基于多學科交叉融合的數學建模案例設計與分析

錢龍霞, 王正新, 束 慧

(南京郵電大學 理學院,南京 210023)

0 引 言

隨著我國社會經濟發展與科學技術進步,數學科學迅速進入了經濟、環境、大氣、海洋、水文、軍事等領域,產生了大量交叉學科,為數學建模開拓了許多新興研究方向[1-4].數學建模包括初等模型、簡單的優化模型、數學規劃模型、微分方程模型、差分模型、離散模型、統計模型等,教材為每種模型設置了很多的教學案例,這些案例雖然來自不同領域,但是與實際應用需求聯系不緊密, 學生參與課堂討論的積極性不高[5].在多學科交叉融合背景下,以實際應用需求為牽引,如何設計教學案例吸引學生眼球,充分發揮學生的自主學習能力和科研創新能力,具有重要的現實意義.

目前,很多研究設計了貼近生活和實際應用需求的數學建模案例,如文獻[6]在數學建模教學過程中引入了幾類經典經濟模型案例;文獻[7]基于Minitab軟件設計了控制圖優化的應用案例;文獻[8]將“GPS定位問題”引入數學建模的教學中,取得較好的效果;文獻[9]探討了數學建模案例教學的新模式,指出案例收集的重要性和緊迫性.上述數模案例研究中雖然考慮了應用需求,但是沒有將不同模型進行綜合集成.

規劃和多屬性評估決策是數學建模中的重點內容,傳統教學往往分開講解,所選案例與實際應用需求以及建模大賽題目相脫節,無法有效培養學生的建模能力.因此,本文以海洋水文保障為背景,以海洋環境對船舶的影響評估與航跡規劃為主題設計應用案例,將評估模型與規劃模型進行綜合集成,試圖使學生輕松掌握評估模型和規劃模型的數學原理、算法流程和應用前景,培養學生的科研探索能力和創新思維.通過教學實踐發現,學生參與課堂討論的積極性有了很大提高,課堂互動氣氛熱烈.為了進一步培養學生的科研能力,根據科研項目的需求設置了航跡規劃的課后拓展題,發現提交拓展作業的學生人數有了明顯的增加,有一名同學解決了變速航跡規劃問題并申請了國家發明專利.

綜上,本文的創新點為:以科研項目的實際需求為牽引,將數學建模中評估模型和規劃模型應用到海洋環境對船舶的風險評估與航跡規劃中,設計多學科交叉融合的綜合集成教學案例,激發學生參與課堂互動討論的熱情,提升課堂教學效果,提高學生的建模能力和科研能力.需要指出的是,該案例對學生的數學基礎、自學能力和算法編寫能力要求較高,對于基礎一般的同學難度較大,在后續教學中需要進一步優化.

1 應用案例設計

1.1 案例背景

本案例來自海洋水文保障相關科研項目,定量評估氣象、海洋水文條件對船舶航行安全的影響并給出相應的輔助決策建議是海洋水文保障的重點內容.影響船舶航行安全的因素有很多,包括海表面波高、海表面溫度、海表面鹽度、海表面經向流速及緯向流速,如何構建航跡規劃模型使得艦船能夠避開中高風險區域?基本思路是先對海洋環境風險進行定量評估,在此基礎上設計航跡規劃算法.假定研究區域范圍為110～121°E,15～25°N,共收集了10天的海洋環境要素數據,每天的實測數據分辨率為1/12×1/12,形成較大的133×121的二維數據面.

1.2 建模流程設計

1.2.1 海洋環境風險評估流程

模糊綜合評價方法對樣本量要求不高,通過構建隸屬函數建立每個評價指標與定性評價語言的映射關系,基于加權平均原則進行綜合評價.在應用于海況風險評估時,本質上是對現有指標的各個樣本信息進行總結,確定每個指標與風險等級之間的隸屬函數,根據加權平均原則判定風險等級.模糊綜合評價能較好地解決具有模糊不確定性、難以量化的問題,算法原理與建模步驟如下:

(i) 建立綜合評價指標體系.評價指標體系為影響評價對象的因素組成的集合,記為U.對海表面波高、海表面溫度、海表面鹽度、海表面經向流速及緯向流速五個原始指標進行篩選,由于海表面鹽度主要是影響海洋設備的受腐蝕速度,總的來說各海域鹽度差異不大,其帶來的腐蝕速度的差距也很小,可以忽略;對經向和緯向流速進行矢量合成得到海表面流速,最終得到海表面波高、溫度以及流速三個指標(圖1).

