數學思考題，不妨“串”著教

施婭林

摘 要：小學數學教材中的思考題是發展學生數學思維能力的有效載體。對此，我們可以將思考題“串”著教：把內容“串”起來，從碎片走向整體；把方法“串”起來，從經驗轉向模型；把思維“串”起來，從淺層邁向深度。從而，促進學生在結構化的學習活動中獲得個體知識的建構和生長以及思維的深度發展。

關鍵詞：小學數學；思考題；結構化

一、課前思考

蘇教版小學數學教材通常會在某一主題學習的練習中或者單元復習的最后編排一道思考題。這些思考題側重探究有趣的數學現象或數學規律，旨在引導學生在解決問題的過程中了解相關的數學原理，體會其中蘊含的數學思想，提高解決問題的能力。學生在研究并解答這些問題的過程中，會獲得更多的數學發展，特別是思維的發展?？梢?，與一般的練習題相比，思考題綜合性更強、更具生長性，是發展學生數學思維能力的有效載體。但在實際教學中，很多教師會將思考題當成孤立的“點”，就題講題，導致學生停留在“解決問題”層面。

蘇教版小學數學二年級下冊《認識萬以內的數》單元“練習三”（見下頁圖1）和“復習課”中的思考題（見下頁圖2），在知識和方法上有相通之處，如果把它們當作兩道題分別來解決，學生很難發現這兩道思考題在思維上的一致性，難免會造成知識“碎片化”、學生視野狹窄化，從而導致學生無法建構完整的、聯系的、發展的認知結構，也阻礙了學生推理意識和思維能力的發展。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“教學建議”部分提出，“注重教學內容的結構化” ?［1］ ，“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體 ??的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養” ?［2］ 。因此，筆者從內容、方法、思維三個方面，將這兩道思考題“串”起來，設計結構化的學習活動。

二、課中踐行

（一）研究3個數字組成三位數

1.從個別到一般，由直觀到抽象

師 ???喜歡玩游戲嗎？今天我們一起來玩組數游戲，就是用幾張數字卡片擺幾位數。你們猜：3張數字卡片可以擺出幾個三位數？

（學生的答案各不相同。）

師 ??究竟是幾個呢？一起來擺一擺。用數字卡片2、3、4擺出不同的三位數。

（學生操作數字卡片，教師巡視，收集典型擺法。）

師 ????（展示學生擺法，如圖3所示） 這幾種擺法中，你更喜歡哪種？請用手勢告訴我。

（大多數學生選擇擺法1，少數學生選擇擺法2，個別學生選擇擺法3，沒有學生選擇擺法4。）

師 ??這么多同學選擇擺法1，誰來說說你的理由？

生 ??因為擺法1是從百位開始從小到大地擺的，這樣比較有序，而且寫數就是從高位開始寫的，比較方便。擺法4沒有按順序擺，容易漏掉一些情況。

生 ??我覺得擺法2和擺法3也有序啊，擺法2是按個位從小到大地擺的，擺法3是按百位從大到小地擺的。

生 ??我覺得按首位或末位從大到小、從小到大擺都是有序的，只不過我們比較習慣按首位從小到大地擺。

（學生紛紛表示贊同。）

師 ??確實，只要是有序思考，都可以。既然現在大家都同意擺法1，誰能上臺來邊指邊說，是怎樣擺的？

生 ???（同步指） 這里的百位都是2 （教師將兩個2圈起來） ，后面的3和4交換 （教師畫交叉線） ；后面也是一樣的，3不變，2和4交換……

（教師隨著學生的指、說同步操作，最終板貼如圖4所示。）

師 ??像這樣先固定一個數位，再把剩下的2張卡片交換位置。這樣有序地思考就能不重復、不遺漏地找到所有不同的三位數。2、3、4這3張數字卡片一共組成了幾個三位數？

生 ??6個，3×2等于6。

（教師組織學生活動，先全班一起再同桌互相玩抽卡片組數的游戲。游戲規則如下：一人抽取3張不同的數字卡片，其他人有序、完整地說出由它們組成的三位數。在活動中，學生都能快速、完整地說出三位數。）

