計算第一型曲面積分的截曲線法

羅志剛

(湖北工業大學 理學院, 武漢 430068)

0 引 言

文獻[1]通過考慮用曲面族去截積分區域,推廣了計算三重積分的截面法,并且指出這個方法對一般的n≥2重積分都適用.特別地,二重積分的情形,結果為

(1)

其中Cξ=D∩{(x,y)|ξ=φ(x,y),α≤ξ≤β}是覆蓋了積分區域D的截曲線族, dsξ是Cξ上的弧長元.然而,放到三維空間來看,二重積分不過是第一型曲面積分當被積曲面位于xOy平面內時的特殊情形.這提示筆者去考慮:定義在三維空間中一般曲面上的第一型曲面積分,是否也有類似于(1)的公式?

具體說來,如果被積曲面S與曲面族Sξ的交線Cξ=S∩Sξ當參數ξ跑遍區間[α,β]時覆蓋了曲面S,那么可以先完成截曲線Cξ上的(第一型曲線)積分,然后將諸截曲線的貢獻積分起來,結果有望等于S上的第一型曲面積分:

其中的被積式(…)待定.

本文給出的定理表明上述考慮完全正確,并且相關結果還可以推廣到n維(n≥2)空間.這些定理的證明使用了文獻[1-2]中的微分形式計算技巧.關于外微分和微分形式的初步介紹,可以參看文獻[3].文獻[1]以及本文的結果都可以看作Fubini定理的推廣.

為了避免討論積分的存在性問題,本文中出現的函數,都假定在所論及的定義域上具有一階連續偏導數.

1 主要結果

定理1曲面S={(x,y,z)|F(x,y,z)=0}與曲面族Sξ={(x,y,z)|ξ=φ(x,y,z),α≤ξ≤β}的交線為曲線族Cξ=S∩Sξ,若S被Cξ覆蓋,則有

(2)

證將F(x,y,z)=0與ξ=φ(x,y)分別微分,有

Fxdx+Fydy+Fzdz=0,φxdx+φydy+φzdz=dξ,

(3)

任何一點附近,以下三個行列式

不能都為零.不妨設Dx≠0,這意味著dy和dz可以從(3)式中解出(或者說曲面S局部地可以用(ξ,x)參數化):

(4)

所以

S上的面積元[1]

其中dξdx=|dξ∧dx|.由此,原第一型曲面積分化成累次積分

(5)

在Cξ上作積分時,ξ暫時固定.

另一方面,曲線Cξ上dξ=0,由(4)得到

(6)

注意,這里的dx,dy,dz都被約束在Cξ上.弧長元

因此,(5)中Cξ上的積分可寫作

(7)

由(6)知,在Cξ上

所以

(8)

其中應用了Fxdx+Fydy+Fzdz=0.將上式代入到(7)中,即證明定理.

上述證明方法不用作實質性的修改,就可以用來得到n維(n≥3)空間的超曲面上的一般定理:

定理2已知n維(n≥3)空間中,

S={(x1,…,xn)|F(x1,…,xn)=0},Sξ={(x1,…,xn)|ξ=φ(x1,…,xn),α≤ξ≤β},Cξ=S∩Sξ.

若超曲面S被超曲面族Cξ所覆蓋(注意,Cξ比S低一維),則有

(9)

其中n(n+1)/2個行列式

而

和

分別是S和Cξ上的面積元(dSξ是比dS低一維的面積元).

經過驗證,上述定理對n=2同樣正確(此時Cξ是點,其上的積分等于被積函數在這些點上取值之和).

值得注意的是,文獻[4]也討論了這里的問題,但只考慮了用平行平面族去截被積曲面這種特殊情況,我們這里是最一般的結果.

2 應 用

下面舉例子來說明上述定理的用法.其中,第一個例子取自文獻[4].

解此問題的常規解法是化二重積分.曲面S可以分成兩片

從而有

其中D={(z,x)|-1≤x≤1,0≤z≤2+x}.化累次積分,可得

最后一步對x的積分稍稍復雜.

下面用本文的定理求解.為便于對比,用兩種不同的方法選取截曲面族.

法1取

F(x,y,z)=x2+y2-1,ξ=φ(x,y,z)=y, -1≤ξ≤1,

可以求得

以及

由定理1得

最終得到

法2取

截曲線Cξ=S∩Sξ為橢圓(其中C1和C∞分別是S的邊界線).可以得到

應用定理1,有

為了求出Cξ上的積分,將Cξ參數化:

其中0≤θ≤2π.曲線Cξ上的弧長元

所以

從而得到

不言而喻,只有當截曲線Cξ上的積分容易算出時,本文的方法才更具有實用價值.

例2求平面x+y+z=b上被曲面x2+y2+z2-xy-yz-zx=a2截出部分的面積(a>0).

解取

F(x,y,z)=x+y+z-b,ξ=φ(x,y,z)=x2+y2+z2-xy-yz-zx, 0≤ξ≤a2,

容易求出

應用定理1,所求面積為

最后,對參數ξ積分,得到

最后,舉一個n維空間的例子來說明(9)的應用.

解超球面Sn(R)的面積為[1]

An(R)=An(1)Rn-1,

因此,要先計算單位超球面Sn(1)的面積An(1).取

則有

行列式Dxixj中,非零的只有

其中i

應用

得出

其中B(x,y)和Γ(x)分別是第一類和第二類Euler積分[5].已知A2(1)=2π,反復運用上述遞推式,最后有

與文獻[1]一致.但這里的方法直接建立了An(1)與An-1(1)的遞推關系,顯然更簡單.

3 結 論

通常,計算第一型曲面積分總是先將曲面作參數化(坐標面投影也是一種特殊的參數化),然后轉化成二重積分來處理.本文的定理給出另一種方案:將被積曲面用一族截曲線覆蓋,先在截曲線上完成積分,之后將所有截曲線的貢獻積分起來.實際應用中,如果截曲線上的積分很容易作出來,原第一型曲面積分的值往往能立即求得.這為第一型曲面積分的計算提供了更多的可選方案.

致謝感謝相關文獻對本文作者的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.