高一學生函數相關概念理解認知障礙研究

馬淑杰 陳福印 張景斌

摘? 要：基于認知學習的視角，實證地研究了高一學生函數相關概念理解的主要認知障礙包括概念表征與解釋障礙、抽象數學符號或語言理解障礙、思維定式及關聯障礙. 導致認知障礙的影響因素既有認知發展水平、原有知識與經驗、概念意象和學習認知負荷等學生自身認知學習的因素，也有教師及其教學和學習材料的特征等外在因素.

關鍵詞：函數相關概念；概念理解認知障礙；影響因素；實證研究

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0027-06

引用格式：馬淑杰，陳福印，張景斌. 高一學生函數相關概念理解認知障礙研究［J］. 中國數學教

育（高中版），2024（1）：27-32.

基金項目：北京市教育科學“十三五”規劃2020年度重點課題——指向育人價值的高中數學概念教學研究（CDAA2020053）.

作者簡介：馬淑杰（1976— ），女，正高級教師，主要從事數學學習心理與高中數學教學研究；

陳福?。?976— ），男，高級教師，主要從事中學數學教學研究；

張景斌（1956— ），女，教授，主要從事數學教育、教師教育研究.

一、問題提出

自從自變量數學產生以來，函數概念一直處于數學的核心位置. 德國數學家F.克萊因（F.klein）把函數稱為數學的靈魂.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將函數作為貫穿高中數學課程的主線.

與初中相比，高中階段對函數概念的定義具有高度的抽象性和形式化特征. 學生要建立完整的函數概念，不僅要理解函數是刻畫變量之間依賴關系的數學模型，更要理解函數是實數集合之間的對應關系. 不僅如此，函數的多元表征、函數本身包含的子概念多且類型復雜等都給學生理解函數概念帶來了很大困難.

學生在學習中出現的錯誤是確定過程的結果，而不是簡單的缺少正確答案，或是不幸的偶然事件. 當依據個體在學習中存在的困難對其學習錯誤進行分析時，應該承認錯誤也是教育過程中其他變量的函數（Radatz，1997）. 本研究基于認知學習的視角，對高一學生在理解函數相關概念中存在的主要認知障礙及其影響因素進行了實證研究，以期有效改進教學，為提升學生對函數相關概念的理解水平提供有意義的指導.

二、研究設計

1. 概念界定

本研究中學生數學概念理解的認知障礙，指學生不能對所學數學概念建立適當的心理表征. 具體表現為：不能用自己的語言對數學概念進行正確的描述或解釋；不能運用適當的形式對數學概念進行表示，或不能在不同表示形式之間進行轉換；不能與相關知識或方法建立起一定的關聯，或建立了不恰當的關聯，從而不能對其進行正確應用.

由于函數的單調性、奇偶性和最大（?。┲刀季哂懈拍畹膶傩?，為方便起見，本研究將高中函數主題中“函數的概念與性質”單元中的七個具體概念，即函數的定義、定義域、值域、表示法、單調性、奇偶性和最大（?。┲?，統稱為函數相關概念.

2. 研究方法

由于學生對數學概念理解的認知障礙及其影響因素的揭示需要通過在學生闡釋概念和運用概念解決問題的過程中暴露出來，故本研究主要采用了問卷調查法和訪談法.

3. 研究對象

本研究首先采用目的性分層抽樣的方式，對北京市T區四所高中的1 038名高一學生實施了函數相關概念理解現狀調研，而后在對被試的錯誤作答進行文本分析的基礎上，對同一問題的相同或相似錯誤作答，采用目的性方便抽樣的方式抽取51名被試實施了一對一追蹤訪談.

三、研究結果

1. 函數相關概念理解的主要認知障礙

本研究最終獲得學生對函數相關概念理解的主要認知障礙有：概念表征與解釋障礙、抽象數學符號或語言理解障礙、思維定式、關聯障礙.

（1）概念表征與解釋障礙.