師 ???（同屏對比3組游戲結果） 剛才用3張數字卡片擺出所有的三位數，都是怎么擺的？

生 ??都是固定首位，后面的兩個數交換位置。

生 ??首位的數從小到大有序思考。

師 ??真了不起，從不一樣的數字中發現了一樣的方法！為了方便交流，我們有序地給3張卡片標上序號，第1張，第2張，第3張，誰能到前面來用剛才的方法邊擺邊說？

（學生用有標號的卡片擺數，板貼如圖5所示。）

師 ???（指圖5） 用像這樣的3張數字卡片擺出了幾個三位數？是怎么得到的？

生 ??6個，每張數字卡片依次放在首位都有2個數，3個2就是6。

師 ??通過剛才的研究，我們知道，一般情況下，3張不同的數字卡片可以組成6個不同的三位數。

［ 說明： 課始，從學生的興趣入手，創設游戲活動，從一個到多個，從直觀到抽象，引導學生積極參與研究。 首先，教師設計了3個數的組數游戲。有的學生擺法無序，有的學生按照中間數從小到大地擺，有的學生能夠找到首位或者個位有序地擺，所有學生都能主動地思考。在第一輪活動方法指導與歸納的基礎上，教師又組織了第二輪游戲，但是形式上有所改變，提高了對學生的要求，需要學生有序、完整地說出所有的數，訓練學生在頭腦中快速、有序地“擺”卡片。從動手操作到在頭腦中“擺”，為學生搭建了從直觀思維到抽象思維的橋梁。最后，從3組數據中引導學生抽象出3個數組成三位數的一般模型，逐步從直觀思維邁向抽象思維。 ］

2.從一般到特殊，由淺表到深入

師 ??3張數字卡片都能組成6個三位數嗎？

生 ??是的。

生 ??不一定，萬一有0呢？

師 ??看來有一些特殊情況。小組合作，將你們的發現記錄在練習單上。

（學生討論非常激烈，小組內互相補充。）

師 ??請一個小組分享他們的發現。

生 ??0、2、3，只有4個三位數。

生 ??有2個相同數，比如1、1、3，只有3個三位數。

生 ??有相同數又有0，比如0、2、2，只有2個三位數。

生 ??有2個0，比如0、0、2，只有1個三位數，就是200。

［ 說明： 由3組數據的一般情況歸納到普適性模型的建立，是有一段思考過程的。這一過程中，大腦需要對復雜情況進行處理，比如對一些思維沖突的問題，學生需要打破已有觀念，思維才能從淺表逐步深入。教學中，教師請學生猜測3張數字卡片能組幾個三位數。根據剛剛建立的模型，學生很容易猜測是6個，教師沒有直接下結論，而是讓學生充分思考，舉例特殊情況，打破常規思維，從而使思維更加深刻。 ］

3.從特殊到一般，由形式到本質

師 ??誰能解釋下一般情況下3張數學卡片可以擺出6個三位數，為什么這些情況下會少呢？

生 ??因為0不能放在首位。 （展示圖6） 但是有2個要畫去。

師 ??三個數字分別是1、1、3，有幾個三位數？少了哪幾個？

（學生不能直接說出答案。）

師 ??我們一起來寫一寫，寫完你有什么發現？

（學生說，教師寫在黑板上，再畫去重復的情況，板書如圖7所示。）

生 ??其實3張數字卡片都可以寫出6個數，但是要把不符合條件的和重復的刪掉。

師 ??是的，由于0在首位和重復等特殊情況，3張數字卡片組成數的個數比6個少。

［ 說明： 從特殊出發，深入研究特殊情況的本質，才能將特殊情況歸納到一般模型中。而特殊情況的研究較為困難，教師可以引導學生將思維的過程展開，使其可視，以促進理解更加直觀、深刻。教師請學生列舉出特殊情況之后，引導學生先按照一般情況將所有3張數字卡片組數，再排除掉不符合的情況。學生在展開思維的過程中，理解了特殊情況的本質：有1個0 時，0不能放在首位，從6個中去掉2個，就是4個；有2個相同的數（沒有0）時，交換表示的數一樣，從6個中去掉3個，就是3個。從一般到特殊，從形式到本質，打通了一般情況和特殊情況，建立了普適性的組數模型。 ］