(ii) 確定船舶航行安全風險等級.海洋環境對船舶航行安全帶來了不利影響,這種影響可以用風險等級進行度量,船舶航行安全風險等級V可以分為:低風險、較低風險、中風險、較高風險、高風險.

(iii) 確定每個指標與風險等級之間的映射關系,建立模糊綜合評價矩陣Rm×n.若評價指標集U中第i個指標屬于V中第j個風險等級的隸屬度為rij,其中i=1,2,3;j=1,2,3,4,5,則第i個評價指標屬于每個風險等級的隸屬程度可以表示為Ri=(ri1,ri2,ri3,ri4,ri5),i=1,2,3.因此,所有評價指標屬于每個風險等級的隸屬程度可以用矩陣R3×5進行表示.常用的隸屬度函數有高斯隸屬函數、鐘型隸屬函數、梯形隸屬函數和三角形隸屬函數等.由于只有10天的樣本資料,高斯隸屬函數比梯形、三角形隸屬函數等更平滑,能刻畫小樣本的更多信息,結果更可靠[10].綜上,本文擬構建高斯隸屬函數求解隸屬度,表達式如下:

(1)

其中,x為輸入的指標樣本,σ,c為待估參數,c一般取劃分等級區間的中間值,σ常根據指標的靈敏程度進行取值,一般在0.5到1之間.函數f(x;σ,c)代表隸屬指標屬于某個風險等級的程度,其值越大表示隸屬某個風險等級的程度越大.

根據表1劃分的各指標等級,波高是效益型指標,值越大風險意味著越大;海水表層流速亦為效益型指標;溫度為區間型指標,在區間[18,25]中代表風險最小,從該區間向左右兩側擴散時,風險逐漸變大.不同性質的指標選擇的隸屬函數不同,且隸屬函數的參數也不同.

表1 各指標的風險等級標準劃分

(iv) 確定指標集的權向量.本文采用模糊層次分析法,該方法能夠刻畫不同專家在構造比較判斷矩陣時的主觀不確定性,采用三角模糊數代替傳統層次分析法中的標度打分,可以消除標度打分的缺陷.

(v) 進行綜合評價.通過線性加權模型將模糊評價矩陣R3×5和權重向量A進行綜合,根據得到的模糊向量結果E判斷評價對象的風險等級.

E=AR3×5=(e1,e2,e3,e4,e5),

(2)

通過找到上述模糊向量E中最大分量所在下標,再對應到評語集V“低風險、較低風險、中風險、較高風險、高風險”的下標位置上,即可得到該海域某天的風險等級.

1.2.2 航跡規劃建模流程

(i) 柵格地圖建模

柵格法通過構建二維稀疏矩陣進行數據的存儲,矩陣中每個元素的取值為0或1,其中數值1表示障礙物,數值0表示可活動區域.柵格地圖及其二值化處理結果如圖2 所示.

圖2 柵格化地圖(左)、二值化地圖(右)模型示意

(ii) Dijkstra 算法原理

Dijkstra 算法路徑規劃基本思路為:為每個節點j創建一組信息j(dj,pj,fj);其中dj為地圖中源點到s0當前節點j的最短路徑長度(某節點與自身距離為 0);pj為源點s0到節點j的最短距離中到達節點j的前一節點;fj記錄節點j的位置信息中dj值是否為空.首先需要定義距離代價,上下移動和左右移動一格,代表海里變化的計算公式如下:

(3)

其中(x1,y1)和(x2,y2)分別代表兩格的經緯度坐標,R為地球平均半徑.

其次,需要對風險代價進行規范化處理,即將風險值映射到距離代價上,也就是風險值與每次移動的距離最大值的乘積,即斜對角方向移動一格代表的海里數d.

