數學教師專業成長的四個層面
——以教材函數習題為例

何建東, 俞菊妃

(1.紹興市越州中學,浙江 紹興 312075;2.紹興文理學院數理學院,浙江 紹興 312000;3.紹興市元培中學,浙江 紹興 312000)

數學教師不僅要在教學中加強對解題方法和數學思想的落實,而且要在教學過程中重視教學理論與教育德育的滲透[1].在發展解題能力、融合數學思想、組織有效教學、貫徹數學育人這4個遞進式層面,數學教師既可以達到“固本”“探源”兩個教學目標,更能夠使自身實踐與理論得到雙重專業成長.

章建躍在人教A版《普通高中教科書·數學》(以下統稱“高中《數學》”)扉頁“寄語”中指出,仔細閱讀教科書,用心揣摩每句話,弄懂每道例題,在探究、質疑、反思中逐漸領悟數學概念及其蘊含的數學思想和方法[2].《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)也明確指出,數學課程要體現現代數學的本質,充分認識數學教育的育人功能,數學教學應以發展學生數學學科核心素養為導向,創設合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值[3-4].

以高中《數學》(必修第一冊)“函數的概念與性質”單元教學為例,我們首先要明晰“函數是貫穿高中數學的一條主線,因其抽象程度高而成為許多學生的學習難點”;其次要明白“用好、弄透教材的每道例題和習題,才能幫助學生準確把握函數的概念及其思想方法”;然后要明確“理解《課標》要求,落實教材內容,發揮課堂功能,引導學生通過例題和習題去感受數學文化、解決數學問題、形成數學思想”[5].

1 解題有“法”——半畝方塘一鑒開

問題是數學的心臟．好的數學問題不僅可以觸發學生的數學思考,而且可以成就一段教學“佳話”．尤其是教材中的例題和習題,都是專家精挑細選的,凝聚著編寫團隊的智慧與心血．數學教師要用好、弄透每道例題和習題,引導學生分析解決,做到解題有“法”．

例1證明:

1)若f(x)=ax+b,則

2)若g(x)=x2+ax+b,則

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第101頁綜合運用第8題)

分析這是筆者經常用作例子的教材習題．通過對該題的解答,既可以復習初中已學的一次函數和二次函數的圖象與性質,又可以讓學生熟悉鞏固高中新學的函數符號f(x)的含義．教師還可以引導學生既著眼于“代數”的角度,通過“解析式”的演算嚴格推理論證,又借助“圖象”的角度,通過“函數特性”直觀簡潔感知．

證明(代數角度)

1)因為等式左邊為

等式右邊為

所以

2)因為等式左邊為

等式右邊為

感知(圖象角度)如圖1、圖2所示.

圖1 圖2

基于以上問題的解決與說明,筆者一般會通過適當地變化與引用,讓學生思考解決如下類似的問題.

( )

答案為BC.

2 數學求“理”——天光云影共徘徊

數學是系統的學科．無論是數學問題還是數學方法,都不是孤立存在的．數學教師除了要引導學生解決問題,也要適時適切地引領學生梳理蘊藏在問題中的數學思想,將研究的重點內容系統整合成規律化的模塊,以“問題鏈”“結論堆”的形式呈現,養成數學求“理”的習慣．

以上述教材習題為引子,教師可以做兩方面“理”的探求.

一是系統地歸納整理教材中涉及函數單調性、奇偶性、最值等圖象與性質的系列例題和習題,對“函數的圖象與性質”進行拓展研究,引領學生逐層得出如下系列“結論堆”.

1)f(0)=0?f(x)過原點.

2)f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數;f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數.

3)任意x∈D,f(x)≤M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最大值;任意x∈D,f(x)≥M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最小值.

5)f(x+1)=f(x)?f(x)的周期為1.

6)f(1+x)=f(1-x)?f(x)=f(2-x)?f(x)的圖象關于直線x=1對稱;f(1+x)=-f(1-x)?f(x)=-f(2-x)?f(x)的圖象關于點(1,0)對稱.

7)f(x)+f(-x)=2?f(x)的圖象關于點(0,1)對稱;f(a+x)+f(a-x)=2b?f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.

8)f(x+y)=f(x)+f(y)?f(x)的一個代表函數為f(x)=kx(其中k≠0);f(xy)=f(x)·f(y)?f(x)的一個代表函數為f(x)=xα(其中α為常數).

10)|f(x)|的圖象可看作f(x)的圖象保留x軸上方部分,同時將x軸下方部分圖象沿x軸翻折到x軸的上方;f(|x|)的圖象可看作f(x)的圖象保留y軸右側部分,擦去y軸左側部分,同時畫出y軸右側部分圖象關于y軸的對稱圖象;f(x-1)+2的圖象可看作f(x)的圖象向右平移1個單位,向上平移2個單位得到．

二是將數學的觀點站得更高些,利用教師學過的高等數學知識,揭示教材例題和習題背后的數學知識,如本文例1的“源頭”是高等數學中的“琴生不等式”.