（二）探究4個數字組成四位數

1.從基礎到進階，由模仿到創新

師 ??3張數字卡片的組數游戲通關了，敢挑戰更高難度的嗎？ （PPT出示數字卡片1、2、3、4） 覺得自己能又快又全地找到這4張數字卡片組成的所有四位數的請舉手！

（全班學生都非常興奮地高高舉起手。）

師 ??把你們的想法先在小組里交流一下，再動筆試一試。

（教師巡視，發現很多學生一開始寫1234、1243，接著寫2134、2143。在充足的時間內都能改正，并有序、完整地寫出所有四位數。）

［ 說明： 波利亞說：“學習任何知識的最佳途徑就是自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系?！?張數字卡片組數和4張數字卡片組數從形式上看較為相似，學生的初步感知就是數量上的增多，但其實是思維上的進階，不是單純地模仿。因此，當學生自主探究4張數字卡片組數，直接從形式上進行模仿遇到困惑時，教師并沒有直接給出方法，而是給學生足夠的時間去思考、嘗試和交流，讓學生經歷“感知外形相似—嘗試模仿—嘗試失敗—再次調整”這一完整的學習過程，從而明晰模型的本質。 ］

2.從局部到整體，由零散到結構

師 ??觀察這些數，你有什么發現？

生 ??確定千位是1后，就可以轉化成了3張數字卡片擺三位數的情況。

（學生指黑板上數字卡片2、3、4擺出的三位數，教師畫箭頭，最終的板貼如下頁圖8所示。） ???生 ??其實千位是2、3、4的方法和千位是1的方法在道理上是一樣的。

師 ??原來4張數字卡片可以轉化成3張數字卡片組數，那4張數字卡片可以擺多少個不同的四位數？

生 ??24個。

師 ??通常不同的4張數字卡片能組成24個四位數。會不會有特殊情況呢？

生 ??有0或者相同的數。

（學生嘗試獨立完成特殊情況的探究。）

［ 說明： 通過合適的主題整合教學內容，引導學生經歷遷移的過程，學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題。教師將3張數字卡片和4張數字卡片組數內容進行整合，引導學生發現4張數字卡片組數時，當確定了1張數字卡片后，就轉化成剩下的3張數字卡片組數，從深層次建立了與3張數字卡片組三位數結構上的聯系。 ］

（三）推想多個數字組成多位數

師 ??5張數字卡片的組數又會怎樣呢？

生 ??應該組成的數更多，是5×24個。

生 ??24是4個數字組成的四位數個數，5個數字組數，可以先確定萬位上的數，后面的就跟4個數字組數一樣了。

師 ??原來道理還是一樣的，又把5個數字轉化成了4個數字的組數問題。那6張數字卡片的組數你猜有幾個？

生 ??6×5×24。

師 ??24是怎樣得到的？

生 ??4×3×2=24。

師 ??是的，你發現了什么？為什么？和你的同桌說一說。

生 ??幾個數組幾位數的個數就是從幾開始乘，乘到2。因為都可以往前推，6個數組成六位數和5個數組成五位數有關，5個數組數和4個數組數有關……

師 ??看來理解了知識的本質，學會了方法，這些問題就都打通了。同學們可以自己課后去試一試，驗證一下。

［ 說明： 經歷研究3個數字組數的操作過程，以及4個數字組數的遷移，建立組數的數學模型，學生已經學會用聯系的眼光看5個、6個等數字的組數問題。教師引導學生推想多個數字組數的問題，就是延伸思維，打通所有的組數問題。 ］

三、課后反思

（一）把內容“串”起來，從碎片走向整體

新課標指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。 ?［3］ 由此，我們可以將在知識上、學習方法上、思維方式上具有內在關聯、可相互滲透和類比遷移的內容整合在一起，“串”起來教。