最后,需要定義移動代價函數.為了實現風險最小化和距離最小化,可以通過建立如下的移動代價函數

cost(x,y)=(1-α)×d×fengxian(x,y)+α×[d,Lx,Ly] .

(4)

上式中α和1-α分別為風險代價和距離代價的權重,fengxian(x,y)代表坐標點(x,y)區域的日風險值,[d,Lx,Ly]代表選擇三種移動距離之一,分別代表上下移動、左右移動或者斜對角移動.

(iii) 航跡規劃算法流程

第一步,確定規劃海域.依據任務要求提取海域經緯度信息、地形信息及其分辨率,構建柵格地圖,設其為維度m×n矩陣的field.

第二步,海上地形風險評估.對提取到的地形數據進行加工、提煉得到地形風險矩陣Rg,維度為m×n.

第三步,海洋環境風險評估.將1.2.1節得到的風險評估值進行歸一化處理,并進行柵格化處理,得到維度為m×n×d的風險矩陣Rf.

第四步,確定約束條件、起始點startPos=(x1,y1)、目標點goalPos=(x2,y2).約束條件主要針對航速進行設定,主要是對每日最大航速v進行設置.

第五步,變速航跡規劃算法的實現.利用Dijkstra 算法進行航跡規劃,給出合理路線,并在此基礎上完成路線在時間維度上的規劃.

1.3 案例結果分析

1.3.1 風險評估結果

將該海域10日海況數據代入到風險評估模型中,即可得到10天的海洋環境風險區劃結果,如圖3-5所示.

圖3 第1至第4天的海洋環境風險區劃結果

圖4 第5至第8天的海洋環境風險區劃結果

由圖3-圖5所示,該海域在前8天,并沒有較高風險和高風險的區域.所以,前8天該海域適合航行、風險較低.第9天和第10天該海域存在局部高風險區域,航行時需要避開高風險區域.通過與文獻[11]進行比對,發現本文評估結果與該海域過去風險情況基本吻合.

圖5 第9天和第10天的海洋環境風險區劃結果

1.3.2 航跡規劃結果

基于研究海域的柵格地圖和風險矩陣,將風險代價權重設置為0.8,即可得到10天的動態航跡規劃結果,如圖6-圖8所示.根據圖6-圖8可以避開影響艦船航行的險要地形、惡劣氣候和人工障礙等不利因素,當海洋環境要素發生改變時,能夠及時規劃出新的航行路徑.

圖8 第9天和第10天的航跡規劃結果

2 教學效果

上述風險評估與航跡規劃案例只是數學建模教學中的一個縮影,針對其它教學內容也設計了基于多學科交叉融合的綜合集成案例.為了證明多學科交叉融合的教學案例的效果,在所帶班級中選擇兩個班(A班和B班)進行對比,A班采用多學科交叉融合的綜合集成案例,B班采用傳統的教學案例,將從兩個班提交拓展作業人數(拓展作業是選做題)、平均互動次數、大作業成績、參加建模人數比例等方面分析綜合集成案例引入教學過程的效果,如表2所示.此外,在A班開展了數模課程對于建模能力培養效果的調查,參與調查的人數為123人,調查分析結果如表3所示.

表2 引入多學科交叉融合教學案例的效果對比

表3 建模能力提升效果調查分析結果

由表2可知,采用多學科交叉融合的綜合集成案例后,拓展作業提交次數、平均互動次數、大作業平均分以及參加建模人數比例均有了大幅度的提高,說明學生的學習積極性和主觀能動性得到明顯提升,參與數模大賽的比例達到了69.8%.由表3可知,通過設計緊跟科研項目需求的綜合集成案例后,98.4%同學認為自己的建模能力得到有效提高.

3 結 論

本文以海洋水文保障為背景,以海洋環境對船舶的影響評估與航跡規劃為主題設計應用案例,將評估模型與規劃模型進行綜合集成,能夠得到動態的航線設計結果.引入多學科交叉融合的綜合集成案例后學生的拓展作業提交次數、平均互動次數、大作業平均分以及參加建模人數比例均有了大幅度的提高,有效培養了學生的建模能力和科研能力.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.