微探究教學的意義、應用與啟示

彭鋒 何大勇 張曉斌

作者簡介：彭鋒（1987— ），男，高級教師，主要從事高中數學教學和解題研究；

何大勇（1965— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教學和解題研究；

張曉斌（1964— ），男，二級研究員，重慶市特級教師，重慶市政府學術技術帶頭人，第五屆蘇步青數學教育獎獲得者，主要從事中學數學教育和教學評價研究.

摘? 要：微探究教學立足服務學生的學，關注學生思維的最近發展區. 通過參與微探究，讓學生在經歷知識的形成與應用的過程中，真正理解數學知識，培養學生的主動性、創造性和應用意識，促使學生將知識轉化為能力，有助于學生在學習的過程中形成數學核心素養.

關鍵詞：微探究教學；意義；應用；啟示；三角形面積公式

中圖分類號：G633.64???? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0014-03

引用格式：彭鋒，何大勇，張曉斌. 微探究教學的意義、應用與啟示：以三角形的面積公式為例［J］.

中國數學教育（高中版），2024（1）：14-16.

求解三角形面積是中學數學中比較重要的知識點.在計算三角形面積時，仍然有部分學生對公式的選擇不合理，理解不深刻，導致運算復雜甚至計算錯誤. 三角形面積公式的推導蘊含著知識的延伸和綜合，新課程改革倡導在基本公式的教學中要展現公式的來龍去脈及推導過程，鼓勵學生用不同的推導方法加深對公式的認識，把握公式間的聯系.

一、微探究教學的意義

數學教學設計需要注重以數學知識的發生過程和學生數學思維過程的融合為線索，通過合理的教學活動促使學生在掌握“四基”的過程中落實數學核心素養.

微探究活動是圍繞某個小知識點或某一問題，以學生已有的知識和經驗為基礎的數學探究活動. 微探究教學屬于數學探究活動的某些片斷的教學（課堂引入、概念獲得、原理分析、問題解決和歸納總結等某個教學環節），也可以是某個活動過程（發現問題的活動、交流互動的活動、匯報活動等）. 在探究過程中，教師為主導，學生為主體，數學為載體，思維為形式，以此培養學生的主動性、創造性、應用意識和實踐意識，促使學生養成深層次思考問題的習慣，將知識轉化為能力，將經驗提升為素養.

二、微探究教學的應用

目前，在人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下統稱“教材”）三角形面積公式的教學中，教師基本上在得到正弦形式的三角形面積公式后就直接帶領學生做相關習題，很少引導學生進一步探究不同形式的三角形面積公式之間的聯系，也很少讓學生閱讀教材中的“海倫和秦九韶”內容，忽略了對數學史知識的滲透. 這樣的三角形面積公式教學，不能充分挖掘公式的思維價值，也不利于學生推理能力的發展和知識的建構. 把“三角形的面積公式”放在教材習題6.4的復習鞏固、綜合運用與拓廣探索中，為了讓學生靈活掌握三角形的面積公式，筆者設計了推導三角形面積公式的微探究課，其教學過程如下.

環節1：回顧舊知.

師：我們現在已經學習了三角形面積的哪些計算公式？

學生回答后，教師展示公式[S=12aha=12bhb=12chc].

師：利用已有知識，還可以發現和證明一些新的三角形面積的計算公式嗎？

學生活動：學生分六個小組進行合作交流.

環節2：推理論證.

生1：如圖1，在[Rt△ABC]中，由[h=bsinA]，得[S=12bcsinA]. 同理，可得[S=12acsinB]，[S=12absinC].

生2：由正弦定理，知[a=2RsinA，b=2RsinB，][c=2RsinC]，所以三角形的面積公式又可以表示為[S=2R2sinAsinBsinC].

生3：三角形的面積公式也可以用邊表示，得[S=][abc4R]. 還可以用邊和角共同表示，得[S=12a2sinBsinCsinA=][12a2sinBsinCsinB+C].

師：很棒！同學們善于應用新知識解決問題，應用意識很強. 我們從正弦定理的角度出發得到了非常優美的計算公式，有沒有同學從余弦定理的角度出發考慮呢？

經過思考，生4在黑板上板書公式[S=12absinC=][12a2+b2-c22cosCsinC=14a2+b2-c2tanC]. 生5也在黑板上寫出公式[S=12acsinB=12ac1-cos2B=ac21-a2+c2-b22ac2=][12c2a2-c2+a2-b222]. 生5寫完后指出這是閱讀材料“海倫和秦九韶”中介紹的秦九韶的“三斜求積”公式.

師：很不錯！兩位同學對余弦定理知識的理解很深刻，應用能力很強. 生5的鉆研精神值得大家學習. 閱讀材料“海倫和秦九韶”中還介紹了海倫公式，與秦九韶的“三斜求積”公式本質上是一樣的，你能證明一下嗎？

學生陷入沉思，生5繼續板書.

[S=12c2a2-c2+a2-b222=2ac2-a2+c2-b2216=1162ac+a2+c2-b22ac-a2-c2+b2=116a+c2-b2b2-a-c2=a+b+c2 ? a+c-b2 ? a+b-c2 ? b+c-a2=pp-ap-bp-c.? p=a+b+c2.]

