運算方法遷移的應然思考*
——例談數的運算本質上一致性的學生認知

于正軍

根據《義務教育數學課程標準（2022 年版）》的要求，在進行“數與運算”主題的教學時，要讓學生經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法，從而感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性。感悟數的運算本質上的一致性，不只是讓學生簡單地實現計算方法的遷移和自主嘗試，還要從學生的“數學現實”出發，設計符合學生學習的認知思維的應然過程，使學生經歷豎式書寫、理解算理、掌握算法的學習過程。因此，教師教學時，要引導學生經歷“零起點”的認知過程、“裸視圖”的思維過程以及“應變化”的內化過程，促使學生在知識形成過程中主動參與、自主探究，進而真正感悟數的運算的本質內涵，建立算理的聯系，形成算法的遷移，體會數的運算本質上的一致性，實現學生核心素養和關鍵能力的協同發展。本文以蘇教版教材一年級下冊第四單元的“兩位數加、減兩位數（不進位、不退位）”的教學內容為例，從學生的“數學現實”視角探討數的運算本質上的一致性。

教材采用乘車情境圖引入加法算式45+31（如圖1），引導學生自主探索兩位數加兩位數的計算方法，力求借助小棒圖和計數器，啟發學生通過直觀觀察或動手操作理解算理、掌握算法。在教學67-34 時，教材則直接采用“試一試”的方法，讓學生獨立進行計算。教師若直接按照教材的編排結構進行教學，不但無法推進學生體會加、減法運算之間的聯系以及數的運算本質上的一致性，還會影響學生對減法算理的積極探索和對減法算法的自主建構。這是因為減法運算中擺小棒和撥計數器的活動所蘊含的算理在思維水平的要求上要明顯高于加法運算，僅僅依靠主題圖中加法算理提供的直觀圖式，無法實現從加法運算向減法運算的思維遷移。因此，加、減法運算間的思維遷移應從學生的認知現實出發，針對加、減法運算的豎式書寫、算理探索及算法應用展開“現實化”的學生實踐，促進他們對加、減法運算本質上的一致性的體會與感悟。

圖1

一、豎式書寫的“數學現實”一致性：需要經歷“零起點”的認知過程

“零起點”認知指學生尚未接觸新知領域時的思維認知狀態。在“兩位數加、減兩位數（不進位、不退位）”的筆算教學中，學生首次接觸豎式的概念，其書寫應呈現“零起點”的認知狀態。計算教學固然要以學生的認知發展水平和已有知識經驗為基礎，但新概念的自然生長還依賴于學生的“零起點”認知，以促進基于“數學現實”的運算概念的建構，從而幫助學生實現對概念的理解?？梢?，計算教學的“零起點”認知過程，是一種基于計算知識的結構性、生長性和應用性的學生認知活動，凸顯學生對已有知識的再建構、已有經驗的再利用以及已有認知的再突破，以使學生體會豎式書寫本質的一致性。

（一）激活學生經驗，激發自主思維

教師創設“45+31怎樣算”的自主交流活動，激活學生經驗，激發學生思考：兩個數相加除了寫成橫式進行計算，還可以如何書寫？教學時，教師應引發學生的認知沖突，鼓勵他們大膽嘗試并表達自己的想法。只有借助豎式書寫的創造過程，學生才能充分暴露豎式書寫過程中的意圖、想法及問題。這也為學生規范、正確地書寫豎式積累認知經驗、奠定思維基礎，有效避免機械地要求學生模仿教材中的“可以用豎式計算”的灌輸式教學方法，有助于學生主動體會和理解豎式計算與豎式書寫的意義、價值及效用。