概念表征與解釋障礙，指學生在認知結構中不能正確表征數學概念，或不能正確地對概念進行解釋與說明.

調研中，通過下面這道題目考查學生對函數概念的理解.

題目? 設集合[M=x-2≤x≤2]，[N=y0≤y≤2]，函數[fx]的定義域為[M]，值域為[N]. 判斷圖1中的四幅圖是否可以作為函數[fx]的圖象，并說明理由.

[（a）][-2][2][O][x][y] [（b）][-2][2][O][x][y][（d）][-2][2][O][x] [2][y]

在作答中，很多學生錯誤地認為圖1（d）可以作為函數[fx]的圖象. 經過訪談，了解到錯因在于學生在構建函數概念時，將函數的值域表征為一個包含函數實際值域的更大集合.

（2）抽象數學符號或語言理解障礙.

抽象數學符號或語言理解障礙，指學生難以把握數學概念的定義中所包含的抽象數學符號或語言的本質.

① 對符號“[?]”與“任意性”的理解障礙.

在單調性與奇偶性概念的學習中，很多學生對符號“[?]”及自變量取值“任意性”的理解存在障礙. 有的學生將“任意的”與“隨意的”“無窮多”等價；有的學生在證明函數的單調性時，忽視[x1，x2]取值的任意性，甚至直接將“[?x1，x2]”用兩個具體數值代替. 這些情況在一定程度上說明學生沒能準確理解抽象符號“[?]”所代表的含義及其作用.

② 對“對應”的理解障礙.

對學生而言，函數定義中“對應”這一數學語言既具體又抽象. 說具體，是因為當給定自變量的一個具體取值時，學生能夠運用解析式計算出與其對應的函數值，從而清晰地看到這種“對應”. 學生感到抽象的原因至少有兩個方面：其一，當自變量在某一范圍內取值時，對應的函數值是不能直接或不能完全看到的具體數值；其二，當一個函數在定義域的不同區間上有不同的對應關系時，學生難以理解這種區間與“對應關系”的對應.

例如，對于“函數[fx=a-1x+3a，x<1，ax，x≥1] 在[R]上單調遞減，求實數[a]的取值范圍”這道題目，很多學生在求解過程中直接列式[a-1x+3a>ax]. 這表明他們對“對應”的內涵理解存在障礙，直接將兩個在不同區間成立的“對應關系”寫在了一起.

③ 對“[≤]”的理解障礙.

在最大值的學習中，部分學生因為不能正確理解符號“[≤]”所表征的邏輯關系（認為“[≤]”成立，則“[=]”一定成立），從而導致其對最大值概念的理解障礙.

本研究發現，學生對抽象數學符號或語言的理解障礙，不但會影響其對概念本身的準確理解，還會因為不理解而只能進行形式上的“模仿”，導致不同概念或方法的混淆，從而造成諸多錯誤.

（3）思維定式.

思維定式指學生將先前形成的已經不適應新概念學習的知識與經驗、解題方法或思維方式等不自覺地帶入新概念的學習或運用之中.

高中函數學習是建立在初中函數學習基礎之上的一個更高階段的學習. 學生容易把初中階段所形成的概念理解或思維模式等帶入高中階段的函數學習之中. 已有研究表明，這種從一個水平到另一個水平的概念學習，比學習一個全新的數學概念出錯率更高，其主要原因在于學生的認知發展不一定能夠與概念發展的層次或階段同步. 這種認知與概念發展的差異容易導致學生出現數學概念學習的認知障礙.

在調研中，部分學生在構造定義域為[-1，1]的函數時，寫出類似[1-xx+1]或[1-x · x+1x+1]的式子. 經過訪談，了解到由于學生所學到的函數解析式中“=”左側都是因變量[y]（或[fx]），便認為只要寫出“=”右側符合條件的含有[x]的式子就可以了，而沒有意識到這樣的式子中沒有體現自變量與因變量之間的對應關系.

（4）關聯障礙.