師：當已知一個三角形的三邊時，使用這個公式計算三角形的面積就比較方便. 在這里介紹一位值得中國人驕傲的數學家——秦九韶，他是我國古代數學家的杰出代表之一，他的《數書九章》對數學發展產生了廣泛的影響. 他是一位既重視理論與實踐，又善于繼承、勇于創新的偉大的數學家，被國外科學史家稱為“他是那個民族、那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”.

生6：由此想到計算三角形面積的另一個公式[S=12a+b+cr=pr]（[r]為三角形內切圓的半徑）.

師：生6揭示了三角形的面積公式與三角形周長和內切圓半徑之間的關系，非常簡潔且有利于理解和記憶. 通過大家積極主動的探索，我們得到了很多表達形式不同、內在聯系豐富的三角形面積公式，體現了研究精神，提升了探究能力.

環節3：多視角探索論證.

師：前面已經學習了平面向量，能否從向量的角度表示三角形面積公式呢？

學生進行小組交流.

生7：[S=12acsinB=12BCBAsinB=12BCBAcosB ?] [tanB=12BC ? BA ?tanB]. 同理可得[S=12AB ? AC ? tanA=]

[12CB ? CA ? tanC].

師：能否用坐標形式表示這個三角形的面積公式呢？

學生進行充分思考和交流.

生8板書如下.

設[BA=x1，y1， BC=x2，y2]，則有

[S=][12BCBAsinB]

[=12BC2 ? BA2sin2B]

[=12BC2 ? BA21-cos2B=12BC2 ? BA2-BC ? BA ?cosB2]

[=12x21+y21x22+y22-x1x2+y1y22]

=[12x1y2-x2y12]

[=12x1y2-x2y1].

生8的推導很有想象力，過程十分精彩. 可以看出，從向量的視角得出的三角形面積公式的形式也非常漂亮. 三角形的面積公式形式豐富，教師讓學生課后梳理各種表達形式，認真歸納總結，并在解題實踐中正確選擇和靈活應用.

環節4：課后拓展探究.

已知任意凸四邊形[ABCD]，[E]為邊[AB]的中點，[F]為邊[BC]的中點，[G]為邊[AD]的中點，如圖2所示. 連接[EF]，其線段長為[a]；連接[FG]，其線段長為[b]；連接[EG]，其線段長為[c]. 證明：任意凸四邊形[ABCD]的面積為[S=4pp-ap-bp-c，p=a+b+c2].

[C][F][B][E][G][A][D][圖2]

三、微探究教學的思考與啟示

1. 積累數學活動經驗

在教師的精心組織和引導下，對公式教學實施微探究，讓學生親身經歷結論的發現過程，從數學內部去發現知識間的邏輯聯系并掌握規律，從中體驗探究的樂趣，使數學課堂教學煥發新的活力. 課堂教學中開展數學微探究活動是促進學生參與教學活動、學會數學地思考、體驗數學再創造的過程，可以積累基本的數學活動經驗，有益于學生日后有所發現和創造.

2. 促進學生深度理解

公式、法則等的教學是數學課堂教學的重點. 這些數學規則是客觀存在的，可以依據一定的方法思考探索出來. 為了避免數學公式被機械接受，將公式的生成過程設計成一串微探究任務，由學生自己發現其中的內在聯系，促進學生對知識的理解與應用，發展學生的思維，激發學生的學習潛能，能夠使學習達到事半功倍的效果.

通過上面的探究活動，學生對正弦定理和余弦定理的應用有了更深的理解，能夠較好地記憶和運用三角形面積公式之間的內在聯系和表達形式. 對于數學知識的學習，如果只是鸚鵡學舌般地記住結論是遠遠不夠的，關鍵是要讓學生具備應用所學知識推理、探究正確結論的能力，養成樂于探究和善于思考的習慣，幫助學生深度理解知識.

3. 提升數學核心素養

課堂上，教師應該盡量尊重學生的想法，充分暴露學生的思維過程，通過為學生創造微探究的機會，激活其原有認知結構中的已有知識和思維，調動學生有意義的學習傾向. 這樣做可以讓學生獲得學習的主動權，體驗數學知識的應用價值，加強對知識的理解和掌握. 公式生成過程的微探究問題的設計要站在學生的角度，尊重學生的主體地位，調動學生的積極性，堅持“跳一跳，夠得著”的設計理念，關注學生思維的“最近發展區”，發掘學生的潛能，充分發揮其主觀能動性，在學習的過程中培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析的能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］蘇洪雨. 基于問題設計的數學微探究評價體系構建［J］. 數學教育學報，2019，28（1）：19-24.

［3］卓斌. 讓數學探究成為學習數學的習慣：以“函數的零點”教學為例［J］. 數學通報，2016，55（3）：27-29，33.

［4］周軍. 巧設“微探究”，讓數學課堂更出彩［J］. 數學教學通訊，2018（2）：9-11，49.