（二）引發直觀思維，生發知識經驗

在教學過程中，教師基于學生認知方式的“數學現實”，引導學生自主構建豎式計算的過程。

師：豎式應該如何書寫呢？45加31，應先寫哪個數？再寫哪個數？

生：先寫45，再寫31。

生：45和31要上下對齊。

師：那“加31”中的加號寫在哪里？

生：寫在31的前面。

師：為什么？

生：因為在橫式計算中，加號寫在31 的前面，所以在豎式計算中，加號也要寫在31的前面。

上述教學過程揭示了學生對豎式書寫格式現實意義的建構，體現了學生與成人理解上的差異。

（三）啟發學生認知，啟迪數學感悟

教師在學生認知的基礎上構建豎式書寫的意義，引導學生進一步理解豎式計算的作用和價值。

師：你們覺得相加的兩個數是豎向書寫成豎式還是橫向書寫成橫式更合適呢？

（學生在課堂上紛紛發表意見，觀點各異）

生：橫式寫起來方便，且不占用過多位置。

生：豎式計算更為簡便。

師：為什么用豎式更簡便？

生：在橫式中，兩位數加兩位數有時可能難以直接口算出結果或容易算錯。而在豎式中，我們可以分別計算每個數位上的和，這樣只需計算一位數加一位數就可以了。

上述教學過程引導學生經歷“零起點”的認知過程，并開展相關的探究、討論和交流，使學生體會橫式計算和豎式計算的異同，初步感知兩種書寫形式隱含的算理和算法的聯系與區別。同時，借助加法豎式的計算過程，使學生深刻感悟到，無論是橫式書寫還是豎式書寫，其計算過程表示的都是小棒圖中整捆與整捆、單根與單根的相加，進而進一步認識到橫式計算與豎式計算運算本質上的一致性。

二、算理理解的“數學現實”一致性：需要經歷“裸視圖”的思維過程

“裸視圖”的思維過程指基于學生“數學現實”的算理“可視化”過程。這種思維方式使學生能夠在靜態思維中自然感知計算算理，在動態思維中自主感悟計算算理，從而實現加、減法計算算理的理解與意義建構，推動加法運算向減法運算的自然遷移，初步感悟加、減法運算本質上的一致性。

教師借助圖1 中的小棒圖，引導學生把4 捆和5 根小棒與3 捆和1 根小棒看作一個整體，用整體的數學眼光觀察現在一共有多少根小棒。學生通過觀察、思考，在頭腦里自然地把整捆與整捆合并、單根與單根合并，直觀地看出小棒的總數，從而初步感悟加法的算理，即相同計數單位數量的累加。然而，減法運算無法像加法運算那樣直接從靜態的小棒圖中感悟算理，從而限制了學生對計算方法的自主建構。因此，能表示67-34 算理的直觀圖，需要在小棒圖中表示“原有67 根小棒，去掉34 根小棒，還剩33 根小棒”的動態過程，引導學生動手操作或動態演示，以暴露他們的認知思維過程。只有開展這樣的數學探究，才能滿足學生的認知需求和情感需求，激發他們主動參與計算算理的探索過程，從而感悟減法運算與加法運算在計算方法上的本質一致性。

觀察、分析學生探索45+31的算理和算法的過程可以發現，若機械地遵循教材“試一試”中的教學方式，直接要求學生獨立計算67-34，并不符合學生的學習基礎，且違背知識遷移的認知規律。此外，加、減法的運算意義在學生的認知思維中存在差異。加法表示把兩個分量合并成一個總量，即把兩個數合并成一個數的運算叫作加法。教師在教學加法時，只要在學生面前直觀地呈現兩個分量，他們就能夠直接感知總量的客觀存在。減法表示從總量中去掉一分量求另一分量，即已知兩個數的和與其中一個加數求另一個加數的運算叫作減法。教師在教學減法時，若靜態展示總量，學生無法直接感知“去掉量”與“剩余量”兩個分量的直觀存在，導致減法算理的思維視圖無法自然“裸露”與直觀呈現，要通過動態演示或動手操作才能直接感知。

因此，要讓學生形成對加、減法運算一致性的理解與感悟，應從學生的思維現實和運算方法的遷移現實出發，基于“數學現實”對教材的編排結構進行重組，引導學生經歷理解加、減法算理的過程。只有通過動手操作小棒或數珠，經歷“正向”與“反向”的運算過程，學生才能直接感知諸如小棒“整捆”或“單根”合并、去掉的運算過程，體會加、減法運算之間的內在聯系，理解加、減法運算本質上的一致性。

