音律學數理思維在作曲中的應用研究

張杰文,薛亞東

(蘭州職業技術學院 初等教育學院, 甘肅 蘭州 730070)

一、音律與音律學簡介

音律學是從發聲體的振動規律出發,運用數學計算樂音體系音階中各音的由來及精密高度,是物理聲學、數學計算和音樂理論互相滲透的一門交叉學科。由于音律學與數學計算的重要關系,又稱為數理音樂學[1]。作為音樂學的一個重要分支,“音律學在闡明律制的原理之外,還講述律制在音樂各方面的應用?！盵2]筆者以物理原理、數學模型和數列邏輯為基礎,分析和弦、音律、節奏、序列音樂產生的原理和方法,從而指導人們的音樂創作實踐,并運用這些分析方法更加深入地研究音樂結構、和聲、音高、節奏等特性。

音律作為音樂最基本的物質基礎,是產生音列、旋律、和聲的理論基礎和物理支撐。在音律學數理思維的基礎上進行作曲實踐,不僅能夠幫助作曲家更好地理解音樂,還可以提供新的創作工具,使作曲技術變得更加多樣化。例如,巴赫的《平均律鋼琴曲集》是音律學理論在作曲技術方面應用的重要成果;以十二平均律為基礎的有序列主義音樂,代表人物為奧地利作曲家勛伯格和他的學生威伯恩、貝爾格;運用周易六十四卦衍生樂曲的有太極作曲系統;以五行數理思維為基礎的有五行作曲法;以十天干和十二地支為邏輯的有天干地支作曲法等?！耙袈蓪W是實踐性很強的學科。任何音律學學說,若脫離了音樂實踐,將必然或對實踐無益,或使自身受損?！盵3]近年來,隨著數字化的迅猛發展,音律學的重要性更加凸顯了出來。在音樂軟件中,作曲家不僅能夠按照自己的創作意圖設計任何一個樂音的音高,還能用音源將這種音響效果準確地展現出來,并根據調式來微調音高。由此看來,作曲實踐也推動了音律學的數字化發展。

二、和聲中的數理思維

和聲的音響效果較之單聲部音響具有更加豐富的表現力。在分析和生成和聲的過程中運用數理方法,使原本復雜的和弦連接變得更加富于邏輯。和聲音響構成的物理基礎是泛音列,泛音列最初的幾個分音結合為大三和弦。古希臘畢達哥拉斯的和聲比例關系奠定了音樂中和聲的數學基礎,影響了西方的音樂理論和實踐的發展。畢達哥拉斯通過觀察和分析,發現當一根弦被分成整數比例的部分時,例如一根弦被分成一半、三分之一、四分之一等等,所產生的音調聽起來會更和諧。這些整數比例的分割產生了基本和聲關系。

(一)基頻和駐波決定和弦色彩

音律學研究的是20～20,000 Hz這一頻率區間內的聲音以及它們之間的關系。樂音振動體的振動會產生一個基頻和多個諧頻,基頻決定振動體的音調,而諧頻則決定其音色。

1.依據根音基頻和駐波判斷和弦音色

物理學中,當兩列振幅、頻率相同的波迎面相遇,會在介質中形成看起來沒有移動的波,稱為駐波。滿足基音的駐波并不只有一個,而是一系列等于有效弦長倍數的波列,波列對應的音頻有高有低,人耳對低頻更為敏感,因此一個音的頻率越低,可辨識的泛音列越長。從這個角度來講,處在和弦中最低的音最為重要。和弦的根音在不轉位的情況下就處在最低位置,根音的“基頻”決定了這個音上建立起來的和弦的音色。和根音產生的駐波越多,意味著這個音在和弦中決定音色的地位越高,所以和弦音中振幅、頻率相同的音其駐波較為穩定,與自己的反射波相互增強,而其他波與反射波相互削弱,最后消失。根音或者轉位之后的低音更容易產生低頻駐波,使這個音顯得尤為突出,在整個和弦中起了主導作用。

