基于空間投影的函數最佳平方逼近注記

倪 倩, 王旭輝

(1.南京工業大學 數理科學學院,南京 211816; 2.中國科學院 數學與系統科學研究院,北京 100190; 3. 河海大學 數學學院,南京 211100)

0 引 言

函數的最佳平方逼近是數值分析課程中的重要部分[1-2],該內容也與最小二乘法緊密相連,在后續的理論分析和實際應用中有著廣泛的用途[3].在平時的課堂教學中,通常都是將函數的最佳平方逼近問題轉換為最小二次問題進行講解,實踐表明,這樣處理,學生不容易理解和掌握.因此,如何處理這部分內容,便于學生理解是教師值得研究的問題.本文嘗試將向量空間投影理論[4]應用到函數最佳逼近,最小二乘法與微分方程Galerkin方法求解問題的講解中,可使學生更加直觀地理解相關內容,促進學生對相關內容的掌握和應用,并培養學生融會貫通處理學習內容的能力.

1 函數的最佳平方逼近簡介

給定函數f(x)∈C[a,b]及函數空間Φ,其中Φ由基函數φ1(x),φ2(x),…,φn(x)張成,φi(x)∈C[a,b],i=1,2,…,n.函數f(x)在空間Φ中的最佳平方逼近問題為:計算φ∈Φ使得誤差函數

(1)

達到最小,其中ω(x)為給定的權函數.

計算c1,c2,…,cn使得E(c1,c2,…,cn)達到最小,可求解下列線性方程組

(2)

上述方程組 (2) 可化簡為

(3)

2 空間投影及函數最佳平方逼近

下面引入向量的空間投影.

2.1 向量的空間投影

給定向量u∈d,d∈+及d中的子空間V,其中V由基向量v1,v2,…,vn張成.記v為u在子空間V中的投影,即v∈V且

(4)

其中cT=(c1,c2,…,cn)∈n,A=(〈vi,vj〉)i,j=1,2,…,n,bT=(〈u,v1〉,〈u,v2〉,…,〈u,vn〉).又由于v1,v2,…,vn線性無關,故A非奇異.此外,由 (4) 式得,E1為關于變量c1,c2,…,cn的二次函數,其最小值在cT=(c1,c2,…,cn)滿足Ac=b時取得.故u在V中的投影v可表示為

v=(v1,v2,…,vn)A-1b.

上述求解過程具有直觀的幾何解釋(見圖1示意圖).

圖1 向量投影示意圖

特別地,當v1,v2,…,vn兩兩正交時,A=diag(〈v1,v1〉,〈v2,v2〉,…,〈vn,vn〉).此時,u在V中的投影可表示為

2.2 空間投影與函數最佳平方逼近

對于函數的最佳平方逼近問題 (1),可借助向量的空間投影進行處理.定義內積

用函數空間Φ代替3.1節中向量空間V,用函數空間Φ的基函數φ1(x),φ2(x),…,φn(x)代替3.1節中的向量空間V的基,從而對于函數的最佳平方逼近問題,從空間投影的角度可建立法方程組

特別地,當φ1(x),φ2(x),…,φn(x)為一組正交基,即φ1(x),φ2(x),…,φn(x)滿足

注1(最小二乘問題情形) 如果考慮最小二乘問題:給定點(xi,yi),權因子ωi,i=1,…,l,計算

注2(微分方程的Galerkin方法求解[5]) 如果考慮如下齊次微分方程求解問題:

(5)

可將向量空間中內積替換成能量內積 (Energy inner product)

針對微分方程問題 (5), 可通過變分得到其弱形式,進行類似推導可得線性方程組

(6)

3 結 論

對于函數最佳平方逼近,利用向量空間的空間投影推導,可將復雜的運算轉化為學生非常熟悉的線性代數問題,而且幾何意義非常直觀.此外,通過將相關結論推廣到最小二乘法,微分方程的Galerkin方法求解,可將這一類問題理解成最佳逼近(在某種意義下),或者是不同空間的投影.該教學內容的相關處理,可使學生更容易掌握與應用函數最佳逼近,最小二乘法以及微分方程Galerkin方法求解等知識.相關處理方法可促進學生在學習中提高整體把握,融會貫通的能力.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.