概念之間的聯系貫穿概念學習的始終. 無論是新概念的形成還是概念的運用，都需要建立與其他概念或知識之間的聯系，而在建立聯系的過程中就可能產生錯誤. 關聯障礙，指學生在數學概念的學習與運用中對概念內部或概念之間不能建立完整的關聯或建立了不恰當的關聯，以及關聯出現邏輯錯誤等.

在調研中，有部分學生在根據函數[fx=1x2]的解析式探究其性質時，僅僅因為解析式在形式上相似，便完全“類比”函數[fx=1x]得到函數[fx=1x2]的圖象與性質. 這說明學生可能會因為函數圖象或解析式在“形”上的相似而進行錯誤地“類比”，甚至錯誤地“代替”.

需要指出的是：一方面，本研究所發現的以上四類認知障礙不是完全割裂的，根據學生呈現出的錯誤的實際情況，發現它們之間可能存在一定的內在聯系；另一方面，結合學生呈現出的錯誤的復雜程度，認為有的錯誤會同時涉及兩種或兩種以上的認知障礙. 此外，如果從更廣泛的視角進行分析，關聯障礙與思維定式都可以歸入負遷移導致的障礙之中.

2. 函數相關概念理解認知障礙的影響因素

學生個體所建構的概念理解，既不完全來自外部提供的信息，也不完全基于其原有的認知與經驗，而是個體思維的產物. 學生個體內化數學概念的過程與學習材料的特征、教師及其教學，以及學生個體的認知加工均有著密切的關系. 本研究借助學生的錯誤作答文本和一對一訪談所獲信息，基于數學概念學習過程的構成要素，即學習材料、教師、學生三個方面，分析了導致學生概念理解認知障礙的主要影響因素及其之間的關系.

（1）學習材料的特征.

本研究發現初、高中函數學習材料的特征從不同側面導致了學生概念理解的認知障礙.

① 初中階段函數的局限性.

首先，定義的局限性影響學生的概念意象. 初中階段將函數的定義表述為“在一個變化過程中，有兩個變量[x]和[y]……”，而在此定義之前，教材中明確區分了變量與常量，并將變量定義為“在一個變化過程中，可以取不同數值的量”. 按照上述定義，學生很容易形成“函數必須有兩個變量，即自變量與因變量，而且它們都應該是變化的”這樣的理解. 事實上，數學中的變量包含常量，也就是在數學中常量被看作一種特殊的變量，而函數中的變量具有更一般的意義. 變量概念的形成是辯證法在數學中運用的典范. 對于八年級的學生而言，其受認知發展水平的影響，理解這一辯證關系尚存在困難. 因此，他們容易形成“函數的自變量與因變量都應該是變化的”這一概念意象.

其次，解析式的特征影響學生的概念意象. 本研究發現，由于初中階段所學的幾類具體函數都能用解析式表示，且它們的解析式從形式上看都與方程一致，即都是“含有未知數的等式”. 因此，絕大多數學生會形成函數是方程的概念意象. 他們認為函數都應該有[x]和[y]，都應該有解析式. 于是，部分學生在內化高中階段的函數定義時，直接用解析式替代對應關系，認為函數的三要素是“定義域、解析式和值域”. 不僅如此，在他們的意象中，函數的解析式具有非常固定的形式，即“[y]= 一個含有[x]的代數式”的形式. 特別地，[x]被認為是自變量的代名詞.

再次，圖象與定義域的特征影響學生的概念意象. 由于初中階段所學的三類具體函數不但都能夠用圖象表示，而且其圖象要么是直線，要么是有規律的光滑曲線. 這使得學生將函數圖象是“規則的”作為判斷函數的依據. 對于定義域，大多數學生形成了“自變量的取值范圍是全體實數”的思維定式.

② 高中階段學習材料的“高”認知負荷.