2.依據鏡像設計和弦音色

鏡像和弦是通過音符倒置排列,制造出一種類似于“回聲”的效果,這也可以被稱為“回文效應”(“回文”是指正讀和倒讀都一樣的詞語、句子或數字)。例如,將《閃爍的小星星》這首曲子的音符序列倒置,會發現它聽起來就像是原旋律的回聲。這是因為《閃爍的小星星》的音符序列是重復的,所以無論正序還是倒序播放,都會產生相同的效果(圖1)。

圖1 《閃爍的小星星》旋律示意圖

除了《閃爍的小星星》之外,還有很多歌曲也具有這種“回文效應”,這些歌曲的音符序列通常包含重復或對稱的元素,使得它們在倒置時仍然保持和諧。將旋律音疊加就可以變成對應的和弦,所以這里對旋律的倒置分析同樣適用于和弦。傳統和弦進行模式往往比較單調,缺乏新意,而通過鏡像和弦與原始和弦的交替使用,就可以在音樂中創造情感對比,打破傳統和弦進行模式,給人們帶來新鮮感和探索感。從上例和弦的鏡像倒置還可以發現,鏡像和弦可能會將一個明亮的原始和弦帶來的愉快情感變成一種陰暗或悲傷的效果,使音樂更加生動和有趣。所以,依據物理現象產生和變化和弦、旋律,可以增強音樂的戲劇性和張力,使聽眾更好地感受音樂中的情感起伏和對比,體驗到更加豐富的情感變化。

(二)和聲功能的數理模型演變

在物理分析和弦色彩的基礎上,運用數學模型方法來分析和解釋和聲的連接,這種數理的結合使人們能夠清晰地看出和聲連接中人的審美變化。和聲進行中經常使用和聲功能圈、音級功能模型來分析,使原本復雜的和聲有條理地展現出來。

1.傳統和聲的功能圈模型

在多聲部音樂的進行中,使用純律可以獲得豐富的音響,使用五度相生律可以產生以Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ級作為泛音基音的大三和弦,這三個和弦完全合乎泛音音準,在此基礎上形成突出導音的傾向性功能和聲(T、S、D),其中S功能是介于兩者之間的過渡功能(圖2)。

圖2 傳統和聲的功能圈模型

2.現代和聲音級功能模型

各個音級上產生的和弦都有自己的特性,這還是由低音諧頻振動的原理決定的,每個音級在和聲進行中都有它們各自的功能傾向。這種方法通常運用主音、屬音、下行五度等描述和聲的運動和關系(方框內功能區域內可以替換,圖3)。

圖3 現代和聲音級功能模型

3.馬爾科夫鏈模型

“馬爾科夫矩陣”模型是通過“概率”分析和聲連接的方法,使作曲者能夠更加清晰地理解和描述和聲的模式和轉換,同時也為創作和解釋音樂提供了一種數學工具。在當代音樂中,對功能和聲的使用變得更加擴展和隨意,尤其是許多當代流行音樂,和聲進行出現了一種“套路化”的特征(圖4)。

圖4 馬爾科夫鏈模型

從圖4可以清晰地看出9種和聲進行的狀態,T(Ⅰ)連接到T(Ⅰ)的概率是37%,T(Ⅰ)連接到S(Ⅳ)的概率是35%,S(Ⅳ)連接到D(Ⅴ)的概率是45%。這個矩陣還可以隨著選用和弦的增加而變化,每個音級上都可以產生一些不同的和弦,這個矩陣就會變得更大,使個性化創作的素材更加豐富。

(三)黃金標界和弦

古希臘的畢達哥拉斯學派認為,美感是由一些基本原則構成的,例如和諧、對稱、比例等。植物的葉子、花朵和動物的身體均存在黃金分割比例。將這種比例關系運用到藝術作品中能產生最完美的和諧和美感。音樂家們將這種具有神奇魅力的數學比例關系運用到音樂創作中,創造出了“黃金標界和弦”。

