案例剖析問題主導式的假設檢驗基本概念的教學設計

付芳芳, 許道軍, 夏夢雪

(陸軍炮兵防空兵學院 基礎部,合肥 230031)

0 引 言

本節位于假設檢驗這一章的第一節,其特點是概念多、內容雜、較抽象、難理解.共涉及8個新概念,傳統的授課方式先介紹所有抽象概念再講解例題,大多數學生會有種囫圇吞棗的感覺,對假設檢驗的思想和原理還是理解不透徹,只知道有若干公式和程式化的解題步驟,只會生搬硬套,遇到實際問題時卻不知道如何利用假設檢驗進行統計推斷.

目前,針對本科生“假設檢驗基本概念”章節的教學設計能查閱到的文獻較少,有的側重翻轉課堂的使用[1],有的側重思政元素的融入[2],有的側重部分知識點的探討[3],文獻[4]中也對本節內容進行了重新設計,但沒有充分利用離散型案例揭示的檢驗思想去解決后面的連續型案例,而是繼續沿用傳統教材的解決方法,沒有將前后案例有效銜接,沒有將離散型和連續型案例充分聯系.本文是在基于學為主體充分體現、思政元素有效融入、前后案例緊密銜接等原則下,提出的案例分析問題主導式的教學設計,力爭做到知識傳授、能力培養、價值引領三者有機融合.

1 內容設計

1.1 檢驗思想

上課開始,先提問同學們,香甜可口的奶茶是否都喝過?喝奶茶的時候是否能鑒別出所喝的奶茶是由先倒茶后倒牛奶還是由先倒牛奶后倒茶制作出來的? 進而引入統計學歷史故事——女士品茶問題.

引例1Fisher的女士品茶問題:一種飲料由牛奶和茶按照一定比例混合而成,可以先倒茶后倒牛奶(TM)或者反過來(MT).某女士稱,她可以鑒別是TM還是MT.

Fisher的試驗設計 準備8杯以兩種方式沖泡的奶茶,TM和MT各半,把它們隨機的排成一列請該女士品嘗,并告訴她TM和MT各半,然后請她說出哪4杯是TM,結果她全說對了.

與學生共同分析該案例,由于此試驗結果是一個小概率事件,故由小概率原理,得出此試驗結果為推翻H0提供了足夠充分的證據,因此判定該女士有鑒別能力.

介紹女士品茶試驗設計在統計學中的重要意義,帶領學生一起提煉Fisher檢驗方法的基本思想(如圖1所示),同時引入概念1原假設H0和備擇假設H1.

圖1 假設檢驗基本思想分支圖

利用Fisher這一實驗的設計過程融入思政元素.

課程思政1在生活中要善于發現問題并勤于思考,生活處處皆學問,作為未來的指揮軍官,同學們更應具備這種素質.

問題1如果該女士說對三杯,則情況怎樣?

問題2概率到底多小才算是小概率呢?有沒有一個衡量標準?進而引入概念2顯著性水平α.

問題3指出軍事和生活領域的判定問題比女士品茶的復雜之處.提問如何進行假設檢驗,引入例1,學生通過求解例1理解假設檢驗的方法步驟.

1.2 檢驗方法

例1彈藥經過長期儲存其質量是否會發生變化?現上級主管部門對某后方彈藥庫中的彈藥進行隨機抽樣檢驗,共隨機抽取9發炮彈進行發射試驗,測得數據如下,801,790,798,792,799,797,799,797,801,已知炮彈總體初速X～N(μ,σ2), 根據這些數據能否判斷出這批彈炮彈的初速是否符合表定初速800m/s?(給定α=0.05)

解H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0.

若H0成立,

查表得C′=t0.025(8)=2.3060,而P(|t|≥2.306)=0.05,因為2.288<2.306,所以P(|t|≥2.288)>0.05,說明這樣的試驗結果不構成一個小概率事件,故由圖1,接受H0,即根據此次抽樣結果判定這批炮彈的初速仍然符合表定初速.

在和學生共同求解例1的過程中引入概念3檢驗統計量和概念4拒絕域,并融入思政元素.

課程思政2透過現象看本質.

通過例1讓學生總結假設檢驗的方法步驟:提假設,構造小概率事件,選擇檢驗統計量,查表計算,比大小作決策.

雖然例1解決了,但還有更多的細節問題沒有考慮,進而請學生分組討論以下問題.

問題4類似引例和例1這種判決問題在做判決時還有可能犯哪些錯誤?

問題5假設H0和H1可以調換嗎?女士品茶問題中,可以事先假定該女士有鑒別能力嗎?炮彈初速檢驗問題中,可以將炮彈初速不符合表定初速作為原假設H0嗎?

問題6例1中的樣本均值經過計算為797.11m/s,是小于表定初速的.由于實際中,通常關心的是炮彈經過長期儲存,其初速是否會明顯降低,所以將問題“是否符合”表定初速修改為“是否小于”表定初速,檢驗過程會有哪些變化?

第一課時結束,在例1的基礎上留給學員問題4和5,引入下一課時的教學內容,兩類錯誤和提假設的原則等其它概念.

1.3 兩類錯誤、提假設的原則

為了解決問題4,先查看學生課前討論題的回答情況.

課前討論題無罪推定原則中,在現有證據下,法官作判決時有可能會犯哪些錯誤?