首先，概念定義本身的“高”認知負荷. 本研究發現幾乎所有受訪學生都不能完整地表述高中階段的函數定義，而且絕大部分學生在運用初中階段學習中所形成的函數概念意象或定義解決問題. 從學習認知負荷的視角來看，高中階段的函數定義本身所引發的內在認知負荷遠遠高于初中階段的函數定義. 這導致學生在運用集合語言與對應關系表述函數定義時感到困難，并采取回避的態度. 不僅是函數定義，訪談中學生在表述單調性定義及運用“定義”對自己的作答進行解釋時，基本習慣于運用“[y]隨著[x]的增大而增大（或減?。边@一初中階段所學的描述性語言. 從學習認知負荷的視角分析，與這一簡單的描述性語言相比，高中階段單調性定義中形式化的符號語言會對學生產生很高的認知負荷.

其次，概念運用中學習材料的“高”認知負荷. 在高中階段函數的學習中，數學概念的抽象化程度較之前有了較大幅度的提高. 問題的復雜程度及表述的符號化和形式化明顯增強，使得學生在解決一個數學問題時，需要同時關注和處理多個信息元素及其關系. 由此便容易導致處于高一年級認知發展水平的學生在概念的運用過程中出現“過高”的認知負荷，從而導致認知障礙.

（2）教師要素.

① 片面的概念理解導致學生錯誤的概念意象.

本研究發現，很多學生將“[y]隨著[x]的變化而變化”作為函數的定義和判斷依據. 顯然，這是對函數概念的片面理解，不是教材中對函數定義的表述. 在訪談中，有的學生表示自己的初中數學老師曾經這么說過. 可見，學生的這一概念意象很可能源于其數學老師的表述.

為了進一步了解教師因素對學生概念理解的影響，本研究針對學生對函數的一些片面或錯誤的概念意象，對研究者所任教學校的初、高中共28位數學教師實施了函數理解問卷調研. 對于問題“依照您的見解，什么是函數？”的調研結果表明：有6位教師在表述中出現了“函數是[y]隨著[x]的變化而變化”這一觀點. 這表明，部分教師確實存在與學生相同的概念意象. 由此不難推斷，教師自身對相關概念的片面理解會通過教學等途徑自然地傳遞給學生.

② 某些教學行為導致學生錯誤的概念意象.

本研究發現，教師的某些教學行為或習慣有時會在一定程度上導致學生理解的認知障礙. 在高中階段的數學教學中，教師經常會基于個人經驗將某些類型題的求解方法轉化為操作性很強的解題程序，甚至形成口訣教給學生. 然而，在學生沒有真正理解數學概念或方法的情況下，就教授給他們一些程序化、操作性的解題方法，雖然易于學生完成解題，但這種完全依靠形式化模仿的解題過程，自然容易導致學生對不同概念或方法的理解與應用出現混淆.

（3）學生要素.

① 思維發展水平的局限性導致概念理解障礙.

學生的思維發展是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維再到辯證思維的. 初中階段，學生以形式邏輯思維為主，到了高中階段，學生在繼續完善形式邏輯思維發展的前提下，辯證思維開始逐漸占主流. 但是由于辯證思維是人類思維發展的最高形態，而中學生的辯證思維基本上處于形成與發展的早期. 因此，一方面，高一學生的辯證思維還處于很不成熟的時期，思維水平基本停留在形式邏輯的范疇，只能局部、靜止、分割、抽象地認識所學事物；另一方面，函數概念的形成必須突破形式邏輯思維的局限，進入辯證思維的領域. 這一矛盾是導致學生對函數相關概念理解認知障礙的一個重要因素. 如前所述，學生在構造函數解析式時，之所以只構造出一個含有[x]的代數式，就是由于其缺乏對函數概念中的變量和對應法則的認識.

② 必備基礎的不足導致概念理解障礙.

奧蘇貝爾指出，如果把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，一言以蔽之：影響學習的唯一最重要的因素就是學習者已經知道了什么. 他進一步指出，與新知識學習相關的學習者的原有知識與經驗的明晰性、穩定性及組織特征決定性地影響著新知識意義理解的正確性與明晰性，也嚴重地影響著它們當前的和長期的可提取性.