“黃金標界和弦”遵循先創造音列然后由音列產生和弦的方法,將一條線段A分割為B、C兩部分,B與A之比等于C,一條線段上有兩個黃金分割點,分別叫做“順點”和“逆點”。將A視為一首樂曲的全部,B、C點的交界處(也就是“黃金分割點”左右的樂句)常常被作曲家設計為樂曲的高潮。與黃金分割點相近的是“斐波那契數列”,這個數列的比例關系是從2∶3開始,然后用3∶(3+2),也就是3∶5;以此類推,就可以得出序列2∶3∶5∶8∶13∶21∶34∶55∶79∶134…經過筆者的運算,發現這種比例關系依次波浪式地接近0.618(見后文斐波那契數列表格)。為了完美樂曲的旋律也會起伏不斷,然后達到高潮,這和斐波那契數列的遞進關系如出一轍。

這些富有邏輯的數理結構,對于音樂的創作具有極大的應用價值,在音樂的序列編創中就可以借用某些數學推理的方法,創造出富有邏輯的音列來。只要在邏輯上有規可依,就可以創作出充滿自然科學哲理的樂曲,這是人文哲學和自然科學結合的一種嘗試。愛因斯坦、牛頓、錢學森等科學家常常用音樂來尋找科學的靈感,反過來,音樂家也可以在自然科學的研究成果中尋找音樂創作的思路,比如古老的la-so-mi三音列童謠的黃金標界原理(圖5)。

圖5 黃金標界和弦

匈牙利作曲家巴托克·貝拉在音階、和弦、節奏、結構等各個方面都有研究。巴托克的黃金標界原理的和弦,被稱為“巴托克和弦”(圖6)。

圖6 巴托克和弦

倫德沃伊認為,從常見的一些和弦可以看到,它們之間的關系也符合黃金分割原理:全音階和弦2+2+2+2,減七和弦3+3+3+3,四度和弦5+5+5+5,增三和弦之轉位8+8+8(圖7)。

圖7 幾種和弦示意圖

由此看來,數理思維的運用不僅強化了音樂分析的準確度,而且豐富了作曲技術,讓作曲者在某種數理邏輯的指導下產生新的音列、和弦和結構。作曲技術要遵循自然科學的法則,和生活實踐緊密結合,實現“源于自然,又超乎自然;藝術源于生活,又高于生活”[4]的藝術法則。這里借用數學中的黃金分割理論來建構和弦和音樂結構,從而將數理邏輯的美學意向演變成為一種作曲方法。

三、節奏的數理分析和應用

節奏是音樂的時間要素,從用數字來表示節奏、節拍、音符的時值,到運用數理思維來分析和生成復雜的節奏模式,節奏的創作和數理思維息息相關。通過數學方法可以研究節奏的結構和特點,創作出具有獨特節奏感的音樂。

(一)用數字描述音符的特征

在音律分析中,人們常用羅馬數字、阿拉伯數字表示音符的級數、音符名稱等,唱名是根據奧爾夫音樂唱名法來規定的(圖8)。

圖8 音符名稱對照表

正是因為這些數字標識的應用,人們建立了音符的各種邏輯關系。在音樂學習的時候,人就可以通過標記來發現樂曲內在的邏輯,可以通過數理分析得到新的創作方法。比如,序列標記中,就將C音作為開始音,用半音數來表示各音到第一個音的距離,音程數就為0,#C和bD是等音,音程數為1,依此類推,B音的序列號就是11。這種標記方法為序列音樂的創作打下了數理的基礎,創作中就可以比較方便地使用。