三、算法建構的“數學現實”一致性：需要經歷“應變化”的內化過程

“應變化”的內化過程指學生對運算算理和算法的再加工、再認知過程。在計算過程中，由于運算類型發生變化，學生對算理的理解和算法的運用會出現認知上的“缺口”。而要突破這些“缺口”，學生需要基于自身的“數學現實”，對計算方法進行遷移。只有在不同類型的運算中經歷“應變化”的內化過程，學生才能對某一運算的算理和算法形成意義建構，將對數的運算本質上的一致性的感悟內化為自身認知，形成“數學化”理解。

“兩位數加、減兩位數（不進位、不退位）”的教學內容不僅首次引入了豎式計算，還涵蓋“兩位數與一位數、整十數相加減”的筆算內容。在豎式計算中，學生需要通過不同類型的運算理解和掌握豎式書寫、計算方法等運算概念，并在不同情境中實現遷移和內化，從而形成計算技能。

為促進學生對加法筆算的算理理解和算法掌握，在學生探究了兩位數加兩位數這一計算類型后，教師應啟發他們將習得的方法遷移運用至其他計算類型中。例如，基于45+31 的豎式計算，教師可引出45+30、30+45、45+3、3+45等“兩位數與整十數、一位數相加”的計算類型，進而引導學生探索兩位數加整十數或一位數的豎式書寫和計算法則。其中，兩位數與一位數相加的豎式計算是學困生學習的難點。在計算45+3、3+45 時，學生會形成“數位如何對齊？沒有數和十位上的4相加，它應該如何算、如何書寫？”等認知“缺口”。對于這些在計算過程中自然生成的問題，教師應及時引導學生基于“數學現實”進行數學探究，理解其數學意義?？梢哉f，每一種計算類型對學生而言都是一次新的思維探索與認知突破，學生唯有經過自主探索、合作交流以及同伴引導的思維過程，才能實現計算方法的自然遷移和內化應用。

對于減法運算中的不同計算類型，教師同樣需要引導學生對其進行意義建構和方法探究，感悟其計算方法的一致性。例如，由減法計算67-34可衍生出67-60、67-7 等“兩位數減整十數、一位數”的計算類型，其中皆隱含一定的認知“缺口”。如：計算67-7時，數位如何對齊？個位上減下來的0需要不需要寫？計算67-60 時，十位上減下來的0 需要不需要寫？從這些不同計算類型中衍生出來的“應變化”的計算技能，既是學生對計算方法的一次新的認知突破，又是學生自主內化計算方法的過程。這種“應變化”的內化過程是學生理解算理、掌握算法的認知難點，教師理應引領學生在課堂上進行自主探究、獨立感悟。

綜上所述，學生只有經歷運算中不同計算類型的“應變化”過程，才能應對計算中所生成的豎式書寫、數位對齊等問題，從而逐步理解算理，掌握算法和抽象法則，從單一的計算思維走向多元的運算思維，實現計算方法的內化與應用。因此，教師應從學生的“數學現實”出發，鼓勵學生在不同的計算類型中遷移應用計算方法，使學生在經歷“應變化”的內化過程中，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。

總之，數學教學應遵循學生的已有知識與思維習慣，避免放任學生隨意嘗試。只有依據學生的認知基礎，跨越學生的“數學現實”，才能實現計算方法的有效遷移。雖然學生可以在教師的指導或外部的幫助下學會“兩位數加、減兩位數（不進位、不退位）”的知識，但他們在內心深處難以理解和感悟學習“兩位數加、減兩位數（不進位、不退位）”的數學思想方法。這一現象導致學生僅知其然，卻不知其所以然，偏離了發展學生核心素養的教學目標，阻礙了核心素養導向下的教學改進，違背了學生的自主發展和數學知識發生、發展的規律。因此，教師需要在運算概念本質內涵的感悟、思維方法的啟發以及學生經驗的積累方面，引導學生經歷基于“數學現實”的認知過程，使學生真正積累經驗、形成方法、感悟思想，從而在課堂上實現知識掌握和素養發展的目標。