在調研中，有學生將函數的單調區間寫成：增區間是[-3

③ 不正確的認知加工導致概念理解障礙.

學生對數學概念的意義構建，既會受到其原有知識與經驗特征的影響，也會受到學習過程中對某些情境的不恰當的認知加工的影響.

在函數概念的教學中，由于根據圖2（人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊中的數學概念引例）不能準確確定空氣質量指數[I]的取值范圍，于是借助圖中能夠看到的較大范圍（區間[0，150）] 實現了運用集合與對應語言表述[I]與時間[t]的函數關系. 然而，由于部分學生沒能充分理解整個抽象過程，只記住可以用一個比值域范圍更大的集合代替值域，從而導致認知障礙. 可見，學生對于教學過程中的這一情境（或“操作”）的不恰當認知加工導致了其理解的認知障礙.

需要指出的是，雖然本研究僅關注從認知學習的視角研究學生數學概念學習的影響因素，但在研究過程中也發現部分學生的某些非認知因素導致了其理解的認知障礙. 例如，有的學生之所以只借助兩對特殊值來判斷函數的奇偶性，原因在于“覺得如果用定義去判斷，計算會復雜而且容易算錯”. 正如有研究者所指出的，學生喜歡簡單的、容易的方法，而害怕困難的東西.

3. 理解認知障礙及主要影響因素之間的關系

圖3呈現了高一學生對函數相關概念理解的主要認知障礙及其影響因素之間的關系. 圖中箭頭連接了認知障礙與其影響因素及各影響因素之間的關系，可見學生認知發展水平的不足，必備的原有知識與經驗的缺失或不完備、錯誤或片面的概念意象是導致學生上述四類數學概念理解認知障礙的主要影響因素. 學生的認知發展水平與原有知識與經驗及教師因素會影響學生正確概念意象的建立. 學生學習的“高”認知負荷是導致學生概念表征與解釋障礙、抽象數學符號或語言理解障礙及關聯障礙的重要因素. 學生學習的認知負荷會受到多種因素的影響，其中有學生的認知發展水平、原有知識與經驗這些內在因素，也有學習材料的特征和教師教學（對學習材料的選擇、組織與呈現等）等外在因素.

四、研究建議

根據以上研究結論，本研究對教師的概念教學提出如下建議.

1. 要了解學生的概念意象

一方面，教師在教學準備階段要切實做好學情分析. 學情分析中要重點關注不同學生所持有的概念意象，并對導致學生形成這些概念意象的因素進行分析. 另一方面，在學生獲得數學概念之后，教師需要為他們創設“輸出”概念（意象）的機會，以便及時了解學生新形成的概念意象或原有概念意象的發展情況，從而更加有效地調整教學，為促進學生的概念理解而努力.

2. 要引導學生正確理解概念的本質

在教學過程中，教師要創設恰當的教學情境，讓學生在經歷數學活動的過程中逐步完成概念的構建，理解概念的本質及其蘊含的數學思想方法，而不是僅僅教給學生一些程序性的操作方法或者以教師的理解代替學生的理解.

3. 要關注并有效控制學生學習的認知負荷

一方面，在充分做好學情分析的基礎上，教師不僅要關注數學概念本身與相關學習資源可能引發的認知負荷的大小，而且要有效控制教學過程中因教師對教學材料的組織與呈現等可能引發的外在認知負荷. 另一方面，在學生理解數學概念本質的基礎上，還要注重引導學生建立概念內部、概念與其他概念或知識之間的有效關聯，形成概念圖式. 長時記憶系統中正確而豐富的概念圖式，能夠有效降低學生學習的認知負荷，促進學生對概念的正確理解.

4. 要提升自身對數學概念的理解水平

教師對數學概念理解準確與否、概念意象與概念定義是否一致等，將直接影響其概念教學的準確性，進而影響學生對概念的理解. 因此，教師應該提升自身對數學概念等學科知識的理解水平，糾正先前所形成的不正確的概念意象等，為學生正確概念意象的形成奠定基礎.

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