(二)運用數理的變化規律衍生節奏

“二十世紀之后的許多作品則在摒棄了調性法則后,將全部的注意力集中于不同的音樂參數,在構建音樂事件的過程中所顯現的形式化邏輯?！盵5]節奏的結構力在序列的作用下得到解脫,從節奏的獨特視角推進音樂,由新穎的節奏構思主導音樂結構,使音樂更有魅力?！?2音序列作曲法”從產生到演變都可以從數理中找到其變化的規律,從節奏的設計中就可以找到現代音樂和調性時期音樂的區別(圖9)。

圖9 《鋼琴的時值與力度的模式練習曲》(奧利維爾·梅西安)

從圖9可以看出,三行樂譜從高到低分別使用的是三十二分音符、十六分音符、八分音符,它們的音值呈現出倍數遞增的規律。第一行樂譜使用的三十二分音符,從1個到12個依次展開(中間次序出現調整),第二行樂譜使用的十六分音符,從1個到12個依次展開,第三行樂譜處于低音聲部。作曲家更多地汲取了數理的思維方式衍生節奏型,“內在聯系的數理因素在音像上有很強的感染力?！盵6]

四、音列的數理特點分析和應用

音律學作為音樂理論中的一個重要領域,在研究音程、音色的基礎上,研究音的排列和組合規律,依據音律衍生原理來設計音列,是樂曲創作的重要開端。

(一)用音律產生音列的邏輯

1.雅樂音列

《戰國策》記載:“郢人作《陽春》《白雪》,其調引商刻羽,雜以清角流徵?！盵7]看來古人的樂調音列是靠“引”“刻”“雜”來創造的?！耙钡囊馑季褪恰捌鹩凇?它和中華雅樂調“起音畢曲”的“起”意思一樣,由此判斷《陽春》《白雪》的主音就是“Re”;“刻”就是深刻的意思,“A”是屬音,有半終止的感覺,聽覺自然深刻?！半s以”突出了作曲技法中經過音的使用,“夾雜”“混雜”的意思,可以像“輔助音”一樣,用在“D”“A”的前面或者后面;“流”同樣有經過的意思。當然古人的樂調音列的衍生和變化還有“清”,“清角”就是#F,“清角”是從哪個律制衍生而來的呢?就是逆宮而生;還有“變”,表示降低半音,比如“變宮”就是“B”。由于原曲早已失傳,李健正先生選擇了用音相同的曲調《北京的金山上》(圖10)進行演示,以便讓人們感受到這種曲風的味道。

圖10 《北京的金山上》示例

從“引”“刻”“雜”“夾”“流”“變”“清”這些變音的方法可以看出上古先哲豐富的樂律創造手法。

2.黃金音列

依據以上分析,筆者設計了“黃金音列”。將十二平均律的12個音由低到高按照0～11的順序依次排列,C音為0,#C音為1,依次按照半音數往上推,B音就是11。將斐波那契數列中大于音數12的值減去12n,確保音數在0～11之間,從而得出余數和余數音列。余數音列中到第八個音都沒有重復,但是沒有出現3、11、4序列的音,所以把這八個音命名為“黃金8音”。將12個音全部羅列出來,按照大小順序,將F變為E,數值較大的11號F變為#F,數值最大的12號F變為#F,再將最后的F改為B,得出“黃金12音”(表1)。

表1 “黃金12音”統計表

由表1可以得出“黃金8音”(圖11)和“黃金12音”(圖12)。

圖11 “黃金8音”示例

圖12 “黃金12音”示例

(二)序列音樂中律制的相對固定和靈活運用

序列音樂的排列組合有三種方式:橫向可移動性、縱向可移動性、縱橫可移動性。這些序列可以是音高、力度序、時值序列,也可以是音色序、組織性序列等。序列音樂最早的序列是音高序列,后來發展到力度、時值序列等,又進一步擴展到色彩性的、組織性的序列,這樣多維度的音樂語言更加具有表現力。那么,“序列音樂”會遵循哪種律制呢?