學生普遍給出以下兩類錯誤,錯誤1,嫌疑人實際無罪,但法官根據現有證據做出了有罪的判決;錯誤2,嫌疑人實際有罪,但法官認為現有證據不夠充分做出了無罪的判決.

問題7可以同時避免犯這兩類錯誤嗎?可以同時降低犯這兩類錯誤發生的可能性嗎?在樣本容量一定的情況下,能同時降低這兩類錯誤發生的概率嗎?

分析 在樣本容量一定時,想要降低棄真錯誤,就會減少拒絕H0而增加接受H0的決策,故又增加了取偽錯誤.

結論 只能采取一個折中的辦法.進而引入概念6奈曼和皮爾遜原則和概念7顯著性假設檢驗.

通過分析奈曼和皮爾遜原則得出H0和H1的地位并不是對等的,H0不能輕易被拒絕,是受保護的,進而引入概念8提假設的原則 .

原則1(棄真后果更嚴重原則)發生棄真錯誤所帶來的后果遠大于發生取偽錯誤所帶來的后果,則將該結論作為原假設H0,其對立面為備擇假設H1.例如,防空預警系統中的目標探測問題,H0:“目標存在”;H1:“目標不存在”.2021年新冠病毒感染期間,一旦出現高燒,H0:被感染;H1:未被感染.

原則2(無改變原則)一般將維持現狀的結論作為原假設H0,而將改變現狀的結論作為備擇假設H1.例如,炮彈初速檢驗問題,H0:初速均值μ=μ0;H1:初速均值μ≠μ0.

概率統計中一般將貌似正確的結論(僅通過計算樣本值形成的直觀結論)作為備擇假設H1,其對立面為原假設H0,并融入思政元素.

課程思政3有時眼見不一定為實,需要進一步驗證.

解決了問題4,再利用以上知識詳細講解問題5和問題6.

問題5解答女士品茶問題中,正常人是無鑒別能力,故依據無改變原則,應將“無鑒別能力”作為原假設H0. 炮彈初速檢驗問題中,由于炮彈初速原本是符合表定初速的,故依據無改變原則,將“符合表定初速”作為原假設H0.

問題6解答H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0.

而P{t≤-t0.05(8)}=0.05,查表得-t0.05(8)=-1.86,因為-2.288<-1.86,所以P{t≤-2.288}<0.05,故由圖1,拒絕H0,即根據此次抽樣結果判定這批炮彈的實際初速是小于表定初速的.

課程思政4僅僅是兩個字的不同,但結論截然不同,所以對待問題一定要有一個科學嚴謹的態度.

課后思考題1為何問法不同,結論截然不同,引起這一不同的原因是什么?這給了在用假設檢驗作判決時哪些啟示?

課后思考題2例1中的兩種不同問法,它們的求解過程有哪些共同點與不同點?

2 教學效果評價

課程組成員在對2020級15個教學班學情分析的基礎上,選取了6個學情相當的教學班進行課堂教學隨堂測試,其中3個教學班采用傳統設計教學,3個教學班采用本設計教學.針對學生在知識點的基本理解、簡單運用、綜合分析三個認知層次共設計了10道題,根據愛課堂平臺反饋的數據,將測試結果分別統計到表1和表2中,其中定義掌握程度=平均答題率×平均正確率[7].

表1 傳統設計講解隨堂測試結果統計

表2 本設計講解隨堂測試結果統計

對于本設計還在3個教學班共195人進行了問卷調查(見表3),滿意度分布如圖2所示,學生的評價和建議見表4,聽課的校級督導專家、教研室同行也給出了很高的評價,在基礎部共126名教員中教學評價綜合排名始終位于部系前10名,學習效果和學員評教得分均位于數學教研室共32名教員中前列,見表5.

表3 調查問卷

表4 隨機抽取部分學生評價及建議

表5 2020和2021學院教學評價結果

案例剖析問題主導式的教學設計是學院進行課程體系化改造中的重要一項,以此為基礎的實際課堂教學競賽在2021年6月的首屆全國數學課程創新示范交流活動中獲得軍隊賽區第二名,在2021年10月的陸軍教壇之星教學比武中獲得陸軍第四名,2022年1月全國職業院校技能大賽教學能力比賽中獲全國三等獎.

3 結 論

整個教學設計主要在以下兩個方面進行了有效嘗試并取得了良好的教學效果:(i)以案例分析為主線,提煉知識點.精選軍事案例、層層剖析,注重啟發引導、強化知識生成,使教學過程更加符合學生認知規律.(ii)以思維創新為導向,設計問題鏈.在導入新課、講授新課及新課小結時均設置了相關問題,引導學生思考、探究,成為分析問題、解決問題的主角,有效提升他們的思維創新能力.

案例剖析問題主導式的教學設計,可以幫助學生提高對實際問題的分析探究能力,對思想方法的總結歸納能力,和對抽象概念的類比簡化能力.融入的課程思政元素能夠瞄準軍事問題,幫助學生增強學習動力,體驗數學之重,同時通過探索數據規律,幫助學生強化理性決策,感受數學之威.

致謝特別感謝陸軍炮兵防空兵學院王金山教授給出的設計思路,以及與丁玲、張云帆教員的有益討論,同時非常感謝審稿專家提出的寶貴意見以及參考文獻對本文工作的啟發.