本課就是將3個非0且不相同的數字組成三位數、含0或有相同數的數字組成三位數，以及4個數字組成四位數等內容整合在一起。通過師生共同研究3個數字組成三位數、學生自主探究4個數字組成四位數、推想多個數字組成多位數等一系列結構化學習任務，幫助學生理解數在不同數位上的含義不同，掌握有序思考的方法，初步感知排列組合的思想。整合后的教學過程順應學生的認知經驗，從直觀感知到抽象表征再到模型應用，多角度推進認知結構不斷完善，讓知識從碎片走向整體。

（二）把方法“串”起來，從經驗轉向模型

其實，真正將教學內容“串”起來的不光是表面上的相似，更應是背后思想方法的相同。法國數學家拉普拉斯說：“在數學這門科學里，發現真理的主要工具是歸納和類比?！??［4］ 數學知識具有很強的關聯性和系統性。通過類比，可以讓新經驗與舊經驗碰撞與交流，融合方法，從而擴充知識體系。通過歸納，可以將豐富的經驗轉向模型，借助模型簡化知識系統的復雜性，從而完善知識體系。

在初次嘗試將3張數字卡片組成三位數時，大多數學生都能憑借經驗寫出3個數字組成的三位數，但是此時的經驗缺乏“數學味”，很多學生不能完全寫出，或者只能無序地寫出。教學中，教師引導學生進行方法的對比和歸納。首先，有序思考。固定首位，交換后兩個數字的位置，三張數字卡片都能組成6個三位數，幫助學生將原有的經驗“數學化”，初步建立抽象的模型。接著，思考3張數字卡片組成三位數的特殊情況（有0或有相同數），學生發現剛剛建立的模型不適用了。此時，教師引導學生沿著原有的方法思考，寫出所有的情況，再考慮不符合條件的情況。由此，學生真正理解了模型，從經驗走向理解，在理解中深化了模型。隨后，學生遷移方法，自主探究4個數字組成的四位數。過程中，學生經歷經驗沖突，快速調整，避免形式上的模仿，探尋知識的本質，牢固、深刻地建立新的數學模型。最后，教師引導學生將方法遷移到更多個數字組數的問題，引導學生在此基礎上建構更復雜的模型，擴充和完善知識體系。

（三）把思維“串”起來，從淺層邁向深度

將教學內容“串”起來后，我們還應以高觀點視角去審視內容，挖掘其中的深度學習點，逐步引導學生的思維從淺層邁向深度。

教學中，從個別到一般，引發學生的思維由直觀到抽象；從一般到特殊，

打破原有認知，引發學生的思維由淺表到深入；從特殊到一般，

引發學生從形式模仿到理解本質；從基礎到進階，引導學生自主遷移，但不局限于形式上的生搬硬套，積極尋找知識的內在聯系，從結構上建立本質聯系；從局部到整體，由零散到結構；最后，延伸思維，引導學生用聯系的眼光推想更復雜的問題。如此，引導學生在結構化的學習活動中獲得個體知識的建構以及思維的深度發展。

教學中，先引導學生動手擺2、3、4這三張數字卡片和直接說出任意抽取的3張（沒有0且數字不同的）數字卡片組成三位數的活動，從個別數據中抽象出3個數字組成三位數的一般模型。接著，引出“有0”或“有相同數”等特殊情況，促使學生打破常規思維，深入思考。學生發現仍然可以按照一般模型思考，只需排除不符合的情況，從本質上打通了一般和特殊情況，建立了3個數字組數的普適性模型?；?個數字組數的探究經驗，學生自主探究4個數字組四位數，通過形式模仿、方法遷移、理解本質等，最終將4個數字組四位數與3個數字組三位數從結構上建立聯系，實現思維進階。最后，引導學生推想多個數字組數問題，延伸思維，打通所有的組數問題。

參考文獻：

［1］［2］［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：85，85，85.

［4］ 高佳萍.好的開端是成功的一半——兼談數學教學的導入［J］.考試周刊， 2010（55）：75.