琴生不等式設函數f(x)的定義域為I,任意x1,x2∈I,其中x1≠x2,λ∈(0,1),總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區間I上的凸函數(《數學分析》中也稱“下凹函數”);反之,如果總有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區間I上的凹函數(《數學分析》中也稱“上凸函數”).

3 教學悟“道”——問渠那得清如許

教學是范式的行為．數學教學往往有“范式”可循,數學教師要組織學生悟得學習中的門道——研究程序．以“函數”為例,何為函數?為何要研究?怎么研究?中學數學就是在不斷研究解決各模塊內容的這3個問題,從而貫徹《課標》,使用教材開展課堂教學,實現教學悟“道”.

為了給不同數學內容的教學提供借鑒,筆者以“函數的圖象與性質”為例梳理得出教學的一般研究范式.

1)我們已經儲備了函數學習的哪些基礎知識?(初中階段學過的函數知識:正比例函數、一次函數、反比例函數與二次函數等.)

2)搜集、了解函數的形成與發展史.(函數產生的社會背景、函數概念發展的歷史過程、函數符號的故事、數學家與函數等.)

3)舉例說明數學問題中的函數背景素材.(融合在數學教材大量例題和習題中的數學歷史文化、社會科技文化、現實生活文化中的背景材料.)

4)研究函數圖象與性質的一般化路徑.(從函數定義域入手,經由函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性、特殊點線,借助圖象,最后到函數的最值與值域.)

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第79頁例3)

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第86頁綜合運用第8題)

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第92頁探究與發現)

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第101頁拓廣探索第12題)

2)對函數解析式中的實數a,b,你認為需要分哪些情況進行討論研究?這些情況之間有何內在的聯系?

3)這種類型的函數的研究過程中,與基本不等式存在怎樣的關聯?如何解釋說明函數單調區間的分界點?

通過這個學習、聯系、研究與轉化的過程,學生可以提升自己對數學的研習能力,教師的數學教學也更上了一個臺階,突出了教學的本質與關鍵．

4 教育立“德”——為有源頭活水來

立德是教育的根本．教育要回答并解決“為誰培養人?培養什么人?怎么培養人?”的問題.處于基礎教育與高等教育關鍵過渡的中學,更要堅定不移、不折不扣地“立德樹人”.數學教師要充分領會、深入理解并貫徹落實《課標》的“德育”全要素,落實教育立“德”．

新教材一個顯著的特點就是整合了大量內容豐富、形式多樣的數學文化背景材料,廣泛滲透在教材的例題、習題和閱讀材料中．數學教師在理解利用教材例題、習題的過程中,除了要充分揭示數學的內在本質屬性,還要善于發掘并闡述蘊含在數學各方面的“德育素材”,包括教材每章的引言、每節的例題習題、每單元的閱讀材料、每階段的探索與發現等．教師不僅要引導學生解決數學問題,以發展和提升數學素養,更要引領學生探尋數學問題的來源與發展,以感悟數學的“文化自信”,讓數學教學始終“德育”其中．

筆者通過“函數的概念”的3個引例進行數學“德育”(以下引例中的圖和表略).

引例1某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內,列車行進的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關系可以表示為s=350t．

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第60頁問題1)

引例2如何根據某市某日的空氣質量指數(Air Quality Index,簡稱AQI)變化圖確定這一天內任一時刻t的空氣質量指數(AQI)的值I?你認為這里的I是t的函數嗎?

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第60頁問題3)

(人教A版高中《數學》(必修第一冊)第60頁問題4)

分析上述3個引例中,引例1以我國自主設計的高速動車為科技文化背景,彰顯“中國速度”“中國智造”,而且可以讓坐過或者沒坐過“復興號”動車的學生感知和了解“350”是個什么概念.當我們坐著自己國家設計制造的高速動車馳騁在祖國綠水青山之間,是何等的自豪與爽快!引例2以與人們日常生活息息相關的空氣質量為社會文化背景,著眼當前國際國內特別關注的人類環境保護話題,與我國下一個百年大計中的“碳達峰”“碳中和”目標相契合,反映了我國不僅要建設一個強大的社會主義國家,更要建設一個在國際社會中負責任的“大國形象”．引例3將事關我國城鎮居民生活質量的恩格爾系數作為社會文化背景,寓意“人民至上”的發展理念,反映了我國社會文明建設的主要目標是實現全面小康,滿足全體人民對更加美好生活的向往,可見教材的例題和習題的“小題目大作為”．

數學的教與學,如科學研究,亦如文化表達,既需要有“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”那樣,善于從不同的角度、不同的層次去分析探究,以品味其中所蘊含的味道,更應該秉持“素心正如此,開徑望三益”的精神,回歸數學最本質、最樸素的東西,方能以不變應萬變,以其宗馭其形[6-7].