一類與斜率有關的定點問題的“不聯立”解法

湖北省大冶市第一中學 胡曉臻 (郵編:435100)

湖北省天門中學 李 苗 (郵編:431700)

在處理直線與圓錐曲線的位置關系問題中,通性通法是聯立直線與圓錐曲線,轉化為韋達定理表達題意,運算量往往很大,許多同學只是記住了這種算法的套路,并沒有理解其中的道理.本文采用不聯立的方法解決一類定點問題,旨在強調直線與圓錐曲線位置關系的表達方式不需要套路化,也可以等價轉化為相應的知識點解決問題,以此培養學生的數學思維.

為了方便說明,先了解兩個基本知識:

(2)經過平面上兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1).

圖1

例1(2021年陜西漢中模擬預測)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M(x0,y0)(y0>0)在拋物線C上,O為原點,且OF⊥MF,|MF|=2.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若動直線l:x=my+t(m,t為參數)與拋物線C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,且直線MP的斜率與直線MQ的斜率之和為2,證明:直線PQ過定點.

解(1)y2=4x,M(1,2)

由題意得kMP+kMQ=2,則

兩式相減得2(y2-y1)=y1x2-y2x1.

過兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1),對比可得直線恒過定點(-2,0).

說明本題題干中直接出現斜率和為定值,為了與過兩點的直線方程一致,在代入條件的時候采用交叉代入化簡,很快可以產生與過兩點的直線方程一樣的結構,就可快速找到定點.

(1)求E的方程;

去分母得

兩式相減得,y1x2-y2x1=-(y2-y1)-2(x1-x2),過兩點M(x1,y1),N(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1),對比系數直線過定點(1,-2).

所以直線HN過定點A(0,-2)

圖3

(1)求橢圓C的方程;

(2)點P在橢圓上,求線段BP的長度|BP|的最大值及取最大值時點P的坐標;

(3)不過點A的直線l交橢圓C于M,N兩點,記直線l,AM,AN的斜率分別為k,k1,k2,若k(k1+k2)=1,證明:直線l過定點,并求出定點的坐標.

由k(k1+k2)=1得

兩式作差得,k(x2-x1)+2(y2-y1)=y1x2-y2x1.過兩點M(x1,y1),N(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1),對比系數得恒過點(-2,k).設l:y=kx+m代入得m=3k,所以y=kx+3k,所以直線l過定點(-3,0).

由上述幾道題,我們可以歸納出解法的思路是:要證明一條直線過定點(x0,y0),就是要找到常數x0,y0,使得等式y1x2-y2x1=y0(x2-x1)-x0(y2-y1)成立,因此我們要設法構造出x1y2-x2y1的結構.在表達斜率的式子的時候,兩直線的斜率如何多角度表達,交叉使用是解決問題的關鍵.本文希望通過幾道定點問題講清構造的思路,下面兩道練習題,讀者可嘗試解決.

練習:

(1)求橢圓C的方程;

所以

兩式相減得,2(y1-y2)-(x2-x1)=y1x2-y2x1,過兩點M(x1,y1),N(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1),對比系數得恒過定點(2,-1).

圖5

(1)求雙曲線E的方程;

所以

兩式相減得,2(x2-x1)-2(y2-y1)=y1x2-y2x1,過兩點M(x1,y1),N(x2,y2)的直線方程是y1x2-y2x1=y(x2-x1)-x(y2-y1),對比系數得直線l過定點(2,2).