二戰中德軍坦克產量的有效估計
——概率統計案例教學實踐

陳 巖, 張 寧, 徐英杰

(1.沈陽工業大學 理學院,沈陽 110870; 2.沈陽化工大學 理學院,沈陽 110142; 3.沈陽工業大學 教務處,沈陽 110870)

0 引 言

實施數學長效教學模式一直是數學同行的一個美好的愿景,通過數學教育提升學生的思維創造力更是廣大教育工作者的時代要求.概率論與數理統計(下稱概率統計)不僅僅是一門應用數學課程,而且還含有一點哲學的味道(概率為零不見得不發生、實際推斷原理等).其發展史[1]本身就是一部精彩紛呈的發現史,德·梅爾問題、賭資分配問題、蒲豐投針、貝特朗悖論等恰恰是探索、發現、分析、解決問題的著名案例,其概念、理論、方法的提出與完善本身就是針對概率問題不斷發現、認識和完善的跌宕起伏、引人入勝的探索故事[2-6].

因此,將概率統計概念、理論、方法的產生過程、分析思考問題的邏輯、解決衍生問題的方法等引入教學,不僅可以將問題講解得具體生動,而且可以培養學生的數學思維,對于培養學生發現問題、解決問題的能力均有極大的幫助.教師可以在教學過程中創設一種質疑、探究、討論問題的自由氛圍和環境,更好地展示解決問題的數學思維活動,培養學生直覺、猜測、類比、歸納和發散思維等科學研究能力[2-7],從而構建一種數學長效教學模式.

點估計是概率統計教學中的一個重點,通常情況下僅僅介紹矩估計法、極大似然估計法并輔以例題說明[8-9],教學內容抽象,較難理解.殊不知歷史上Karl Pearson(下稱老Pearson,矩估計法的提出人,1895年)與Ronald Aylmer Fisher(下稱Fisher,極大似然估計法的提出人,1922年)就曾經為此在1936～1937年發生過激烈的爭論[10-13].此外,1943年在第二次世界大戰的反法西斯戰場上,盟軍情報部門正是基于極大似然思想的給出德軍坦克生產量估計[14-15],為盟軍制訂反攻歐洲大陸戰略計劃提供了有力的情報支持,德軍坦克生產量估計(下稱德軍坦克問題)遂成為統計領域-序估計的一個重要問題[16],而對這一問題的研究又恰恰是一個由理論走向實踐的鮮活教學案例[14-17].

本文根據“德軍坦克問題”的教學過程展開討論,適度還原老Pearson,Fisher關于點估計的提出過程,完成矩估計法、極大似然估計法的有效構建和深度分析教學,提出基于案例探索解決實際問題的教學方法,嘗試提高課堂教學效果、培養數學思維習慣,形成一種數學長效教學模式.

1 德軍坦克問題

軍事情報的一個重要目標就是準確了解敵方的軍備情況,第二世界大戰期間由于德軍坦克在東線戰場特別是1943年的哈爾科夫戰役和庫爾斯克戰役中的突出表現,為了順利開辟歐洲戰場,當時盟國軍隊希望能夠準確估計德軍所能生產的坦克數量以做好反攻歐洲大陸的戰爭準備.

據悉為了準確掌握德軍的坦克產量,盟軍情報部門最初通過傳統的情報竊取方式收集信息,得出的結論是從1940年6月到1942年9月期間每月生產1400輛坦克,然而這個數字顯然與事實不符.后來,盟軍發現每輛被俘獲或被擊毀的(下面簡稱被俘獲)坦克上都有一個獨一無二的序列號,為此盟軍情報部門利用統計學方法構建了一個數學模型估計德軍坦克每個月的產量,得出的結論是1940年6月到1942年9月期間每月生產256輛坦克.戰爭結束后,盟軍從德國軍需部長斯佩爾那里獲得的德軍坦克產量記錄中看到德軍每月生產255輛坦克.如今這一傳奇故事成為了人們體驗數學工作者們卓越工作的經典案例之一.

2 點估計法

當年盟軍情報部門的原始工作現在已無從查起了,點估計方法應當是解決這問題的有力工具,現在來通過點估計方法教學看看破解這一問題的主要過程,探討數學長效教育模式.

通常的點估計方法教學主要講授矩估計法和極大似然估計法[8-9],為了有效地完成這一教學任務,首先布置課前準備:辛欽大數定律、依概率收斂、總體矩、樣本矩以及契比雪夫不等式等概念、理論.其次,在完成矩估計法理論講解后引入“德軍坦克問題”.

2.1 矩估計法背景

追本溯源,事實上老Pearson在1895年提出矩估計法的時候[10],辛欽剛剛在俄羅斯出生(1894年出生),法國的Lebesgue還沒有完整提出依測度收斂(事實上是1902年提出).這里首先向大家展示老Pearson 在1895年發表的“Contributions to the mathematical theory of evolution”文章,讓同學們看一看老Pearson是如何提出點估計這一問題的,又是如何解決這一問題的.令人驚訝的是,老Pearson竟然是基于幾何直觀由利用二項分布與正態分布的關系,根據頻率曲線方程(概率密度函數)的逼近提出各階總體矩與同階樣本矩近似相等建立方程,提出矩估計法,這一工作在現在看來是多么的繁瑣——不容易!但是直覺是靈感的源泉,歸納是思維的關鍵.至此,參數估計——點估計法由概念的提出到幾何直覺再到歸納,形成一般性認識.