1.序列音樂中的律制

“有了律制應用的自覺性,就可將音律科學和音樂藝術的關系處理得恰如其分?！盵8]傳統音樂創作中,由于平均律在和聲樂器中使用起來比較方便,易于轉調,剔除了自然律復雜的音程變化,起到了中和、調節的作用,所以和聲樂器的樂曲一般使用十二平均律。多聲部音樂(這里指合唱和樂隊)的創作中,十二律的和聲純度就不夠用了,達不到和聲的諧音效果,因此創作無轉調、離調的無伴奏合唱曲或樂段時,就要以純律為主將作者的意圖準確、完美地表達出來,因為純律中的大三度、小三度和轉位后的音程,與人們聽覺可以感受到的自然泛音列相吻合,構成協和度相當高的音響效果,給人以自然和諧的美感。

序列音樂中的律制主要采用十二平均律,每個半音的音高都是唯一的,而且相鄰半音之間的音程是相等的。在序列音樂中律制的應用要注重音高和音程的準確比例關系,使序列音樂更符合音律的邏輯,產生更加豐富的音響效果。所以,在序列音樂的創作中也要融入純律和五度律,在和聲音樂、單旋律音樂中分別加以靈活運用,既不影響轉調,又能增加音樂的美感。

2.運用現代測音技術控制音準

測量音的振動頻率是音律學常用的一種方法。隨著測音技術的進步,測量音高不再是一件難事,用測音軟件測量音律既精確又便捷。無調性音樂要做到音律美,其音準很難控制,對“視唱練耳”教學來說也是很大的挑戰。有時人們會在樂譜上通過標記律制和頻率來說明音準,這種提示僅僅是文字性說明,不能解決根本性問題。為了使演唱(奏)的音準達到最準確的狀態,最行之有效的方法還是在音準訓練中用儀器測量音高,將音準的“觀感”和“聽感”相結合,最終達到音律美的效果。以下是“F”音三種律制的頻率(圖13)。

圖13 “F”音三種律制的頻率

圖13是以“F音”為例,用手機APP測出的十二平均律、五度相生律、純律三種律制的音高頻率。

當然,音樂的風格多種多樣,音律也是形態各異,測音軟件可以根據要表達的音樂風格來設計音高?！堵蓪W》一書指出:“民族音樂的音律方面的研究,是民族音樂研究中重要的一環;利用現代先進的測音技術或自制的測音工具,對我國各民族的民族民間音樂或戲曲音樂等進行廣泛的音律測算和律制核定?！盵9]在民族音樂中,有很多特殊音律的要求,測音軟件可以通過細微的調整來滿足不同風格的需求。比如秦腔里的“中立音”“#F”“bB”,在軟件中就可以自己設計它的音律。筆者將音頻率做了臨時調整(圖14)。

圖14 運用“彈性律制”將音頻率臨時調整

這種細微的差別靠人耳是很難辨別的。在“視唱練耳”訓練的時候,用測音軟件進行不同律制的音準訓練,將抽象的聲音具體為音頻數字,再由具體數字抽象為音高感覺,經過長期的視聽訓練,音準就能做到真正的音律美。

五、結語

正如愛因斯坦所說:“這個世界是由音樂的音符組成的,也是由數學公式組成的。音符加數學公式,就是真正完整的世界?！盵10]筆者以音的物理特征為原點,在原理性研究的基礎上,以數學邏輯推理為手段,研究了和聲色彩、數理模型、節奏和音列的數理特點以及作曲中的構建方法,為作曲技術的發展和進步提供了新的視角。隨著音律學數理思維的廣泛應用,這種將原理性學習與創作性實踐相結合的方法,將為學習者學好音樂打下良好的基礎。通過觀察音的物理屬性,建立音列邏輯,再結合作曲軟件平臺、音律測試軟件等工具,就可以降低作曲的難度。為此,音律學數理思維不僅可以在專業作曲中應用,還可以在以培養作曲興趣為主的課程教學中加以應用,從而加強音樂基礎教育中創作能力的培養。從這個意義上講,音律學數理思維之于作曲的研究善莫大焉。