例說思維品質在立體幾何解題中的滲透

廣東省惠州市第一中學 (516007) 戴 飆 方志平

數學教學的核心是思維活動的教學.“思維”可以從不同的角度去解釋,從心理學的角度來說,“思維”是人腦的一種高級的心理活動,“思維”不同于其他心理活動的本質在于“思維”是對客觀事物本質屬性以及內在規律的反映[1].思維品質主要包括思維的廣闊性、深刻性、批判性和獨創性等幾個方面.針對思維品質的訓練,對提高學生的思維能力,落實數學核心素養具有積極的意義.本文列舉幾例闡述思維品質在立體幾何解題中的滲透,供讀者參考.

1.在探索性問題中滲透思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于全面地考察問題,從事物的各種聯系中認識事物,避免問題的片面性及狹義性,這使我們不僅能抓住事物的基本特征,而且不忽略重要的細節.數學思維的廣闊性具有流暢、變通和獨特的特點,在教學中,要引導學生不局限于某一種解題思路及方法,大膽聯想,從問題的各種條件與結論出發,發現解決問題的新途徑.

圖1

2.在關系轉換問題中滲透思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平.表現為能洞察所研究的每一個事物的實質以及相互關系,能從所研究材料中揭示被掩蓋住的特殊情況,能夠抓住問題的本質和規律,深入細致地加以分析和解決,而不被一些表面現象所迷惑[2].

例2 三個邊長為12的正方形都被連接兩條相鄰邊的中點的直線分成A,B兩片,如圖2所示,把這六片粘在一個正六邊形的外面,如圖3所示,然后折成一個多面體,求這個多面體的體積.

圖2

圖3

解：如圖3,每個B片的兩側都是A片,要將其粘合在一起就是要將三個直角頂點和邊粘合在一起,那么三個直角頂點和邊粘合在一起是一個怎樣的圖形?圖中的直角邊MN和GH會重合嗎?點N,L,H三點會有怎樣的結果?

圖4

圖5

如果將正六邊形的頂點與點S連接起來,如圖6所示,則原幾何體被分割成一個正六棱錐和三個全等的有三條棱兩兩垂直的三棱錐,體積可求.

圖6

如果注意到將圖中QY,PX延長必交于一點,得一正方形……可將原幾何體補形成如圖7所示的正方體,其體積恰為一個棱長為12的正方體體積的一半.

評注：本題的思維價值,就是學生能否揭示該問題中最特殊的情況,即三個直角粘合在一起的圖形特征,這正是該問題能否解決的關鍵所在.通過由表及里的思維,概括歸納,抓住事物本質及規律,可發展思維的深刻性.

3.在涉及概念問題中滲透思維的批判性

批判性是數學思維優良品質的一個重要特性,其內涵是能自覺地進行自我反省,對自己的思維和行為作出評價、判斷和監控,并可預見到可能出現的各種結果;能從問題的正、反兩方面進行思考,既有成功的思想準備,也有失敗再重來的思想意識;能及時判斷解題方法的優劣,調整改善解題的思路,以求得優美的解法;善于總結自己成功和失敗的經驗,并用來指導未來的實踐[3].

例3 如圖8,在多面體ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面平行且均為矩形,相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等,側棱延長后相交于E、F兩點,上、下底面矩形的長、寬分別為c、d與a、b且a>c,b>d,兩底面間的距離為h.(1)求側面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值;(2)證明:EF∥面ABCD.

圖8

評注：本解法的錯誤之處在于:直接利用結論“O1O垂直于上、下底面”,事實上,這是正棱臺的性質,在本題當中,該結論仍然正確,但證明該結論相當困難,所需篇幅甚至遠大于解答本題之篇幅.

圖9

圖10

(2)∵AB、CD為矩形ABCD的對邊,∴AB∥CD,又面ABCD∩面CDEF=CD,∴AB∥面CDEF,又∵面ABEF∩面CDEF=EF,∴EF∥AB,AB?面ABCD,又EF?面ABCD,∴EF∥面ABCD.

4.在動態問題中滲透思維的獨創性

思維的獨創性是指思維活動的創新程度.它表現為思考問題和解決問題時的方式、方法或結果的新穎、獨特、別出心裁.善于發現問題、解決并引申問題是思維創造性的表現之一[4].

例4 若點P?α,直線l?α,過點P且與直線l成30°角的直線交平面α于點M,若點M的軌跡為一圓錐曲線,求其離心率.

圖11

評注：本題中盡管“動態”的背景下活躍著動態的點和線,但在其動態性的層面內,隱藏和潛伏著不變(靜態)的元素.只要細心觀察,匠心獨運,獨具慧眼,就會從動態的圖形中捕捉到不變的靜態的因素,實現“動中取靜,以靜制動”之效應.

綜上案例,思維品質在立體幾何解題中的滲透,向我們闡述了思維的廣闊性是對學生進行思維品質訓練的基礎與前提,思維的深刻性是對學生進行思維品質訓練的深化過程,思維的批判性是在深刻性的基礎上發展起來的,思維的獨創性是對學生進行思維品質訓練的歸宿與新的起點.