2.2 矩估計法及基于矩估計法求解德軍坦克問題

今天怎么看待矩估計這一問題呢?借助辛欽大數定律以及依概率收斂概念,通過列方程組令各階樣本矩近似等于對應總體矩,給出參數的矩估計.至此矩估計法上了保險(理論保證),回歸理性,多么簡單!——時代進步.

那么對于實際問題——“德軍坦克問題”是怎么處理的呢?怎樣解決更合理呢?

這里,假設一個二戰期間盟軍的情報分析員獲得了一些被俘獲的德軍坦克的序列號,現在將坦克序列號簡化為編號從1到某個未知的最大值N(德軍坦克總量),且不重復.假設被俘獲的德軍坦克有n輛,目標是通過被俘獲的德軍坦克的編號來估計德軍坦克的總量N.設第i次獲取被俘獲的德軍坦克號碼為Xi,i=1,2,…,n,樣本值(被俘的德獲軍坦克的編號)為xi,i=1,2,…,n.如何估計德軍坦克的總數N?

假設每一個Xi的邊際分布都是相同的P(Xi=k)=1/N, 其中k=1,2,…,N.

因此Xi的期望值就是

進一步

算例假設被俘獲的坦克的編號為8,4,11,46,16,試估計德軍坦克的數量.

顯然,矩估計法所給出的估計量存在缺陷,即所得的估計量竟然比被俘獲的坦克的最大編號還要小,有些尷尬.接著看看Fisher(1922年提出)的極大似然估計法處理這一問題的效果.先在課堂上詳細闡述有關極大似然的思想,然后再分析這一問題.

2.3 基于極大似然估計法求解德軍坦克問題

考慮到這一問題的特殊性,通過類比將離散變量連續化,即假設被俘獲的坦克編號服從[1,N]上連續的均勻分布,也就是Xi～U(1,N),這在教材上是沒有提到過的,現在嘗試看看.

由均勻分布的性質可得其密度函數

進而構造似然函數

若

顯然,根據算例這一估計量要比矩估計法得出的估計量合理.點估計中不同的方法就同一參數往往會得出不同的估計量,甚至同一種方法也可以得出不同的估計量,那么如何評判這些估計量呢?現在引入估計量的評價,通過給出無偏性、有效性概念來考察上述工作.

3 估計量評價

3.1 無偏性分析

則

考慮到方差的實際意義,即方差是度量隨機變量以其數學期望為中心的波動幅度的量,下面開展有效性分析.

3.2 有效性分析

顯然,當n?N時

其標準差

4 數值分析

假設德軍有300量坦克,序列號為1到300,情況(i)俘獲20輛坦克,情況(ii)俘獲50輛坦克,試評估德軍坦克的最大編號(產量).

模擬數據及計算結果如下:

(i) 第一組:編號為5,13,18,29,34,40,51,71,73,106,117,122,136,173,195,220,235,247,283,287.

第二組:編號為25, 56, 57, 89, 92,111,131,135,147,153,154,165,188,207,224,233,235,239,246,279.

第三組:編號為52,59,63,68,69,70,91,106,114,131,142,160,166,177,187,194,244,254,263,282.

(ii) 第一組:編號為9,12,26,30,33,34,36,41,56,67,70,72,78,79,90,94,96,101,111,119,123,128,130,132,138,147,149,153,157,165,174,179,181,188,197,204,214,217,220,234,239,241,266,272,274,278,279,289,294,297.

第二組:編號為9, 10, 13, 18, 22, 26, 30, 40, 45, 51, 19, 53, 55, 60, 72,101,118,120,130,137,142,144,147,151,156,157,174,183,159,186,195,198,205,210,214,215,217,224,241,242,126,246,248,250,258,266,268,272,292,294.

第三組:編號為7,10,33,37, 39, 47, 49, 52, 54, 58, 68, 76, 79, 80,88,91,94,104,29,111,113,116,126,127,128,129,139,145,162,169,175,176,177,179,186,194,180,200,201,210,211,220,246,248,257,264,265,272,295,300.

計算發現第一種方法得到的估計值出現了低于實際最大編號的現象,第二種方法得到的估計值比第一種方法得到的估計值更接近設定值,且當模擬俘獲坦克數量越大估計值越接近設定值,這與結論相吻合.

5 結 論

無意間回到從前,讓同學們穿越看到了一場數理統計初創時期神仙們打架的故事,窺見到了矩估計法、極大似然估計法的誕生過程.進一步,借助“德軍坦克問題”的討論探索了極大似然法的有效應用,看到了數學家幫助盟軍擊敗德國人的方式.

通過探討問題提出、問題解決的一般過程,結合實際案例激發了學生們探索、應用數學知識的興趣,使得學生比較容易接受,為同學們開闊了視野,一定程度上起到了長效教學作用.因此根據問題背景精心設計展開的案例教學,不僅可以為課堂帶來趣味性和啟發性,而且還可以引導學生進行科學探索,訓練數學思維,激發創新潛能,培養理性精神.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.