0,

(3)φ(A°B)=φ(A)°φ(B),其中A,B∈AlgN滿足AB=BA=0,

則存在可逆算子T∈B(H),使得對任意A∈AlgN有φ(A)=TAT-1或φ(A)=TJA*JT-1,其中J是共軛線性對合.

注1推論2在更弱的條件下得到了與文[14]相同的結論.文[17]證明了保單位且雙邊保Jordan零積的可加滿射是雙射,并由此給出了套代數上此類映射的具體結構,而推論2給出了套代數上保單位且單邊保Jordan零積的線性雙射的具體結構.